2026年陕西省人教版高一数学第10课立体几何练习题

2026年陕西省人教版高一数学第10课立体几何练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距离为（）A.1/√3B.√3/2C.√11/3D.2√3/3解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A²+B²+C²)，代入A（1，2，3）和平面方程x+y+z=1（即A=1，B=1，C=1，D=-1），得d=|1×1+2×1+3×1-1|/√3=√11/√3=√11/3，故选C。2.已知直线l：x=2与平面α：x+y+z=1的交点为P，则点P到直线l的距离为（）A.0B.1C.√2D.√3解析：直线l与平面α的交点P满足x=2，代入平面方程得2+y+z=1，即y+z=-1。交点P为（2，-1/2，-1/2），到直线l（即x=2的垂线）的距离为√((-1/2)²+(-1/2)²)=√1/2=√2，故选C。3.若直线l1：x=1与直线l2：y=2相交，则直线l1与l2所确定的平面方程为（）A.x-y=1B.x+y=3C.x-y=-1D.x+y=-3解析：直线l1与l2相交于点（1，2），二者方向向量分别为（1，0，0）和（0，1，0），法向量为（1，-1，0），平面方程为1(x-1)-1(y-2)=0，即x-y=1，故选A。4.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0，则平面α与β的夹角余弦值为（）A.1/√6B.1/√3C.√2/3D.√3/2解析：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（2，-1，3），夹角余弦值为|1×2+1×(-1)+1×3|/√(1²+1²+1²)√(2²+(-1)²+3²)=√6/√30=√2/√10=√2/3，故选C。5.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=2+t，z=3-t的垂线距离为（）A.1B.√2C.√3D.√5解析：直线l的方向向量为（0，1，-1），垂线方向向量为（0，1，-1）的垂线，即（1，0，0），点A到直线l的距离为√((2-2)²+(3-(3-t))²+(1-1)²)=√t²=|t|=1，故选A。6.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0相交，则两平面的交线方程为（）A.x=0，y+z=1B.y=0，x+z=1C.z=0，x+y=1D.x=0，x+y=1解析：两平面交线的方向向量为（1，1，1）×（1，-1，1）=（2，0，-2），即（1，0，-1），交线过平面α与β的交点（0，1，0），方程为x=0，y+z=1，故选A。7.若直线l：x=1，y=2+t，z=3-t与平面α：x+y+z=1平行，则t的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：直线l的方向向量为（0，1，-1），平面α的法向量为（1，1，1），若直线与平面平行，则方向向量与法向量垂直，即0×1+1×1+(-1)×1=0，此时t可取任意值，但需满足直线过平面，代入平面方程得1+2+t+3-t=1，解得t=-3，故选D。8.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0的夹角为θ，则cosθ的值为（）A.1/√3B.1/√2C.√2/3D.√3/2解析：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），cosθ=|1×1+1×(-1)+1×1|/√3√3=1/3，故选A。9.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距离为（）A.1/√3B.√3/2C.√11/3D.2√3/3解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A²+B²+C²)，代入A（1，2，3）和平面方程x+y+z=1（即A=1，B=1，C=1，D=-1），得d=|1×1+2×1+3×1-1|/√3=√11/√3=√11/3，故选C。10.已知直线l：x=1，y=2+t，z=3-t与平面α：x+y+z=1相交，则交点坐标为（）A.(1，2，3)B.(1，1，1)C.(1，0，0)D.(0，1，0)解析：将直线方程代入平面方程得1+2+t+3-t=1，解得t=-3，代入直线方程得交点坐标为（1，-1，4），故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0垂直，则两平面的夹角为______度。解：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），cosθ=|1×1+1×(-1)+1×1|/√3√3=1/3，θ=arccos(1/3)，约60.3度。2.已知直线l：x=1，y=2+t，z=3-t与平面α：x+y+z=1垂直，则t的值为______。解：直线l的方向向量为（0，1，-1），平面α的法向量为（1，1，1），若垂直，则方向向量与法向量平行，即0×1+1×1+(-1)×1=0，解得t=2。3.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=2+t，z=3-t的距离为______。解：直线l的方向向量为（0，1，-1），垂线方向向量为（1，0，0），点A到直线l的距离为√((2-2)²+(3-(3-t))²+(1-1)²)=|t|=1。4.若平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0相交，则两平面的交线方向向量为______。解：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），交线方向向量为（1，1，1）×（1，-1，1）=（2，0，-2），即（1，0，-1）。5.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0平行，则两平面的法向量关系为______。解：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），若平行，则法向量成比例，即1/1=1/k=1/1，解得k=1，故两法向量平行。6.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距离为______。解：点A到平面α的距离公式为d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A²+B²+C²)，代入A（1，2，3）和平面方程x+y+z=1（即A=1，B=1，C=1，D=-1），得d=|1×1+2×1+3×1-1|/√3=√11/√3=√11/3。7.若直线l：x=1，y=2+t，z=3-t与平面α：x+y+z=1垂直，则t的值为______。解：直线l的方向向量为（0，1，-1），平面α的法向量为（1，1，1），若垂直，则方向向量与法向量平行，即0×1+1×1+(-1)×1=0，解得t=2。8.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0的夹角为θ，则sinθ的值为______。解：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），cosθ=|1×1+1×(-1)+1×1|/√3√3=1/3，sinθ=√(1-(1/3)²)=2√2/3。9.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=2+t，z=3-t的距离为______。解：直线l的方向向量为（0，1，-1），垂线方向向量为（1，0，0），点A到直线l的距离为√((2-2)²+(3-(3-t))²+(1-1)²)=|t|=1。10.若平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0垂直，则两平面的法向量关系为______。解：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），若垂直，则法向量点积为0，即1×1+1×(-1)+1×1=0，故两法向量垂直。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l：x=1，y=2+t，z=3-t与平面α：x+y+z=1平行，则t的值为1。（×）解：直线l的方向向量为（0，1，-1），平面α的法向量为（1，1，1），若平行，则方向向量与法向量垂直，即0×1+1×1+(-1)×1=0，解得t=2，故错误。2.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0相交，则两平面的交线方程为x=0，y+z=1。（√）解：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），交线方向向量为（1，1，1）×（1，-1，1）=（2，0，-2），即（1，0，-1），交线过平面α与β的交点（0，1，0），方程为x=0，y+z=1，故正确。3.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距离为√11/3。（√）解：点A到平面α的距离公式为d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A²+B²+C²)，代入A（1，2，3）和平面方程x+y+z=1（即A=1，B=1，C=1，D=-1），得d=|1×1+2×1+3×1-1|/√3=√11/√3=√11/3，故正确。4.若直线l：x=1，y=2+t，z=3-t与平面α：x+y+z=1垂直，则t的值为2。（√）解：直线l的方向向量为（0，1，-1），平面α的法向量为（1，1，1），若垂直，则方向向量与法向量平行，即0×1+1×1+(-1)×1=0，解得t=2，故正确。5.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0的夹角为θ，则cosθ=1/3。（√）解：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），cosθ=|1×1+1×(-1)+1×1|/√3√3=1/3，故正确。6.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=2+t，z=3-t的距离为1。（√）解：直线l的方向向量为（0，1，-1），垂线方向向量为（1，0，0），点A到直线l的距离为√((2-2)²+(3-(3-t))²+(1-1)²)=|t|=1，故正确。7.若平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0垂直，则两平面的法向量关系为垂直。（√）解：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），若垂直，则法向量点积为0，即1×1+1×(-1)+1×1=0，故正确。8.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0平行，则两平面的法向量关系为平行。（√）解：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），若平行，则法向量成比例，即1/1=1/k=1/1，解得k=1，故两法向量平行，故正确。9.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距离为√11/3。（√）解：点A到平面α的距离公式为d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A²+B²+C²)，代入A（1，2，3）和平面方程x+y+z=1（即A=1，B=1，C=1，D=-1），得d=|1×1+2×1+3×1-1|/√3=√11/√3=√11/3，故正确。10.若直线l：x=1，y=2+t，z=3-t与平面α：x+y+z=1垂直，则t的值为2。（√）解：直线l的方向向量为（0，1，-1），平面α的法向量为（1，1，1），若垂直，则方向向量与法向量平行，即0×1+1×1+(-1)×1=0，解得t=2，故正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述空间直角坐标系中点到平面的距离公式及其应用场景。答：空间直角坐标系中，点A（x1，y1，z1）到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A²+B²+C²)。应用场景包括计算点到平面的距离、判断直线与平面的位置关系、解决立体几何中的距离问题等。2.如何判断两个平面是否平行或垂直？答：两个平面α：A1x+B1y+C1z+D1=0与β：A2x+B2y+C2z+D2=0：-平行条件：法向量平行，即（A1，B1，C1）∥（A2，B2，C2），即存在k使得A1=kA2，B1=kB2，C1=kC2；-垂直条件：法向量垂直，即（A1，B1，C1）⊥（A2，B2，C2），即A1A2+B1B2+C1C2=0。3.简述空间直角坐标系中直线与平面的位置关系及其判断方法。答：直线l：x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct与平面α：Ax+By+Cz+D=0的位置关系：-平行：直线方向向量（a，b，c）与平面法向量（A，B，C）垂直，即aA+bB+cC=0；-垂直：直线方向向量（a，b，c）与平面法向量（A，B，C）平行，即（a，b，c）∥（A，B，C）；-相交：直线方向向量与平面法向量不垂直也不平行。4.如何求两个平面的交线方程？答：求平面α：A1x+B1y+C1z+D1=0与平面β：A2x+B2y+C2z+D2=0的交线方程：5.求交线方向向量：d=n1×n2，其中n1=(A1，B1，C1)，n2=(A2，B2，C2)；6.求交线上一点：联立平面方程求解；7.交线方程为x=x0+td，其中（x0，y0，z0）为交线上一点。8.简述空间直角坐标系中点到直线的距离公式及其应用场景。答：空间直角坐标系中，点A（x1，y1，z1）到直线l：x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct的距离公式为d=|（x1-x0，y1-y0，z1-z0）×（a，b，c）|/√(a²+b²+c²)。应用场景包括计算点到直线的距离、解决立体几何中的距离问题等。9.如何判断两个直线是否平行或垂直？答：两条直线l1：x=x1+at，y=y1+bt，z=z1+ct与l2：x=x2+am，y=y2+bm，z=z2+cm的位置关系：-平行条件：方向向量平行，即（a，b，c）∥（m，n，p），即存在k使得a=km，b=kn，c=kp；-垂直条件：方向向量垂直，即（a，b，c）⊥（m，n，p），即am+bn+cp=0。10.简述空间直角坐标系中平面与平面的位置关系及其判断方法。答：两个平面α：A1x+B1y+C1z+D1=0与β：A2x+B2y+C2z+D2=0的位置关系：-平行：法向量平行，即（A1，B1，C1）∥（A2，B2，C2），即存在k使得A1=kA2，B1=kB2，C1=kC2；-垂直：法向量垂直，即（A1，B1，C1）⊥（A2，B2，C2），即A1A2+B1B2+C1C2=0；-相交：法向量不平行也不垂直。11.如何求直线与平面的交点？答：求直线l：x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct与平面α：Ax+By+Cz+D=0的交点：12.将直线方程代入平面方程，解出参数t；13.将t代回直线方程，得到交点坐标。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0相交，求两平面的交线方程。解：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），交线方向向量为（1，1，1）×（1，-1，1）=（2，0，-2），即（1，0，-1），交线过平面α与β的交点（0，1，0），方程为x=0，y+z=1。2.已知直线l：x=1，y=2+t，z=3-t与平面α：x+y+z=1垂直，求t的值。解：直线l的方向向量为（0，1，-1），平面α的法向量为（1，1，1），若垂直，则方向向量与法向量平行，即0×1+1×1+(-1)×1=0，解得t=2。3.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0垂直，求两平面的夹角余弦值。解：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），cosθ=|1×1+1×(-1)+1×1|/√3√3=1/3。4.已知直线l：x=1，y=2+t，z=3-t与平面α：x+y+z=1相交，求交点坐标。解：将直线方程代入平面方程得1+2+t+3-t=1，解得t=-3，代入直线方程得交点坐标为（1，-1，4）。5.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0平行，求两平面的法向量关系。解：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），若平行，则法向量成比例，即1/1=1/k=1/1，解得k=1，故两法向量平行。6.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0垂直，求两平面的法向量关系。解：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），若垂直，则法向量点积为0，即1×1+1×(-1)+1×1=0，故两法向量垂直。7.已知直线l：x=1，y=2+t，z=3-t与平面α：x+y+z=1垂直，求t的值。解：直线l的方向向量为（0，1，-1），平面α的法向量为（1，1，1），若垂直，则方向向量与法向量平行，即0×1+1×1+(-1)×1=0，解得t=2。8.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0相交，求两平面的交线方向向量。解：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（1，-1，1），交线方向向量为（1，1，1）×（1，-1，1）=（2，0，-2），即（1，0，-1）。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.A4.C5.A6.A7.D8.D9.C10.B解析：1.距离公式应用；2.直线与平面平行条件；3.平面方程求解；4.平面夹角余弦值；5.距离公式应用；6.交线方向向量；7.直线与平面垂直条件；8.平面夹角余弦值；9.距离公式应用；10.交点坐标求解。二、填空题1.60.3度2.23.14.（1，0，-1）5.平行6.√11/37.28.2√2/39.110.垂直解析：1.平面夹角计算；2.直线与平面垂直条件；3.距离公式应用；4.交线方向向量；5.平面平行条件；6.距离公式应用；7.直线与平面垂直条件；8.平面夹角正弦值；9.距离公式应用；10.平面垂直条件。三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√解析：1.直线与平面平行条件错误；2.交线方程正确；3.距离公式正确；4.直线与平面垂直条件正确；5.平面夹角余弦值正确；6.距离公式正确；7.平面垂直条件正确；8.平面平行条件正确；9.距离公式正确；10.直线与平面垂直条件正确。四、简答题1.空间直角坐标系中点到平面的距离公式为d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A²+B²+C²)，应用场景包括计算点到平面的距离、判断直线与平面的位置关系、解决立体几何中的距离问题等。2.两个平面α：A1x+B1y+C1z+D1=0与β：A2x+B2y+C2z+D2=0：-平行条件：法向量平行，即（A1，B1，C1）∥（A2，B2，C2），即存在k使得A1=kA2，B1=kB2，C1=kC2；-垂直条件：法向量垂直，即（A1，B1，C1）⊥（A2，B2，C2），即A1A2+B1B2+C1C2=0。3.空间直角坐标系中直线与平面的位置关系：-平行：直线方向向量（a，b，c）与平面法向量（A，B，C）垂直，即aA+bB+cC=0；-垂直：直线方向向量（a，b，c）与平面法向量（A，B，C）平行，即（a，b，c）∥（A，B，C）；-相交：直线方向向量与平面法向量不垂直也不平行。4.求两个平面的交线方程：5.求交线方向向量：d=n1×n2，其中n1=(A1，B1，C1)，n2=(A2，B2，C2)；6.求交线上一点：联立平面方程求解；7.交线方程为x=x0+td，其中（x0，y0，z0）为交线上一点。8.空间直角坐标系中点到直线的距离公式为d=|（x1-x0，y1-y0，z1-z0）×（a，b，c）|/√(a²+b²+c²)，应用场景包括计算点到直线的距离、解决立体几何中的距离问题等。9.两条直线l1：x=x1+at，y=y1+bt，z=z1+ct与l2：x=x2+am，y=y2+bm，z=z2+cm的位置关系：-平行条件：方向向量平行，即（a，b，c）∥（m，n，p），即存在k使得a=km，b=kn，c=kp；-垂直条件：方向向量垂直，即（a，b，c）⊥（m，n，p），即am+bn+cp=0。10.两个平面α：A1x+B1y+C1z+D1=0与β：A2x+B2y+C2z+D2=0的位置关系：-平行：法向量平行，即（A1，B1，C1）∥（A2，B2，C2），即存在k使得A1=kA2，B1=kB2，C1=kC2；-垂直：法向量垂直，即（A1，B1，C1）⊥（A2，B2，C2），即A1A2+B1B2+C1C2=0；-相交：法向量不平行也不垂直。11.求直线与平面的交点：12.将直线方程代入平面方程，解出参数t；13.将t代回直线方