重难专攻15　解析几何中的创新交汇问题

重难专攻15解析几何中的创新交汇问题重难解读

解析几何创新问题的表现形式有：（1）与其他数学知识融合，如立

体几何、导数等；（2）定义新的解析几何概念，如距离、曲线等.解决解

析几何创新题理解新定义是基础、计算是关键.解析几何中的交汇问题（师生共研过关）

（2）①若过P2的另一条切线切x2＝2y于A2，设P3为P2关于A2的对称点，

如此重复进行下去，若Pn＋1为Pn关于切点An的对称点，设Pn（xn，

yn），证明：{xn}为等差数列；②由①所设且P1（1，0），求｜P7P8｜的值.

本题考查抛物线与直线相切、对称、数列等综合应用.解决问题的关

键是根据直线与曲线相切，令Δ＝0转化变量为斜率k的方程，从而求解k

与对称点的坐标，利用等差数列的定义求解.

A.12B.8C

C.7D.5（2）〔多选〕（2026·湖北十一校联考）用平面α截圆柱面，圆柱的轴与平

面α所成的角记为θ，当θ为锐角时，圆柱面的截面曲线是一个椭圆.如图所

示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，

并且与圆柱面和α均相切，平面α与圆柱轴的夹角为θ.其中G1G2为椭圆的长

轴，F1，F2为两切点，P为椭圆上一点.下列结论中正确的有（

ABC

）ABCA.

椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距O1O2相等B.

椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等C.

椭圆的离心率e＝cos

θ

新定义问题（师生共研过关）

〔多选〕（2026·辽宁协作体考试）如图，曲线C是一条双纽线，曲线

C上的点满足：到点F1（－3，0）与F2（3，0）的距离之积为9，已知点P

（x0，y0）是双纽线C上一点，则下列结论正确的是（

）B.

曲线C的方程为（x2＋y2）2＝9（x2－y2）C.

直线y＝x与曲线C只有一个交点√√√

圆锥曲线背景下的新定义问题，关键在于理解新知识的本质，并将其

与常规圆锥曲线知识相结合.方法总结如下：（1）明确新曲线的特征，理解新运算的算理、符号及其含义；（2）联系常规知识：将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程

等常规知识联系起来，找出它们的相似之处或转换关系；（3）建立数学模型：根据新的题意，建立相应的数学模型或方程，利用

解析几何或代数方法进行求解；（4）验证与推理：在求解过程中，注意验证每一步推理的正确性，确保

最终答案符合题目要求.

课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：74分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.

（2026·辽宁锦州模拟）已知圆锥SO的底面半径为1，侧面积为2π，过

其底面圆周上一点A作平面α，若α截圆锥SO得到的截面曲线为椭圆，则该

椭圆长轴长的最小值为（

）B.112345678D.2√

2.

（2025·四川成都一模）在底面半径为12的圆柱内，有两个半径也为12

的球，其球心距为26，若作一平面与这两个球相切，且与圆柱的截面曲线

为一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和为（

）A.44B.46C.48D.50

√12345678

123456783.

〔多选〕（2024·新高考Ⅰ卷11题）设计一条美丽的丝带，其造型

可以看

作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标

大于－2；到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为

4.则（

）A.

a＝－2C.

C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1√√√12345678

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12345678A.

已知点N（0，0，1），则过点M，N的平面截该圆锥所得的截口曲线为圆B.

平面MAB截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分√√√12345678

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123456785.

如图，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，其内切圆与AC边相切于点

D，且AD＝1，延长BA到E，使BE＝BC，连接CE，设以E，C为焦点

且经过点A的椭圆的离心率为e1，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的

离心率为e2，则e1e2的取值范围是

⁠.（1，＋∞）

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123456786.

（15分）（2025·浙江温州二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点F

（－1，0），P是直线l：x＝－8右侧区域内的动点，点P到直线l与y轴

的距离之和等于它到点F距离的4倍，记点P的轨迹为E.

（1）求E的方程，并画出该曲线；

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（1）求C的方程；

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