第9节　三角函数与解三角形的实际应用

第9节三角函数与解三角形的实际应用课标要求1.

会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.2.

能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫做

，目标视线在水平视线下方的角叫做

⁠

⁠

方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向

到目标方向线之间的夹角叫做

⁠

.方位角θ的范围是

⁠

⁠

仰角

俯角

方位

角

0°≤θ＜

360°

术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成

的锐角，通常表达为北（南）偏东

（西）α例：

坡角与坡比

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）东北方向就是北偏东45°的方向.

（

√

）（2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关

系为α＋β＝180°.

（

×

）

（4）方位角与方向角的实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的

位置关系.

（

√

）√××√2.

两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东

40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（

）A.

北偏东10°B.

北偏西10°C.

南偏东10°D.

南偏西10°√解析：

灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得

∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－

50°＝10°，即北偏西10°，故选B.

3.

如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D

两点测得A点的仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB＝

⁠

⁠.

a

31

02PART研透核心考点三角函数模型的应用（师生共研过关）

〔多选〕如图所示，一半径为4

m的水轮，水轮圆心O距离水面2

m，

已知水轮每60

s逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中

点P0）开始计时，则（

）B.

点P第一次到达最高点需要20

sC.

当水轮转动155

s时，点P距离水面2

mD.

当水轮转动50

s时，点P在水面下方，距离水面2

m√√√

三角函数模型应用的两种体现（1）已知函数模型求解数学问题；（2）把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数

的有关知识解决问题.训练1

（1）（2025·浙江绍兴一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐

设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮

最高点距离地面高度为120

m，转盘直径为110

m，均匀设置有48个座舱

（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客

在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30

min.甲、乙两户家庭

去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家

庭坐进座舱开始计时，10

min内（含10

min）出现了两户家庭的座舱离地

面高度一样的情况，则k的最小值是（

B

）BA.16B.17C.18D.19

（2）某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个

月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况.月份x1234收购价格y/（元/斤）6765

解三角形应用举例（定向精析突破）考向1

测量距离问题

（1）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向

直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，

其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，

C两点间的距离是（

A

）A

D

测量距离问题的类型及解法（1）类型：①两点间可视但不可达；②两点间既不可视也不可达；（2）解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个

三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.考向2

测量高度问题

某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他

选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部

C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在

北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为（

）√

测量高度问题的三个注意点（1）要理解仰角、俯角、方向（位）角的概念；（2）在实际问题中，若遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，最好

画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.考向3

测量角度问题

（1）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶

端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100

m到达B处，又测得C对于山

坡的斜度为45°，若CD＝50

m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos

θ

＝（

C

）C

解：如图，设救援艇在C处追赶上故障船，D为岛A正南方

向上一点，救援艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－

22°＝120°.

故救援艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5

小时追赶上该故障船.训练2

（1）中国古代四大名楼鹳雀楼（实物图略）位于山西省运城市永济

市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某

同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，

高约为37

m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部

A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角

为15°，则鹳雀楼的高度约为（

A

）AA.74

mB.60

mC.52

mD.91

m

A.

北偏东75°B.

南偏东15°C.

东北方向D.

东南方向AB

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：83分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

在相距2

km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝

60°，则A，C两点之间的距离为（

）D.2

km1234567891011121314√

2.

一艘船航行到点A处时，测得灯塔C与其相距30海里，如图所示.随后

该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点B，测

得灯塔C在其北偏东25°方向，则sin∠ACB＝（

）√

12345678910111213143.

一个风车的半径为6

m，每12

min旋转一周，它的最低点P0离地面2

m，

风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离

h（t）（m）与时间t（min）之间的函数关系式是（

）√

12345678910111213144.

如图，两座相距60

m的建筑物AB，CD的高度分别为20

m，50

m，BD

为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD＝（

）A.30°B.45°C.60°D.75°√

1234567891011121314

A.20π米B.30π米C.50π米D.60π米√1234567891011121314

1234567891011121314

B.

每秒钟小球能往复振动2π次√√√1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

12345678910111213148.

台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则城市B处于危险区的时间为

小时.1

1234567891011121314

45°

1234567891011121314

1234567891011121314

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里√1234567891011121314

1234567891011121314

A.

∠BCD，∠BDCB.

∠ACD，∠ADCC.

∠BCD，∠ACDD.

∠BCD，∠ADC√√√1234567891011121314

123456789101112131412.

〔多选〕如图所示，某摩天轮最高点离地面高度为128米，转盘直径为

120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时

针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客第一次随舱旋转至距离地面最远处.

以下关于摩天轮的说法中正确的为（

）A.

摩天轮离地面最近的距离为4米C.

若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30D.

∃t1，t2∈[