微专题　二项分布与超几何分布中的最值问题

微专题二项分布与超几何分布中的最值问题

人A选三P81探究与发现研究了二项分布的有关性质，你明白研究此类

问题的方法吗？实际上，这类通过若干次试验，观察其结果，利用试验结

果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计.

极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，是概

率论在统计学中的应用.极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模

型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”.

二项分布中的最值问题

当k＜（n＋1）p时，pk＞pk－1，pk随k值的增大而增大；当k＞（n＋

1）p时，pk＜pk－1，pk随k值的增大而减小.如果（n＋1）p为正整数，

当k＝（n＋1）p时，pk＝pk－1，此时这两项概率均为最大值.如果（n＋

1）p为非整数，而k取（n＋1）p的整数部分，则pk是唯一的最大值.提醒：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时，

概率最大.

角度1

“p定型”二项分布的最值

（2026·山东临沂模拟）体育是培养学生高尚人格的重要途径之一.足

球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否

与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男生40a女生b25合计100

（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否

与性别有关？解：根据题意，补全2×2列联表如下：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男生401555女生202545合计6040100

（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学

生中随机抽取30名，记其中男生的人数为Z，求使事件“Z＝k”概率最大

的k的值.

α0.010.0050.001xα6.6357.87910.828

角度2

“k定型”二项分布的最值

杭州亚运会是首届采用云上转播的亚运会，预计在云上传输最大60路

高清和超高清信号，某企业负责生产所需的某种高清转播设备，设生产该

款设备的次品率为p（0＜p＜1），且各套设备的生产互不影响.

①求p；②现对该企业生产的设备进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：

合格品不会被误检成次品）的设备会被自动淘汰，若自动智能检测为合

格，则再进行人工抽检，已知自动智能检测显示该款设备的合格率为96

％，求人工抽检时，抽检的一套设备是合格品的概率.

超几何分布中的最值问题

（1）一个袋中有形状、大小完全相同的100个小球，其中n

（2≤n≤92）个红球，其余为白球.从中一次性任取10个小球，将“恰好

含有2个红球”的概率记为f（n），则f（n）取得最大值时n＝

（

B

）A.10B.20C.30D.40

B（2）2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振

兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场直播前，此

平台用不同的单价试销.并在购买的顾客中进行体验调查问卷.已知有N

（N＞30）名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置

两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这N名顾客中抽取20

名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这N名顾客都在线，记两次抽

中的顾客总人数为X（不重复计数），则使P（X＝30）取得最大值时的

整数N的值为（

B

）A.38或39B.39或40C.40或41D.41或42B

A.7B.8C.9D.10√

A.

当k由0增大到n时，pk先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最

大B.

如果（n＋1）p为正整数，当且仅当k＝（n＋1）p时，pk取最大值C.

如果（n＋1）p为非整数，当且仅当k取（n＋1）p的整数部分时，pk

取最大值D.

E（X）＝np（1－p）√

3.

〔一题多解〕（2026·湖南长沙调研）某综艺节目中，有一个盲拧魔方

游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔

方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随

机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：用时/秒[5，10]（10，15]（15，20]（20，25]男性人数1522149女性人数511177以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔

方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒

相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进

行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（

）A.2B.3C.4D.5√

法二

由E（ξ）＝nP＝4，当k＝4时，p（k＝4）的概率最大，故这20名

盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的人数最有可能是4.4.

2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知

识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后

才能参加决赛.（1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中

小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为X，求X的数学

期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；

X012P

5.

某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式.现随机

抽取200名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40％，线下人数占60

％，分别统计他们的数学成绩，得到了如图所示的两个频率分布直方图.其中（50，70]称为合格，（70，90]称为中等，（90，110]称为良好，

（110，130]称为优秀，（130，150]称为优异.（1）根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分（同一组数据可

取该组区间的中点值代