第2节　两直线的位置关系

第2节两直线的位置关系课标要求1.

能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.

能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.

探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

两条直线的位置关系类别斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝

⁠

⁠－1

A1A2＋B1B2＝0

类别斜截式一般式平行k1＝k2，

且

⁠重合k1＝k2，且

⁠A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1

＝0b1≠b2

b1＝b2

提醒：在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略一条直线或两条直线

斜率不存在的情形.2.

两直线相交

（2）相交⇔方程组有

，交点坐标就是方程组的解；（3）平行⇔方程组

⁠；（4）重合⇔方程组有

⁠.唯一解

无解

无数个解

3.

距离公式点点距两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离｜P1P2｜

＝

⁠

⁠

⁠点线距点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝

⁠线线距两条平行直线Ax＋By＋C1＝0

与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝

⁠

提醒：（1）利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般

式；（2）利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行直线方程

化为x，y的系数对应相等的一般式.

与对称问题相关的六个结论（1）点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（－x，－y）；（2）点（x，y）关于点（a，b）的对称点为（2a－x，2b－y）；（3）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y），关于y轴的对称点为

（－x，y）；（4）点（x，y）关于直线x＝a的对称点为（2a－x，y），关于直线y

＝b的对称点为（x，2b－y）；（6）点（x，y）关于直线x＋y＝k的对称点为（k－y，k－x），关于

直线x－y＝k的对称点为（k＋y，x－k）.（5）点（x，y）关于直线y＝x的对称点为（y，x），关于直线y＝－x

的对称点为（－y，－x）；

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.

（

×

）（2）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.

（

×

）（3）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.

（

√

）（4）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.

（

√

）××√√2.

若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m＝（

）A.4B.

－4C.1D.

－1√

3.

已知点P（－1，2）到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，则C＝

⁠

⁠.

5或

15

5.

已知直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0相交，则这两条直线的交点坐

标为

，过交点并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程

为

⁠.

4x－3y＋9＝0

02PART研透核心考点两条直线的位置关系（基础自学过关）1.

已知两条直线l1：ax＋4y－1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，则“a＝2”是

“l1∥l2”的（

）A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件√

2.

已知直线l1：ax＋（a－1）y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，

则实数a的值是（

）A.0或－1B.

－1或1C.

－1D.1√解析：

由题意可知l1⊥l2，故2a＋a（a－1）＝0，解得a＝0或a＝－

1，经验证，符合题意.故选A.

√

判断两直线位置关系的注意点（1）当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要

考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还

要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件；（2）在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的

关系得出结论.距离问题（师生共研过关）

（1）〔多选〕已知直线l过点（3，4），点A（－2，2），B（4，－

2）到l的距离相等，则l的方程可能是（

BC

）A.

x－2y＋2＝0B.

2x－y－2＝0C.

2x＋3y－18＝0D.

2x－3y＋6＝0BC

求解距离问题的思路（1）点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但

要注意此时直线方程必须为一般式；（2）两平行线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行线间的距

离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的

距离公式.

2或－6

对称问题（定向精析突破）考向1

中心对称

（1）直线x－2y－3＝0关于定点M（－2，1）对称的直线方程是

⁠

⁠；解析：

所求直线上任一点（x，y），则关于M（－2，1）的对称点（－

4－x，2－y）在已知直线上，所以所求直线方程为（－4－x）－2（2－

y）－3＝0，即x－2y＋11＝0.x

－2y＋11＝0

（2）过点P（0，1）作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y

＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为

⁠.解析：设l1与l的交点为A（a，8－2a），则由题意知，点A关于点P的

对称点B（－a，2a－6）在l2上，代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10

＝0，解得a＝4，即点A（4，0）在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y

－4＝0.x＋4y－4＝0

中心对称问题的类型及解题策略

（2）直线关于点对称：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出

它们关于已知点对称的点的坐标，再由两点式求出所求直线方程；②求出

一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.考向2

轴对称问题

（1）已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－y＋3＝0反

射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为

⁠

⁠；6x－y

－6＝0

（2）直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是

⁠

⁠.

x－2y

＋3＝0

轴对称问题的类型及解题策略

（2）直线关于直线对称：设直线l1关于直线l的对称直线为l2.①当l1与l相

交时，则交点必在l2上，再求出l1上某个点P1关于直线l对称的点P2，那么

由交点及点P2的坐标即可求出直线l2的方程；②当l1∥l时，借助两直线平

行所满足的条件设出对称直线l2的方程，再利用两平行直线间的距离公式

列出方程，求得直线l2的方程中的常数项，从而得l2的方程.训练2

（1）坐标原点（0，0）关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是

（

A

）A

（2）光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线

y＝ax＋2射出，则有（

D

）

D直线系方程直线系方程的设法（1）过点（x0，y0）的直线系方程为A（x－x0）＋B（y－y0）＝0（其

中A，B不全为零）；（2）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋C0＝0

（C≠C0）；（3）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋C0＝0；（4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点

的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0.（这个直线系

不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时注意检验l2是否满足题意）

（1）〔一题多解〕过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直

线方程为

⁠；解析：

一

设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0（c≠5），由题意知2×1＋

3×（－4）＋c＝0，解得c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.2x＋3y＋10＝0

法二

过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线为2（x－1）

＋3（y＋4）＝0，即2x＋3y＋10＝0.（2）经过点A（2，1）且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为

⁠

⁠；解析：因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－

2y＋c＝0.又直线过点A（2，1），所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，

故所求直线方程为x－2y＝0.x

－2y＝0

（3）已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，过点

P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为

⁠.解析：设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ（x＋y－2）＝0，即（1＋λ）x

＋（λ－2）y＋4－2λ＝0.因为直线l与l3垂直，所以3（1＋λ）－4（λ－2）

＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.4x＋3y－6＝0

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

若a为实数，则“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－

a＝0平行”的（

）A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件123456789101112131415√解析：

若直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行，则a2－1

＝0，解得a＝1或a＝－1，当a＝1时，直线l1：x＋y＋2＝0，l2：x＋y

－4＝0，此时l1∥l2，符合题意；当a＝－1时，直线l1：－x＋y＋2＝0，

即l1：x－y－2＝0，l2：x－y－2＝0，此时l1，l2重合，不符合题意，所

以“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的充

要条件.故选C.

123456789101112131415

A.

3x－2y－1＝0B.

3x－2y＋1＝0C.

2x＋3y－5＝0D.

2x－3y＋1＝0√

1234567891011121314153.

已知点A（1，2）与B（3，3）关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b

的值分别为（

）√

123456789101112131415

A.

3x－y＋9＝0B.

3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0C.

3x－y＋3＝0D.

3x－y－9＝0或3x－y＋3＝0√123456789101112131415

1234567891011121314155.

四边形ABCD的四个顶点是A（3，0），B（0，4），C（4，7），D

（11，6），则四边形ABCD为（

）A.

矩形B.

菱形C.

等腰梯形D.

直角梯形√

1234567891011121314156.

〔多选〕已知直线l1：4x＋3y－2＝0，l2：（m＋2）x＋（m－1）y

－5m－1＝0（m∈R），则（

）A.

直线l2过定点（2，3）B.

当m＝10时，l1∥l2C.

当m＝－1时，l1⊥l2D.

当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为3√√√123456789101112131415

1234567891011121314157.

直线2x＋4y－5＝0关于直线x＝2对称的直线的方程为

⁠

⁠.

2x－4y－3＝

0

123456789101112131415

1234567891011121314159.

（13分）已知直线l经过点P（－2，1），且与直线x＋y＝0垂直.（1）求直线l的方程；解：

直线l与直线x＋y＝0垂直，且直线x＋y＝0的斜率为－1，则直

线l的斜率为1.又直线l经过点P（－2，1），故直线l的方程为y－1＝x－（－2），化简

得x－y＋3＝0.123456789101112131415

123456789101112131415（3）若直线n与直线l相交于点P，且在x轴、y轴上截距相等，求直线n

的方程.

123456789101112131415

10.

〔一题多解〕（2026·江苏泰州模拟）若直线l1：2x－y＋1＝0与x轴交

于点A，直线l2：x－3y－3＝0与x轴交于点B，直线l1与l2交于点P，则

∠APB＝（

）√123456789101112131415

123456789101112131415

12345678910111213141511.

若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：

x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（

）B.2D.4√

12345678910111213141512.

〔多选〕已知在以C（2，3）为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，

顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是（

）A.

斜边AB的中点坐标是（