专题2.15函数模型及其应用（举一反三复习讲义）（试题版）

专题2.15函数模型及其应用（举一反三复习讲义）【全国通用】考点要求(1)了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异

(2)理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义(3)会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用高考真题统计考点2024年2025年2026年函数模型及其应用北京卷：第7题，5分北京卷：第9题，5分上海卷（春考）：第11题，5分北京卷：第13题，5分命题规律分析1、函数模型及其应用函数模型是高考数学的重要内容之一，从近三年的高考形势来看，高考对函数模型的考查频率、题型、难度相对稳定，主要考察指数、对数函数模型以及二次函数模型等问题，一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；学生在复习中要加强对建模能力和应用能力的培养。考点1考点1函数模型及其应用知识点1几种常见的函数模型1．一次函数模型一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0).一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.2．二次函数模型二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).

二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型.3．幂函数模型幂函数模型应用的求解策略

(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.

(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.4．指数函数模型指数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0).

5．对数函数模型对数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0).6．分段函数模型由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.7．“对勾”函数模型(1)“对勾”函数模型对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：(a>0,b>0)，当x>0时，在上递减，在上递增.另外，还要注意换元法的运用.(2)“对勾”函数模型的求解方法①利用“对勾”函数的单调性求解；②利用基本不等式求解.知识点2判断函数图象与实际问题变化过程1．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.知识点3实际问题中函数建模的基本步骤1．构造函数模型解决实际问题的基本步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.

(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.

(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.【题型1利用函数图象刻画实际问题的变化过程】【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）A,B两车分别从甲乙两市同时出发，A从甲市驶向乙市，B从乙市驶向甲市，两车同时出发并匀速行驶，两车之间距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）的关系如下图，已知A的速度大于B的速度，则下列说法中错误的是（

）

A．甲市与乙市之间的距离为dB．两车在出发后ahC．点M表示B在出发后bhD．点N表示在出发后ch【变式1-1】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）如图是一幅统计图，根据此图得到的以下说法错误的是（

）A．这几年生活水平逐年得到提高B．生活费收入指数增长最快的一年是2016年C．虽然2018年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大改善D．2017年生活价格指数上涨的速度与2018年生活价格指数下降的速度相同【变式1-2】（25-26高一上·江苏南京·期中）某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：

横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（

）A．注入时间在3小时以内（含3小时），采用方案一B．注入时间恰为4小时，不采用方案三C．注入时间恰为6小时，采用方案二D．注入时间恰为10小时，采用方案二【变式1-3】（2026·北京门头沟·一模）在声学中，音量被定义为：Lp=20lgpp0，其中Lp是音量（单位为dB），P0是基准声压为2×10−5Pa，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240HzA．音量同为20dB的声音，30~100Hz的低频比1000~10000Hz的高频更容易被人们听到.B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa.D．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍.【题型2利用给定函数模型解决实际问题】【例2】（2026·浙江绍兴·模拟预测）2026年某新能源车企搭载AI智能续航系统，汽车匀速行驶时，剩余续航里程y(km)与行驶总时间x(h)满足函数关系y=600e−0.12x．该车先匀速行驶2h，之后进入拥堵路段，系统切换能耗模式，剩余续航按y=y0e−0.3t衰减（yA．5.6h B．5.8h C．6.0h【变式2-1】（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有L=10lgI10（参考数据：lg2≈0.301A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB【变式2-2】（2026·天津河西·模拟预测）某电子产品的电池健康度E随循环次数n衰减的函数模型为En=Ae−kn+30，其中A，k为常数，A>0，k>0，n∈N.已知E（参考数据：ln3≈1.10，ln5≈1.61，A．120 B．130 C．140 D．150【变式2-3】（2026·江苏南通·三模）社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：Qp=30024−p⋅e−0.1lnp，其中p为每盒售价A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元【题型3二次函数模型的应用】【例3】（25-26高一上·浙江绍兴·期中）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价8元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：y=−8x+400（20<x≤40且x∈N），则灯具商店每月的最大利润为（

）A．2560元 B．3496元 C．3520元 D．3528元【变式3-1】（25-26高三上·全国·课前预习）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−0.2x2+3.5的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离tA．3.5m B．4mC．4.5m D．4.6m【变式3-2】（2026高三上·山东济南·专题练习）某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x−0.1x2，0<x<240,x∈NA．100 B．120 C．150 D．180【变式3-3】（25-26高一上·河南·阶段检测）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为x米，则当所建造的禽舍总面积最大时，x的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【题型4指数、对数函数模型的应用】【例4】（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数A与训练数据量x（单位：GB）的关系式为A=k⋅1.5lnx2，其中k为常数.当训练数据量为e4GB时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数A．104.8GB B．105.1GB C．【变式4-1】（2026·北京通州·一模）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的1100时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值Lt=L0e−kt（L0为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当A．24 B．35 C．47 D．100【变式4-2】（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量Q与时间t（单位：年）的关系为Q=Q0e−ta，其中Q0是臭氧的初始含量，a为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过nA．448 B．392 C．360 D．640【变式4-3】（2026·北京顺义·一模）一般地，用声压级来度量声音的强弱.定义声压级Lp=20×lgpp0（单位：dB），其中常数p0p0>0是听觉下限阈值，p是实际声压.若测得交通主干道某时段的实际声压为给出下列三个结论：①p2②p1③若某降噪设备可使交通主干道的实际声压降低到原来的910（参考数据：lg3≈0.477，lg其中正确结论的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【题型5分段函数模型的应用】【例5】（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s（单位：百万元）与新设备运行的时间t（单位：年，t∈N∗）满足s=−2t2A．5 B．6 C．7 D．8【变式5-1】（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过12m3元/超过12m3的部分但不超过6元/超过18m9元/甲用户某月缴纳的水费为54元，则甲用户该月的用水量（

）A．12m3 B．13m3 C．14m3【变式5-2】（2026·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s（单位：百万元）与新设备运行的时间t（单位：年，t∈N∗）满足s=−2t2A．6 B．7 C．8 D．9【变式5-3】（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用fx（百元）与进货量x（单位：百斤）之间的关系为fx=4x2+axA．4,6 B．4,6 C．4,6 D．4,6一、单选题1．（2026·陕西汉中·一模）某品牌酒产自陕西省宝鸡市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价800元的该品牌酒，储存x（x≥0）年后的收藏价值fx（单位：元）满足函数关系式fx=800×2mxA．1600元 B．1800元 C．2400元 D．2800元2．（2026·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：每户每年天然气用量天然气价格不超过3002.98元/超过300m3但不超过3.60元/超过480m4.50元/若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（

）A．610m3 B．600m3 C．3．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：lgn=23lgv+120（其中v为轮毂高度风速，单位：ms，A．9级 B．11级 C．13级 D．15级4．（2026·云南·三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量Xn与扩增次数n满足：lgXn=nlg1+p+lgX0，其中X0A．20次 B．25次 C．26次 D．27次5．（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形OABC是上底为2，下底为32，高为2的等腰梯形，记梯形OABC位于直线x=t(t>0)左侧的阴影部分的面积为ft，则y=ft

A．

B．

C．

D．

6．（2026·北京西城·二模）某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（

）A．6a B．8a C．9a D．12a7．（2026·江苏南通·模拟预测）B−S模型在金融、物理等方面具有重要应用．进行正态分布的合理调整之后，可得一种B−S模型的定价公式：K=−Xne−rTn，其中K代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差，Xn为执行价格，r为利率，Tn为期权的有效期．已知K=−6000，A．1 B．2 C．3ln28．（2026·广东汕尾·一模）某投资公司计划投资A，B两种理财产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资成本x成正比例，其关系如图1所示，B产品的利润y2与投资成本x的算术平方根成正比例，其关系如图2所示（利润与投资成本单位：万元）.假设该公司有20万元资金，并全部投入A,B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（A．5.6万元 B．5万元 C．6万元 D．4.8万元二、多选题9．（2026·河南开封·模拟预测）在土壤学中，常用指数模型描述土壤表层盐分含量随灌溉水淋溶深度的变化.已知某块盐碱地土壤表层初始盐分含量为S0（单位：gkg），经淋溶深度为h（单位：dm）的灌溉水淋溶后（h指的是灌溉水渗入土壤的垂直深度），土壤表层残留盐分含量S满足关系式S=S0⋅10−kh参考数据：10−0.3≈0.5，10−0.6A．当淋溶深度h=2dm时，该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25%B．要使该盐碱地土壤表层残留盐分含量降至初始盐分含量的1%，则淋溶深度h约为5dmC．在淋溶深度h0D．若该盐碱地土壤的k值变为0.4，则淋溶深度h=2dm时，土壤表层残留盐分含量低于初始盐分含量S010．（2026·重庆·二模）从2024年3月1日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每100 mL血液中乙醇含量大于或等于20 mg，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于80mg则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量y（单位：mgmL）与酒后代谢时间x（单位：h）的数量关系满足A．当代谢时间x=0.5时，血液中的乙醇含量最低B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间x的增函数，然后是代谢时间x的减函数C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为D．若执意驾车，饮酒后0.5 h11．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为M=lgAmaxA0（其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量EA．若地震震级M增加1级，则最大振幅AmaxB．若地震震级M增加2级，则放出的能量E增加到原来的20倍C．若最大振幅Amax增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的10D．若最大振幅Amax增加到原来的100倍，则放出的能量E三、填空题12．（2026·云南·模拟预测）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度v（单位：ms）与燃料的质量M（单位：kg）和飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2900ln1+Mm．已知质量为m0的飞行器所处高空的音速为580m/13．（2026·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型y=N1+Ny0−1e−px，其中N为饱和度，（结果四舍五入保留到整数，参考数据：e−0.5≈0.61，e−0.614．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用fx（百元）与进货量x（单位：百斤）之间的关系为fx=4x2+ax四、解答题15．（2026·山东·一模）咖啡店销售一款咖啡，每杯的销售价为10元时，每天可以销售200杯，为提高咖啡加工品质，进行了设备更新，为此咖啡店提高了销售价（规定为1元的整数倍）．经市场调研发现，每杯的销售价每提高1元，每天少销售5杯（不考虑其他因素）．问每杯咖啡的销售价为多少时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?16．（25-26高一上·云南昭通·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1°C，空气的温度是θ0°C，那么tmin后物体的温度θ（单位：°C）可由公式θ=θ(1)求k的值；(2