《风险模型》课件1 近似和卷积

累积损失模型

孟生旺

主要内容累积损失(Aggregateloss):一定时期内的总赔款。累积损失的两个模型：集体风险模型（collectiveriskmodels）个体风险模型（individualriskmodels）2集体风险模型（Collectiveriskmodel）:

S=X1+X2+…+XN损失次数N是一个随机变量。在给定N=n的条件下,Xi

独立同分布。损失次数N与损失金额X相互独立。3个体风险模型（Individualriskmodel）:

S=X1+X2+…+Xnn是固定值,第i份合同的损失为Xi。Xi

独立,但不一定同分布。描述一个团体保单的累积损失。45损失次数和损失金额模型的选择损失金额模型：尺度分布最好,如伽马、逆高斯优点：通胀率仅会导致尺度参数同比例变化。例：若X服从伽马，参数为（shape=2，scale=1000）则Y=1.2X服从伽马，参数为（shape=2，scale=1200）

损失次数模型：无限可分分布最好,如泊松、负二项、复合泊松母函数可以写成优点：业务量、风险暴露的变化不会改变分布类型。7聚合风险模型的计算近似法优点：简单,易用缺点：无法确知近似的效果。解析法：计算卷积比较困难。递推法（Recursivemethod）逆转法（Inversionmethod）：FFT随机模拟近似法正态近似平移伽马近似、平移对数正态分布近似NormalPower近似Wilson-Hilfery近似逆高斯与伽马混合（IG-Gammamixture）近似注：主要用于计算右尾概率89假设：S近似服从正态分布已知S的均值

和标准差，则S的分布函数近似表示为：正态近似：10

11mu=

30

sd=

sqrt(270)

qnorm(c(0.95,0.99),mean=mu,sd=

sd)##[1]57.027768.2258

12平移伽马近似：13例：假设累积损失的均值、方差和偏度分别为用平移伽马近似计算累积损失在95%水平下的VaR。14mu=

30

#均值

sd=

sqrt(270)#标准差

k=

0.7303

#偏度

alpha=

4/k^2

#伽马的形状参数

beta=

2/k/sd

#伽马的比率参数

x0=

mu-

2*sd/k#平移项

#累积损失的95%分位数：用x推出s，其中x

服从伽马分布

qgamma(95/100,shape=alpha,rate=beta)+

x0##[1]59.9873815NormalPower近似：如何计算95%的VaR？令右边等于95%，求解出s即可。16例：假设累积损失的均值、方差和偏度分别为

用normalpower近似计算累积损失在95%水平下的VaR。17mu=

30

sd=

sqrt(270)

k=

0.7303

#累积损失的分位数:用x推出s，其中x服从标准正态分布

((qnorm(95/100)+

3/k)^2

-

9/k^2-1)*k/6*sd

+

mu##[1]60.4388118Wilson-Hilfery近似：

如何计算95%的VaR？令右边等于95%，求解出s即可。如何计算95%的TVaR？19逆高斯-伽马混合（IG-Gammamixture）近似若单次损失金额X

的偏度属于[0，5]，且累积损失S的峰度属于[0，1.5]，

则用IG-Gamma混合分布近似S的效果较好；若单次损失金额X的偏度属于（5，15），或累积损失S的峰度属于（1.5，50），

则用逆高斯近似S的效果更好。参考文献：Chaubey,Y.P.,Garrido,J.,Trudeau,S.,1998.Onthecomputationofaggregateclaimsdistributions:somenewapproximations.Insurance:MathematicsandEconomics23(3),215–230.Reijnen,R.,Albers,W.,Kallenberg,W.C.M.,2005.Approximationsforstop-lossreinsurancepremiums.Insurance:MathematicsandEconomics36(3),237–250.Ma,Zong-Gang&Ma,Chao-Qun,2013.Pricingcatastropheriskbonds:Amixedapproximationmethod,Insurance:MathematicsandEconomics,Elsevier,vol.52(2),pages243-254.20解析法：计算卷积解析法只适用于有限情况,如：损失金额X为指数分布：负二项-指数损失金额X对卷积封闭,如尺度参数相同的伽玛分布逆高斯分布21例：(几何-指数)Xi

独立同分布,服从指数分布：N

服从几何分布：计算

S的分布。密度函数矩母函数母函数22S

的矩母函数为这是退化分布和指数分布q(1+b)的加权平均,故S在零点的概率为

几何分布：指数分布：23对于x>0,S的密度函数和分布函数分别为：服从均值为q(1+b)的指数分布24例：假设损失次数等于(0,1,2)的概率分别为(0.3,0.5,0.2)，单次损失金额等于(0,100,200,300,400)的概率分别为

(0.2,0.4,0.2,0.1,0.1),

计算累积损失的分布。library(actuar)

pn=c(0.3,0.5,0.2)#损失次数的概率分布

fx=c(0.2,0.4,0.2,0.1,0.1)#损失金额的概率分布

Fc=aggregateDist("convolution",model.freq=

pn,model.sev=

fx,x.scale=

100)

plot(Fc)25#累积损失的概率

diff(Fc)##[1]0.4080.2320.1480.0900.0820.0240.0100.0040.002譬如，累积损失等于0的概率为0.408，累积损失等于800的概率为0.02。26例：复合分布的卷积（团体医疗保险）保险计划：为雇员及其家庭成员提供医疗保险假设每个雇员名下的医疗次数服从相同的分布假设每次的医疗费用服从相同的分布有关分布的概率如下表（下页）问题：计算该团体保险计划的总损失分布27X（单位：100）fX(x)10.15020.20030.25040.12550.07560.05070.05080.05090.025100.025损失金额(X):

每次治疗的费用npn00.0510.1020.1530.2040.2550.1560.0670.0380.01损失次数(N):

每个雇员名下的治疗次数28library(actuar)pn=

c(0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.15,0.06,0.03,0.01)#N的概率

fx=

c(0,0.15,0.2,0.25,0.125,0.075,0.05,0.05,0.05,0.025,0.025)#X的概率

Fs=

aggregateDist(“convolution”,model.freq