微专题　衍生数列问题

微专题衍生数列问题衍生数列是指由已知数列通过插项、去项得到新数列，或由已知的两

个数列的公共项得到新数列，解决此类问题要弄清楚衍生数列与已知数列

的关系，确定衍生数列的特征，以此来解决问题.

公共项与并项问题

（1）（2020·新高考Ⅰ卷14题）将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从

小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为

⁠；

3n2－2n

（2）将数列{2n}与{2n－1}中的项按从小到大的顺序依次排列，构成一个

新数列{cn}，则数列{cn}的前50项和为

⁠.

2

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1.

两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公

倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最

小公倍数；等差数列与等比数列的公共项是等比数列.2.

解决两数列并项问题的关键是正确理解A∪B中的元素特征并准确找出

两个数列的公共项.

增、减项问题

（1）（2026·湖北襄阳模拟）已知等差数列{an}中，a2＝4，a6＝16，

若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数

列，则新数列的第43项为（

C

）A.4B.16D.65C

（2）（2025·浙江温州一模）已知数列{an}的通项公式an＝2n－1，在其

相邻两项ak，ak＋1之间插入2k个3（k∈N*），得到新的数列{bn}，记{bn}

的前n项和为Sn，则使Sn≥100成立的n的最小值为（

B

）A.28B.29C.30D.31B

解决增、减项问题的关键是通过阅读理解题意，弄清楚增加了（减少

了）多少项，增加（减少）的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采

用分组求和法，即把原数列部分和增加（减少）部分分别求和，再相加

（相减）即可.

区间取值数列

在等差数列{an}中，a3＋a4＋a11＝84，a7＝33.（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若记bk（k∈N*）为{an}中落在区间（5k，52k）内项的个数，求

{bk}的前k项和Tk.

区间取值数列问题的解题策略

记数列{an}落在区间（0，g（k）]的个数为bk，讨论数列{bk}的性

质.求解这类问题的关键就是利用数列自变量n的计数功能，通过不等式0

＜an≤g（k）⇒n，由于n为正整数，从而实现对自变量n的计数.此类题

目的计算背景主要分布在解下面三个不等式：①qm＜kn＋b＜qm＋1；②tm

＜qn＜tm＋1；③tk＋b＜qn＜t（k＋i）＋b.

1.

已知数列{an}的通项公式为an＝2n，记bm为{an}在区间（0，m]

（m∈N*）中的项的个数，则数列{bm}的前100项和S100＝（

）A.240B.360C.480D.560√解析：

由题意知，2n≤m，即n≤log2m，当m＝1时，b1＝0.当

m∈[2k，2k＋1）时，bm＝k，k∈N*，

则S100＝b1＋（b2＋b3）＋（b4＋

b5＋b6＋b7）＋…＋（b32＋b33＋…＋b63）＋（b64＋b65＋…＋b100）＝0＋

1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37＝480.2.

已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，在等比数列{an}中，a1

＝b1，a4＝b8.（1）求{bn}与{an}的通项公式；解：

∵Sn＝n2＋n，∴当n≥2且n∈N*时，bn＝Sn－Sn－1＝2n.又b1＝S1＝2也符合上式，∴bn＝2n.∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16，∴等比数列{an}的公比为2，∴an＝2n.（2）若{bn}中去掉{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}

的前20项和.

3.

（2026·山东青岛模拟）已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a2

＝2，S9＝45，数列{bn}满足a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝（n－1）·2n＋1.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；解：

{an}为等差数列，设其公差为d，则a1＋d＝2，S9＝9a1＋36d＝45，解得a1＝d＝1，故an＝a1＋（n－1）d＝n；a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝（n－1）·2n＋1，

①故当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝（n－2）·2n－1＋1，

②两式相减得anbn＝（n－1）·2n＋1－（n－2）·2n－1－1＝n·2n－1，故nbn＝n·2n－1，所以bn＝2n－1，n≥2，又a1b1＝0＋1＝1，故b1＝1，满足bn＝2n－1，从而b