第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系

第4节直线与圆、圆与圆的位置关系课标要求1.

能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.

能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

直线与圆的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数

⁠个

⁠个

⁠个判定方法d

⁠rd

⁠rd

⁠r2

1

0

＜

＝

＞

位置关系相交相切相离判定方法Δ

⁠0Δ

⁠0Δ

⁠0＞

＝

＜

2.

圆与圆的位置关系（1）几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的

位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示

d与r1，r2的关

系

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠d＝

⁠

⁠

（r1≠r2）0≤d＜

⁠

⁠

（r1≠r2）d＞

r1＋

r2

d＝r1

＋r2

｜r1－r2｜

＜d＜

r1＋r2

｜r1－

r2｜｜r1－

r2｜

提醒：两圆相切应注意是内切还是外切.

1.

圆的切线方程常用结论（1）过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝

r2；（2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方

程为（x0－a）·（x－a）＋（y0－b）·（y－b）＝r2；

（3）过圆x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在

直线方程为x0x＋y0y＝r2.2.

设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2

＝0.（1）若两圆相交，两式相减，得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2

＝0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程（两圆圆心的连线垂

直平分公共弦）；（2）若两圆相切，两式相减，得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2

＝0，该方程表示圆C1与C2公共切点的公共切线所在的直线方程.

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）直径是圆中最长的弦.

（

√

）（2）若两圆没有公共点，则两圆外离.

（

×

）（3）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.

（

×

）（4）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.

（

×

）√×××2.

直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为（

）A.

相切B.

相交但直线不过圆心C.

直线过圆心D.

相离√

3.

若圆A，圆B相切，圆心距为10

cm，其中圆A的半径为4

cm，则圆B的

半径为

cm.解析：当两圆外切时，d＝rA＋rB，即10＝4＋rB，所以rB＝6

cm；当两圆

内切时，rB－rA＝10.则rB＝10＋4＝14

cm.

6或14

0

02PART研透核心考点直线与圆的位置关系（基础自学过关）1.

〔一题多解〕直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系

为（

）A.

相交、相切或相离B.

相交或相切C.

相交D.

相切√

2.

〔多选〕已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，

b），则下列说法正确的是（

）A.

若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.

若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.

若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.

若点A在直线l上，则直线l与圆C相切√√√

3.

若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值

范围是

⁠.

[－3，1]

（1，3）

判断直线与圆的位置关系的常见方法（1）几何法：利用d与r的关系判断；（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断；（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线

与圆相交.提醒：上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线

问题.切线与弦长问题（定向精析突破）考向1

弦长问题

（1）（2025·天津高考12题）l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴

交于点B，与圆（x＋1）2＋（y－3）2＝r2（r＞0）交于C，D两点，｜

AB｜＝3｜CD｜，则r＝

⁠；2

2

直线被圆截得的弦长的两种求法考向2

切线问题

（1）已知点M（3，1），圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4，则过点

M的圆C的切线方程为

，其切线长l

＝

⁠；x－3＝0或3x－4y－5＝0

1

解析：∵（3－1）2＋（1－2）2＝5＞4，∴点M在圆C外.当过点M

的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C（1，2）到

直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x＝3是圆的切线；当切线的

斜率存在时，设切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，由

求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切

线方程.若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆

外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.考向3

最值（范围）问题

（1）（2024·全国甲卷12题）已知b是a，c的等差中项，直线ax＋

by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为

（

C

）A.1B.2C.4C

（2）已知☉C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：x＋2y＋2＝0，M为直

线l上的动点，过点M作☉C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形

MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为

⁠.x＋2y＋1＝0

求解与弦长（切线长）有关的最值问题（1）几何法：利用有关几何性质求解.如①过圆内一点的最长弦为过

此点的直径，最短弦为垂直于此点与圆心连线的弦；②直线与圆相

离，圆心到直线的距离为d，则圆上一点到直线的最小距离为d－r，最

大距离为d＋r；（2）代数法：涉及与圆的弦、切线有关的线段长度范围（最值）问题，

解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数

的形式，利用求函数值域的方法求得结果.训练1

（1）（2026·天津和平模拟）过直线y＝x上的点P作圆C：（x＋

3）2＋（y－5）2＝4的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y＝x对称

时，点P的坐标为（

A

）A.

（1，1）A

（2）〔多选〕已知圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝16，直线l：（2m－

1）x＋（m－1）y－3m＋1＝0.下列说法正确的是（

BD

）A.

直线l恒过定点（2，1）C.

直线l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为2x＋y－3＝0D.

直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x－2y－4＝0BD

圆与圆的位置关系（师生共研过关）

x－2y＋4＝0

（2）〔一题多解〕（2022·新高考Ⅰ卷14题）写出与圆x2＋y2＝1和（x－

3）2＋（y－4）2＝16都相切的一条直线的方程

⁠.

x＝－1（答案不唯一）

圆与圆位置关系相关问题的求解策略（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与

两圆半径之间的关系；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消

去x2，y2项得到.

A.1B.

－1D.0

ABC（2）（2026·山东德州模拟）已知圆M：x2＋（y＋1）2＝4与圆N：x2＋

y2－2mx－2y＋1＝0（m＞0）相交于A，B两点，当△AMB为直角三角

形时，m的值为

⁠.

2

圆系方程1.

同心圆系方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），其中a，b是定

值，r是参数.2.

过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ∈R）.3.

过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2

＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋

F2）＝0（λ≠－1）（该圆系不含圆C2，解题时注意检验圆C2是否满足题

意，以防漏解）.

（1）过两圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0和x2＋y2－4x＋2y＋2＝0的交点，

且圆心在直线x＋2y＋2＝0上的圆的方程为（

A

）A.

x2＋y2－8x＋6y＋6＝0B.

x2＋y2－4x＋4y＋6＝0C.

x2＋y2－8x＋6y－6＝0D.

x2＋y2－4x＋4y－6＝0A

（2）经过直线x＋y＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，且经过点P

（－1，－2）的圆的方程为

⁠.

x2＋y2＋3x－3y－8＝0

法二

设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋λ（x＋y）＝0，又P（－

1，－2）在圆上，则（－1）2＋（－2）2＋2×（－1）－4×（－2）－8＋

λ（－1－2）＝0，解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋

y＝0，即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

（2026·山东济宁模拟）已知集合A＝{（x，y）｜x2＋y2＝1}，B＝

{（x，y）｜y＝x＋1}，则集合A∩B中元素的个数为（

）A.0B.1C.2D.3123456789101112131415√

2.

过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线

的方程为（

）A.

2x＋y－5＝0B.

2x＋y－7＝0C.

x－2y－5＝0D.

x－2y－7＝0√

1234567891011121314153.

过点P（－1，1）的直线l与圆C：x2＋y2＋4x－1＝0交于A，B两点，

则｜AB｜的最小值为（

）√

D.2123456789101112131415

A.1B.2C.3D.4√

1234567891011121314155.

〔多选〕已知圆（x－1）2＋（y－1）2＝4与直线x＋my－m－2＝0，

则（

）A.

直线与圆必相交B.

直线与圆不一定相交D.

直线与圆可以相切√√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多选〕已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的

交点为A，B，则（

）A.

两圆的圆心距｜O1O2｜＝2B.

直线AB的方程为x－y＋1＝0C.

圆O2上存在两点P和Q使得｜PQ｜＞｜AB｜√√123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

x＝0或3x＋4y－8＝0

123456789101112131415

123456789101112131415（2）若圆O2过点C（4，0），圆O1，O2相交于点M，N，且两圆在点M

处的切线互相垂直，求直线MN的方程.

123456789101112131415

10.

在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直

径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为（

）√

12345678910111213141511.

（2025·山东滨州模拟）已知圆C：（x－1）2＋y2＝9，直线l：x＋y

＋m＝0，P为直线l上的动点.过点P作圆C的切线PM，PN，切点为

M，N.

若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一