2025-2026年陕西省北师大版高三数学一轮复习概率统计冲刺试卷

2025-2026年陕西省北师大版高三数学一轮复习概率统计冲刺试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高三数学教材第7单元概率统计章节中，某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生进行调查，发现其中有60名学生每周至少阅读一本书。若用样本频率估计总体频率，则该校学生每周至少阅读一本书的估计概率为（）A.0.56B.0.64C.0.6D.0.74解析：根据样本频率估计总体频率的原理，样本中事件发生的频率可以作为总体中事件发生频率的估计值。本题中，样本容量为100，事件“每周至少阅读一本书”的频数为60，因此估计概率为60/100=0.6。选项C正确。其他选项计算错误或与题意不符。2.北师大版高三数学第7单元介绍了古典概型，若一个袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从中随机抽取3个球，则抽到2个红球和1个白球的概率为（）A.1/22B.3/22C.5/22D.7/22解析：古典概型的概率计算需要先确定基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。基本事件总数为从10个球中抽取3个的组合数，即C(10,3)=120。抽到2个红球和1个白球的事件数为C(5,2)×C(3,1)=30。因此概率为30/120=1/4。选项A正确。其他选项计算错误。3.在北师大版高三数学第7单元的统计部分，某班级期中考试数学成绩的频率分布直方图如下（假设数据已分组），若成绩在[80,90)区间的频率为0.2，成绩在[90,100)区间的频率为0.3，则成绩在[70,80)区间的频率为（）A.0.1B.0.2C.0.3D.无法确定解析：根据频率分布直方图的性质，所有小组的频率之和必须等于1。已知三个区间的频率分别为0.2、0.3和未知值，因此未知值为1-0.2-0.3=0.5。选项D正确。其他选项计算错误。4.北师大版高三数学第7单元讲解了独立性检验，某研究机构调查了1000名成年人，发现其中吸烟且患呼吸系统疾病的有150人，不吸烟且患呼吸系统疾病的有100人，吸烟且不患呼吸系统疾病的有200人，不吸烟且不患呼吸系统疾病的有650人。根据这些数据计算K²统计量的观测值约为（）A.6.25B.12.5C.18.75D.25解析：独立性检验的K²统计量计算公式为K²=n×(ad-bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]。代入数据得K²=1000×(150×650-200×100)²/(250×750×350×650)≈18.75。选项C正确。其他选项计算错误。5.在北师大版高三数学第7单元的抽样方法部分，某中学有2000名学生，现要抽取一个样本容量为200的简单随机样本，若采用系统抽样的方法，则分段间隔k应为（）A.10B.20C.25D.40解析：系统抽样将总体均分为k段，每段抽取一个样本。分段间隔k=总体容量/样本容量=2000/200=10。选项A正确。其他选项计算错误。6.北师大版高三数学第7单元介绍了正态分布，若随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X<μ-σ)=0.1587，则P(μ+σ<X<μ+2σ)的值为（）A.0.3413B.0.4772C.0.6826D.0.8413解析：正态分布的对称性和性质表明，P(X<μ-σ)=0.1587意味着σ为标准差。根据正态分布表，P(μ+σ<X<μ+2σ)=P(X<μ+2σ)-P(X<μ+σ)=0.9772-0.8413=0.1359。选项B正确。其他选项计算错误。7.在北师大版高三数学第7单元的回归分析部分，某同学收集了关于身高和体重的一组数据，计算得到回归方程的斜率b=0.8，截距a=50，且样本中心点为(170,70)。若某人的身高为180cm，则根据回归方程预测其体重的估计值为（）A.74B.76C.78D.80解析：回归方程为y=0.8x+50，代入x=180得y=0.8×180+50=154。选项D正确。其他选项计算错误。8.北师大版高三数学第7单元讲解了二项分布，若某人投篮的命中率p=0.7，现连续投篮3次，则恰好命中2次的概率为（）A.0.343B.0.441C.0.147D.0.729解析：二项分布概率计算公式为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)。代入n=3,k=2,p=0.7得P(X=2)=C(3,2)×0.7²×0.3=0.441。选项B正确。其他选项计算错误。9.在北师大版高三数学第7单元的离散型随机变量部分，某射手每次射击命中目标的概率为0.6，则射击4次恰好命中3次的期望值和方差分别为（）A.2.4,0.96B.2.4,1.44C.3.6,0.96D.3.6,1.44解析：二项分布的期望E(X)=np=4×0.6=2.4，方差D(X)=np(1-p)=4×0.6×0.4=0.96。选项A正确。其他选项计算错误。10.北师大版高三数学第7单元介绍了总体分布的估计，某班级50名学生的身高数据如下表所示（单位：cm），则身高在[170,180)区间的频率为（）|分组|频数||---|---||160-170|5||170-180|15||180-190|20||190-200|10|A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6解析：身高在[170,180)区间的频数为15，总频数为50，因此频率为15/50=0.3。选项A正确。其他选项计算错误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.北师大版高三数学第7单元指出，若事件A和事件B相互独立，且P(A)=0.6，P(A∪B)=0.8，则P(B)的值为________。参考答案：0.4解析：根据概率公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，且A和B独立时P(A∩B)=P(A)P(B)。代入数据得0.8=0.6+P(B)-0.6P(B)，解得P(B)=0.4。2.在北师大版高三数学第7单元的抽样方法中，若总体容量为N，样本容量为n，采用分层抽样的方法，则第i层抽取的样本数为________。参考答案：n×(N_i/N)解析：分层抽样中，各层样本数与总体比例相同，第i层样本数为n×(N_i/N)，其中N_i为第i层总体数。3.北师大版高三数学第7单元介绍了正态分布，若随机变量X服从N(0,1)，则P(X>1.96)的值为________。参考答案：0.025解析：标准正态分布表查得P(X>1.96)=0.025。4.在北师大版高三数学第7单元的回归分析中，若散点图中回归直线过点(50,40)，且斜率为2，则回归方程为________。参考答案：y=2x-10解析：回归方程y=bx+a，代入点(50,40)和斜率b=2得40=2×50+a，解得a=-10。5.北师大版高三数学第7单元讲解了二项分布，若n次独立重复试验中每次事件发生的概率为p，则恰好发生k次的概率为________。参考答案：C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)解析：这是二项分布的标准概率公式。6.在北师大版高三数学第7单元的离散型随机变量中，若X的可能取值为1,2,3，且P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.5，则P(X≥2)的值为________。参考答案：0.7解析：P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=0.5+0=0.5（假设X只能取1,2,3）。7.北师大版高三数学第7单元介绍了总体分布的估计，若样本容量为n，样本中某事件出现的频数为f，则该事件的频率为________。参考答案：f/n解析：频率是频数与样本容量的比值。8.在北师大版高三数学第7单元的独立性检验中，若K²统计量的观测值为χ²，自由度为k，则P(K²>χ²)的值可以通过查阅________表得到。参考答案：χ²解析：独立性检验的P值通过查阅χ²分布表得到。9.北师大版高三数学第7单元讲解了抽样方法，若总体被分为K层，第i层的总体数为N_i，样本容量为n，则第i层抽取的样本数为________。参考答案：n×(N_i/N)解析：分层抽样中各层样本数与总体比例相同。10.在北师大版高三数学第7单元的回归分析中，若散点图中样本中心点为(μ_x,μ_y)，回归直线方程为y=bx+a，则回归直线必过点________。参考答案：(μ_x,μ_y)解析：回归直线必过样本中心点。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.北师大版高三数学第7单元指出，若事件A和事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。（）参考答案：正确解析：互斥事件指A和B不能同时发生，因此P(A∪B)=P(A)+P(B)。2.在北师大版高三数学第7单元的抽样方法中，系统抽样比简单随机抽样更科学合理。（）参考答案：错误解析：两种抽样方法各有优缺点，没有绝对的科学性。3.北师大版高三数学第7单元介绍了正态分布，若随机变量X服从N(μ,σ²)，则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826。（）参考答案：正确解析：正态分布的68-95-99.7法则表明此结论正确。4.在北师大版高三数学第7单元的回归分析中，若散点图中所有点都落在回归直线上，则相关系数r=1。（）参考答案：正确解析：完全线性相关时相关系数为1。5.北师大版高三数学第7单元讲解了二项分布，若n次独立重复试验中每次事件发生的概率为p，则期望E(X)=n。（）参考答案：错误解析：E(X)=np，不一定等于n。6.在北师大版高三数学第7单元的离散型随机变量中，若X的可能取值有限，则X一定服从二项分布。（）参考答案：错误解析：有限取值不一定是二项分布，可能是其他分布。7.北师大版高三数学第7单元介绍了总体分布的估计，频率分布直方图可以反映总体分布的形状。（）参考答案：正确解析：频率分布直方图是总体分布的图形表示。8.在北师大版高三数学第7单元的独立性检验中，若K²统计量的观测值越大，则事件A和事件B越独立。（）参考答案：错误解析：K²越大表示关联性越强。9.北师大版高三数学第7单元讲解了抽样方法，分层抽样适用于总体各部分差异较大的情况。（）参考答案：正确解析：分层抽样可以保证各层代表性。10.在北师大版高三数学第7单元的回归分析中，若增加样本容量，则回归方程的斜率一定会变化。（）参考答案：错误解析：斜率由数据决定，增加样本可能不改变斜率。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.北师大版高三数学第7单元介绍了古典概型，请简述古典概型的两个基本条件是什么？参考答案：（1）试验的基本事件总数有限；（2）每个基本事件发生的可能性相等。2.在北师大版高三数学第7单元的统计部分，如何根据频率分布直方图计算样本容量？参考答案：样本容量等于所有小组频率之和的倒数。若某小组频率为f_i，则样本容量n=1/(∑f_i)。3.北师大版高三数学第7单元讲解了独立性检验，请说明K²统计量的计算公式。参考答案：K²=n×(ad-bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中a、b、c、d为列联表中的频数。4.在北师大版高三数学第7单元的抽样方法中，请简述系统抽样的步骤。参考答案：（1）确定分段间隔k=总体容量/样本容量；（2）随机确定起始点r（1≤r≤k）；（3）依次抽取第r、r+k、r+2k……个个体。5.北师大版高三数学第7单元介绍了正态分布，请说明正态分布曲线的三个主要性质。参考答案：（1）曲线关于x=μ对称；（2）在x=μ处取得最大值；（3）曲线以x轴为渐近线。6.在北师大版高三数学第7单元的回归分析中，请简述如何检验回归方程的拟合优度。参考答案：通过计算判定系数R²，R²越接近1表示拟合优度越高。7.北师大版高三数学第7单元讲解了二项分布，请说明二项分布的适用条件。参考答案：（1）n次独立重复试验；（2）每次试验只有两种结果；（3）每次试验概率p不变。8.在北师大版高三数学第7单元的离散型随机变量中，请简述期望和方差的计算公式。参考答案：期望E(X)=∑x_iP(X=x_i)；方差D(X)=∑(x_i-E(X))²P(X=x_i)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.北师大版高三数学第7单元案例：某工厂生产的产品次品率为0.05，现随机抽取5件产品，求恰好有2件次品的概率。参考答案：这是二项分布问题，n=5，p=0.05，k=2。P(X=2)=C(5,2)×0.05²×0.95³≈0.0277。2.在北师大版高三数学第7单元中，某班级50名学生的身高数据如下表（单位：cm）：|分组|频数||---|---||160-170|5||170-180|15||180-190|20||190-200|10|求身高在[175,185)区间的频率。参考答案：[175,185)包含[170-180)和[180-190)两部分，频数为15+20=35。频率为35/50=0.7。3.北师大版高三数学第7单元问题：若随机变量X服从N(100,16)，求P(X<90)。参考答案：标准正态转化：Z=(X-100)/4，P(X<90)=P(Z<-2.5)=0.0062。4.在北师大版高三数学第7单元中，某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现连续射击4次，求至少命中3次的概率。参考答案：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C(4,3)×0.7³×0.3+C(4,4)×0.7⁴≈0.4116。5.北师大版高三数学第7单元案例：某学校有2000名学生，现要抽取一个样本容量为200的简单随机样本，若采用系统抽样的方法，则分段间隔k应为多少？参考答案：k=2000/200=10。6.在北师大版高三数学第7单元中，某班级期中考试数学成绩的频率分布直方图如下（假设数据已分组），若成绩在[80,90)区间的频率为0.2，成绩在[90,100)区间的频率为0.3，则成绩在[70,80)区间的频率为多少？参考答案：所有小组频率之和为1，因此[70,80)区间的频率为1-0.2-0.3=0.5。7.北师大版高三数学第7单元问题：若事件A和事件B相互独立，且P(A)=0.6，P(A∪B)=0.8，求P(B)。参考答案：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)8.8=0.6+P(B)-0.6P(B)解得P(B)=0.4。9.在北师大版高三数学第7单元中，某班级50名学生的身高数据如下表（单位：cm）：|分组|频数||---|---||160-170|5||170-180|15||180-190|20||190-200|10|求身高在[180,190)区间的频率。参考答案：[180,190)的频数为20，总频数为50，频率为20/50=0.4。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.B4.C5.A6.B7.D8.B9.A10.A二、填空题1.0.412.n×(N_i/N)13.0.02514.y=2x-1015.C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)2.0.717.f/n18.χ²19.n×(N_i/N)20.(μ_x,μ_y)三、判断题1.√22.×23.√24.√25.×26.×27.√28.×29.√30.×四、简答题1.古典概型的两个基本条件是试验的基本事件总数有限，且每个基本事件发生的可能性相等。2.根据频率分布直方图计算样本容量时，样本容量等于所有小组频率之和的倒数。若某小组频率为f_i，则样本容量n=1/(∑f_i)。3.K²统计量的计算公式为K²=n×(ad-bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中a、b、c、d为列联表中的频数。4.系统抽样的步骤包括：确定分段间隔k=总体容量/样本容量；随机确定起始点r（1≤r≤k）；依次抽取第r、r+k、r+2k……个个体。5.正态分布曲线的三个主要性质是：曲线关于x=μ对称；在x=μ处取得最大值；曲线以x轴为渐近线。6.检验回归方程的拟合优度可以通过计算判定系数R²，R²