重难专攻5　隐零点问题

重难专攻5隐零点问题重难解读

隐零点是指一个函数的零点存在但无法直接解出，在函数、不等式与导数的综合题目中经常会遇到隐零点问题.涉及隐零点问题，一般对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条件，利用函数的性质巧妙求解.不含参函数的隐零点问题

（师生共研过关）

（2025·T8联考节选）已知函数f（x）＝ex－ln

x＋1，试求f（x）的

极值点个数.

当x∈（0，x0）时，f'（x）＜f'（x0）＝0；当x∈（x0，＋∞）时，f'

（x）＞f'（x0）＝0.∴f（x）在区间（0，x0）上单调递减，在区间（x0，＋∞）上单调递

增，x＝x0是f（x）的唯一极小值点，无极大值点.∴f（x）的极值点个数为1.

已知不含参函数f（x），导函数方程f'（x）＝0的根存在却无法求

出，利用函数零点存在定理，判断零点存在，设方程f'（x）＝0的根为

x0，则：（1）关系式f'（x0）＝0成立；（2）注意确定x0的合适范围.

含参函数的隐零点（师生共研过关）

①若a≤0，f（x）单调递增，f（x）＞f（0）＝1此时不存在零点；

已知含参函数f（x，a），其中a为参数，导函数方程f'（x，a）＝0

的根存在，却无法求出，设方程f'（x，a）＝0的根为x0，则：（1）关系式f'（x0，a）＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；（2）注意确定x0的合适范围，往往和a的范围有关.训练2已知函数f（x）＝ex－a－ln

x＋x.当a≤0时，证明：f（x）＞x＋

2.

课时跟踪检测（时间：45分钟，满分：50分）

1234

12342.

（10分）（2026·河北邯郸模拟）已知函数f（x）＝（x－3）ex＋ax恰

有一个极值点，求a的取值范围.解：由题意可得f'（x）＝（x－2）ex＋a，令f'（x）＝（x－2）ex＋a＝

0，得－a＝（x－2）ex，设g（x）＝（x－2）ex，则g'（x）＝（x－1）ex.由g'（x）＞0，得x＞1，则g（x）在（1，＋∞）上单调递增；由g'（x）＜0，得x＜1，则g（x）在（－∞，1）上单调递减，故g（x）min＝g（1）＝－e.因为f（x）恰有一个极值点，所以f'（x）＝0有唯一的零点x0，且f（x）

在x0两侧的单调性不同.1234当x＜2时，g（x）＜0，则－a＝－e或－a≥0，解得a＝e或a≤0.当a＝e时，f'（x）≥f'（1）＝0，则f（x）在R上单调递增，没有极值

点，故a＝e不符合题意；当a≤0时，f'（1）＝－e＋a＜0，且当x＜2时，f'（x）＜0，当x→＋∞

时，f'（x）→＋∞，则f（x）存在唯一的极小值点，故a≤0符合题意，故a的取值范围是（－∞，0].12343.

（15分）（2026·河南郑州模拟）已知函数f（x）＝（a－x）ex，

a∈R.

（1）若a＝2，求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；

1234（2）若不等式f（x）＞1－x没有整数解，求实数a的取值范围.

1234当x∈（－∞，x0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，＋∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，又h（0）＝h（1）＝1，所以当x∈Z时，h（x）≥1.所以实数a的取值范围为（－∞，1].12344.

（15分）已知函数f（x）＝ln

x－x＋2sin

x，f'（x）为f（x）的导函

数.（1）求证：f