重难专攻11　立体几何中的创新交汇问题

重难专攻11立体几何中的创新交汇问题重难解读

随着高考改革的不断推进，各地的模拟题呈现的考查方向百花齐放，

在立体几何中以空间图形为背景的试题，其考查的知识内容和范围，涉及

代数、几何、三角形、向量、新定义等学科分支，对综合运用各种知识技

能解题的灵活性要求有所加强，应予以重视.立体几何与其他知识的交汇问题（师生共研过关）

ACDA.

短轴长为2r，且与θ的大小无关B.

离心率为cos

θ，且与r的大小无关C.

焦距为2rtan

θ

B

立体几何与其他知识的交汇，多以考查体积、表面积、距离和角度为

主，在一轮复习中，建立各个知识版块之间的联系，深刻理解问题的本

质，抓住数学基本概念，基本方法，基本原理，才能拓展解题思维路径，

达到解决这类问题的目的.

立体几何中的新定义问题（师生共研过关）

（1）求该四棱锥在顶点P处的曲率的余弦值；

（2）求二面角P-AB-D的平面角的正弦值.

解决立体几何中的新定义问题，深刻理解“新定义”是关键，并注意

类比思想的运用.

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：63分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

A.

圆B.

椭圆C.

双曲线的一部分D.

抛物线的一部分1234567

√

√1234567

12345673.

〔多选〕（2025·山东东营一模）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为

4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是

（

）B.

若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2πC.

若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为

抛物线√√√1234567

1234567

1234567

1234567

1234567

1234567

1234567

12345676.

（15分）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定

理.如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，∠APC＝α，∠BPC＝β，∠APB＝γ，二面角A-PC-B的大小为θ，则cos

γ＝cos

αcos

β＋sin

αsin

βcos

θ.如图2，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平

行四边形，AA1⊥BC，AC＝BC＝AA1，且∠A1AC＝60°，∠BAC＝

45°.（1）证明二面角A1-AC-B为直二面角，并求∠A1AB的余弦值；1234567解：∵AC＝BC，∠BAC＝45°，则∠ABC＝45°，

∴AC⊥BC.

∵AA1⊥BC，AA1∩AC＝A，AA1，

AC⊂平面A1ACC1，∴BC⊥平面A1ACC1，∵BC⊂平面ABCD，∴平面

AA1C1C⊥平面ABCD，即二面角A1-AC-B为直二面角.

1234567（2）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P

的位置；若不存在，说明理由.解：

在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1.连接B1C，延长C1C至点P，使CP＝C1C，连接BP，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB，

AB∥CD，AB＝CD，∴A1B1∥DC，A1B1＝DC，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴A1D∥B1C，1234567在四边形B1BPC中，B1B∥CP，B1B＝CP，∴四边形B1BPC为平行四边形，∴B1C∥BP，∴A1D∥BP，又A1D⊂平面DA1C1，BP⊄平面DA1C1，∴BP∥平面DA1C1，∴当点P在C1C的延长线上，且CP＝C1C时，BP∥平面DA1C1.123