重难专攻6　函数与导数中的创新交汇问题

重难专攻6函数与导数中的创新交汇问题重难解读

函数与导数中的创新交汇问题正逐渐成为高考命题的热点，其题型灵活，可以单独考查函数与导数知识，也可以与其他知识交汇命题，试题新颖，对学生知识迁移能力、逻辑思维能力和运算求解能力要求较高.函数、导数与其他知识的交汇问题（师生共研过关）

x0f'（x）0＋0－f（x）4单调递增单调递减

（2）〔一题多解〕给定θ∈（0，π）和a∈R，证明：存在y∈[a－θ，

a＋θ]使得cos

y≤cos

θ.解：

证明：法一

因为余弦函

数的周期为2π，所以不妨设a∈

（0，2π]，当a≤2θ时，a－θ≤θ，则

θ∈[a－θ，a＋θ），此时存在y＝θ，使得cos

y＝cos

θ；当a＞2θ时，θ＜a－θ≤2π－θ，作出余弦函数的大致图象（如图所示），所以cos（a－θ）≤cos

θ，只需要取y＝a－θ，即可得到

cos

y≤cos

θ.综上可得，给定θ∈（0，π）和

a∈R，存在y∈[a－θ，a＋θ]使

得cos

y≤cos

θ.法二（反证法）

假设cos

y＞cos

θ对任意y∈[a－θ，a＋θ]恒成立，由

cos

y＞cos

θ得2kπ－θ＜y＜2kπ＋θ，k∈Z，这与a∈R，任意y∈[a－θ，a＋θ]矛盾，所以假设不正确，故一定存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cos

y≤cos

θ.

导数与三角函数交汇问题的解法（1）利用三角函数的有界性：在含参数的问题中，往往需要分类讨论，

若能有效地利用三角函数的有界性，则能快速找到分类讨论的依据，从而

实现问题的求解；（2）利用三角函数的周期性：涉及零点问题时，可根据三角函数的周期

性分段来研究.训练1已知函数f（x）＝（1＋x）k－kx－1（k＞1）.（1）若x＞－1，求f（x）的最小值；

解：

因为f（x）＝（1＋x）k－kx－1（k＞1），则f'（x）＝k[（1＋

x）k－1－1].因为k＞1，则k－1＞0，由x＞－1，当－1＜x＜0时，则0＜x＋1＜1，可

得f'（x）＝k[（1＋x）k－1－1]＜k（1－1）＝0；当x＞0时，则x＋1＞

1，可得f'（x）＝k[（1＋x）k－1－1]＞k（1－1）＝0.所以f（x）在（－1，0）内单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，所以f

（x）的最小值为f（0）＝0.

函数与导数中的新定义问题（师生共研过关）

（2026·河南模拟节选）若函数F（x）在开区间I内满足：∃xi∈I（i

＝1，2，…，n）（n≥2，n∈N*），y＝F（x）在x＝xi处的切线的斜

率均为m（m∈R），则称F（x）为I内的“n－m缘分函数”.（1）判断f（x）＝ln

x－x2＋2x是否为（0，＋∞）内的“2－3缘分函

数”，并说明理由；

对于以函数与导数为背景的新定义问题的求解，要紧扣新定义，分析

新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题

过程中；同时要用好函数的性质，善于从试题中发现可以使用函数的性质

的一些因素.

解：

当a＝0时，数组（0，0）是f（x）的“和谐数组”，理由如下：当a＝0时，f（x）＝x2ex.根据幂函数、指数函数的性质，对任意x∈R，

都有f（x）＝x2ex≥0.对任意x1，x2∈R，代入k＝m＝0，得：[kx1－f（x1）＋m]·[kx2－f

（x2）＋m]＝f（x1）·f（x2）≥0.∴当a＝0时，数组（0，0）是f（x）的“和谐数组”.

xf'（x）＋0－0＋f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增

课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：69分）[备注：单选题5分，多选题6分]

A.

－2B.

－4或－2C.

－2或1D.

－412345678√

123456782.

（2026·浙江稽阳模拟）下列可以作为方程x3＋y3＝4xy的图象的是

（

）√解析：

当x＜0时，x3＝4xy－y3＝y（4x－y2）＜0，若y＜0，则4x－

y2＞0，即y2＜4x＜0，不符合，故x＜0，y＜0不可能同时成立，故A、

B、C选项错误.故选D.

12345678

A.

[0，＋∞）B.

{0，2}C.

{1，2}D.

{1，2，3}√12345678

12345678

A.

（－1，3）B.

（－3，1）C.

（－∞，－3）∪（1，＋∞）D.

（－∞，－1）∪（3，＋∞）√12345678

12345678

A.

f（0）＝－1B.

f（1）＝2C.

{an}为等差数列√√√12345678

123456786.

（13分）（2026·江苏淮阴模拟节选）若函数y＝f（x）对定义域内的

每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）＝1成立，

则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数g（x）＝sin

x是否为“依赖函数”，并说明理由；

12345678（2）若函数f（x）＝2x－1在定义域[m，n]（m＞0）上为“依赖函

数”，求mn的取值范围.解：

因为f（x）＝2x－1在[m，n]上为“依赖函数”且单调递增，故

f（m）f（n）＝1，即2m－12n－1＝1，m＋n＝2，由n＞m＞0，故n＝2－m＞m＞0，得0＜m＜1.从而mn＝m（2－m）在m∈（0，1）上单调递增，故mn∈（0，1）.故mn的取值范围为（0，1）.12345678

12345678

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