专题2.16函数模型及其应用（举一反三专项训练）（教师版）

专题2.16函数模型及其应用（举一反三专项训练）【全国通用】目录第一部分题型专练TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用函数图象刻画实际问题的变化过程】 1【题型2利用给定函数模型解决实际问题】 4【题型3二次函数模型的应用】 6【题型4指数、对数函数模型的应用】 9【题型5分段函数模型的应用】 11第二部分分层突破A组基础跟踪练B组培优提升练C组真题·实战演练【题型1利用函数图象刻画实际问题的变化过程】1．（2026高三·全国·专题练习）在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度vx与时间x的关系，若定义“速度差函数”ux为时间段0,x内的最大速度与最小速度的差，则ux的图象是（

A．

B．

C．

D．

【答案】D【解题思路】根据速度差函数的定义，分x∈[0,6],x∈[6,10],x∈[10,12],x∈[12,15]四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图象.【解答过程】由题意可得，当x∈0,6时，翼人做匀加速运动，vx=80+当x∈6,10时，翼人做匀减速运动，速度vx从160开始下降，一直降到当x∈10,12时，翼人做匀减速运动，vx从80开始下降，易得vx当x∈12,15时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”u故选：D.2．（25-26高二下·山东滨州·期末）如图，等腰梯形ABCD的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯形ABCD位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为f(t)，则f(t)随t变化时的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【解题思路】根据面积公式得出每段的函数解析式，进而得出答案.【解答过程】当0≤t≤1时，f(t)=1当1<t≤2时，f(t)=1当2<t≤3时，f(t)=3故选：A.3．（25-26高三上·湖北武汉·期末）一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解题思路】根据亮亮的体温变化判断函数图象即可.【解答过程】从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D．故符合题意的函数图象为C.故选：C.4．（25-26高一上·福建漳州·期中）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：周）的关系为y=at（aA．浮萍每周增加的面积都相等；B．t=4时，浮萍面积就会超过20mC．浮萍每周的增长率不是定值；D．若浮萍面积为2m2，3m2，6m【答案】D【解题思路】由图可得函数的解析式为y=2【解答过程】由图可得，函数y=at过点1,2，所以函数的解析式为对于A选项，第二周比第一周增加22−2对于B选项，当t=4时，y=24=16<20对于C选项，第tt≥2周的增长率为2对于D选项，由题意可得：2=2t1，3=2t2，6=2所以t1故选：D.【题型2利用给定函数模型解决实际问题】5．（2026·重庆渝中·模拟预测）某科研团队研发了一款新型环保材料，其降解过程遵循指数衰减模型，实验测得，该材料在自然环境下的质量Mt（单位：克）与时间t（单位：天）满足关系式Mt=M0⋅a−t，其中MA．198天 B．199天 C．200天 D．201天【答案】C【解题思路】根据题意，先求出a=100.015，再根据Mt【解答过程】解：M0lgM解得a=100.015，则Mt∴−0.015t=−3，解得t=200．故选：C.6．（2026·北京海淀·一模）在某密码系统中，生成密码需要从含有94个符号的字符集中随机选择字符.密码熵H（单位：比特）的计算公式为H=log294l，其中l为密码长度.根据密码熵估计表，当l=8时，H≈52.4比特.若某用户将密码长度从l=6增加到A．78.6比特 B．86.4比特 C．99.0比特 D．104.8比特【答案】A【解题思路】通过对数运算法则对密码熵公式进行变形，利用已知条件求出单长度对应的熵值，进而计算出长度变化后的熵增.【解答过程】根据密码熵计算公式H=log294当密码长度l=6时，密码熵H1当密码长度l=18时，密码熵H2密码熵的增加量ΔH=已知当l=8时，H≈52.4，即8log294≈52.4将log294≈6.55代入ΔH=12故选：A.7．（2026·北京房山·一模）2025年我国新能源汽车产量突破1 600万辆．某车企研发了一款新型电池，使用t(t≤15)年后的容量为h(t)=0.25e−λt+0.75，其中λ为常数．已知该电池使用3年后容量衰减为初始(t=0时)容量的90%．若要保证电池容量不低于初始容量的80%（参考数据：ln3≈1.10，lnA．7年 B．8年C．9年 D．10年【答案】C【解题思路】先求出λ，再根据题意可得0.25e【解答过程】由题意0.25e−3λ+0.75=0.9要保证电池容量不低于初始容量的80%，则0.25e−λt+0.75≥0.8，则e即−ln所以t≤3所以要保证电池容量不低于初始容量的80%，则该电池最长可使用约9年.故选：C.8．（2026·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即C=Wlog21+SN其中C是信道容量，单位bps；W为信道带宽，单位Hz；SN代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解题思路】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可.【解答过程】设原始状态信道容量为C1，提升后信道容量为C由题意可得C1=W1log同理C2=W2log所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍.故选：B.【题型3二次函数模型的应用】9．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（

）A．50元 B．52元 C．53元 D．55元【答案】D【解题思路】设该款纪念品降价x元，根据题意得到利润y=−0.1(x−5)【解答过程】依题意，设该款纪念品降价x元，则销售单价为60−x元，销售量为1+0.1x万件，利润为y=60−x1+0.1x−401+0.1x−5=−0.1故选：D.10．（25-26高一上·江西·阶段检测）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为h=−3.6t2+28.8tA．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒【答案】A【解题思路】利用配方法，求二次函数最大值及相应t值即可.【解答过程】由题意，h=−3.6t则当t=4时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第4秒.故选：A.11．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知AB=AC=20m，BC=24m，则内接矩形花园面积的最大值为（A．84m2 B．90m2 C．100m2【答案】D【解题思路】设DE=xm，矩形DEFG的面积为Sxm2．取BC的中点H，连接AH，交DE于I．由等腰三角形求得AH，由三角形相似表示出AI，从而得到【解答过程】设DE=xm，矩形DEFG的面积为S取BC的中点H，连接AH，交DE于I．因为AB=AC，所以AH⊥BC，AI⊥DE，则AH=A易知DE//BC，则△ADE∼△ABC，则DEBC则AI＝DE⋅AHBC=16x所以Sx当x=12时，Sx取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为96m故选：D.12．（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（

）A．440元 B．450元 C．460元 D．470元【答案】B【解题思路】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值.【解答过程】设每个肉粽的售价提高x元，则售价为(10+x)元，日销售量为(40−2x)个.收入y=(10+x)(40−2x)=−2x因为二次函数y=−2x2+20x+400开口向下，当x=−此时最大收入为(10+5)×(40−2×5)=15×30=450元.故选：B.【题型4指数、对数函数模型的应用】13．（2026·云南·模拟预测）大气压强P（单位：kPa）与海拔高度h（单位：m）之间的关系可由公式P=P0⋅e−kh近似描述，其中P0为海平面标准大气压强，k为常数．已知在某地区，海拔4000米处的大气压强为60kPa，海拔8000米处的大气压强为40kPa．若在该地区测得某地的大气压强为45kPa，则该地的海拔高度约为（

A．5400米 B．6100米 C．6800米 D．7500米【答案】C【解题思路】根据条件得到60=P0 · e−k · 4000，40=【解答过程】根据题意，代入两组已知数据：对于海拔4000米处：60=P对于海拔8000米处：40=P将方程②除以方程①：4060=P设气压为45kPa时的海拔为h米，则有：45=P将方程④除以方程①：4560=P0 代入③式结果e−4000k=2对两边取常用对数：h−40004000 ·代入参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771可得h−40004000  ·h−40004000h−40004000h−4000≈0.709×4000≈2836，h≈4000+2836=6836米．故选：C.14．（2026·四川成都·二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度I0为标准，天体的星等m与亮度I满足m=−52A．1052 B．10−52 【答案】D【解题思路】利用给定的函数关系，建立方程，结合对数运算求得答案.【解答过程】令北极星与牛郎星的亮度分别为I1,I两式相减得−52lg故选：D.15．（2026·四川成都·模拟预测）2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N=N0⋅12t5730（N0表示碳14原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物样本中碳14的质量约是原来的A．1880年 B．2580年 C．3550年 D．4150年【答案】B【解题思路】根据题意得22N0【解答过程】根据题意，22N0所以log222所以0.4≤t5730≤0.5所以区间的中点为2292+28652故选：B.16．（2026·重庆·一模）我国某电子企业通过技术创新，于本月成功推出了首款5纳米芯片，并且随着技术的进步，每个月都会推出其改进型号，已知三年内该芯片的晶体管数目N与以后第t个月的关系满足N=n0⋅at，单个晶体管的价格Y与tA．126 B．1216 【答案】B【解题思路】由题意根据单个晶体管的数目和价格变化情况列出方程，解得a,b，再分别表示出首款芯片与改进型号芯片的价格，即可得解.【解答过程】由题可知，若N0=n0⋅a0若Y0=m0⋅b0设首款芯片价格为W0则以后第6个月时推出的改进型号芯片的价格W1则W1故选：B.【题型5分段函数模型的应用】17．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）某省对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方式如下表：每户每年用电量电价不超过2160千瓦时0.60元/千瓦时超过2160千瓦时但不超过4200千瓦时的部分0.65元/千瓦时超过4200千瓦时的部分0.90元/千瓦时若某户居民一年的电费为2712元，则此户居民这一年使用的电量为（

）A．3750千瓦时 B．3950千瓦时 C．4300千瓦时 D．4400千瓦时【答案】C【解题思路】根据题意，得到本年缴纳的电费和居民用电量的函数关系式，结合题意，列出方程，即可求解.【解答过程】由题意，设某户居民用电量为x千瓦时，本年缴纳的电费为y，可得y=0.60x,x∈(0,2160]当某户居民本年缴纳的电费为2712元时，可得2622+0.90×(x−4200)=2712，解得x=4300，即居民本年的用电量为4300千瓦时.故选：C.18．（25-26高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药t0≤t≤12小时后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（

A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时【答案】A【解题思路】首先求出函数解析式，再令y≥4求出相应的t的取值范围，即可得解．【解答过程】当0≤t≤3时，则y=6当3<t≤12时，设函数为y=kt+b，将(3,6)，(12,0)代入可得6=3k+b0=12k+b，解得k=−23所以y=2t,0≤t≤3要使y≥4，则2t≥40≤t≤3或−23t+8≥43<t≤12综上所述：2≤t≤6，所以有效所持续的时长为6−2=4个小时．故选：A．19．（25-26高一上·河北邢台·期中）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0∼24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=4t+160,0≤t≤12,384tA．6小时 B．8小时 C．16小时 D．18小时【答案】D【解题思路】当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动；即AQI小于或等于200时适合开展户外活动，根据分段函数的解析式，分情况讨论求出不等式解集，再求出区间长度即可.【解答过程】由AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动，得当AQI小于或等于200时，可开展户外活动，即y≤200，因为y=所以当0≤t≤12时，4t+160≤200，解得0≤t≤10，当12<t≤24时，384t+176≤200，解得综上，可开展户外活动的时长至多为10−0+24−16=18小时．故选：D.20．（2026·安徽淮南·一模）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）(x∈[120,500])之间的函数关系可近似表示为y=13x3−80A．120 B．200 C．240 D．400【答案】D【解题思路】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分x∈[120,144)和x∈[144,500]分析讨论求出其最小值即可【解答过程】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为S=1当x∈[120,144)时，S=1当x=120时，S取得最小值240，当x∈[144,500]时，S=1当且仅当12x=80000x，即综上，当每月的理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，故选：D.一、单选题1．（25-26高二上·湖北孝感·期末）某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（

）A．①反映建议（2），③反映建议（1） B．①反映建议（1），③反映建议（2）C．②反映建议（1），④反映建议（2） D．④反映建议（1），②反映建议（2）【答案】B【解题思路】根据收支差额的计算公式可得正确的判断.【解答过程】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）；对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议（2）.故选：B.2．（25-26高一上·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为xm3，其缴纳的水费为y元，则（

）每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3A．y=3x,0<x≤126x,12<x≤189x,x>18 B．当C．若y=48，则x=14 D．若y=81，则x=13.5【答案】C【解题思路】对A，阶梯水价需累计计算各段费用，计算比较可判断；对B，根据分段函数代入求值判断；对C、D，根据分段函数列出所有可能求解判断.【解答过程】对于A：根据题意，当12<x<18时，水价y=3×12+6x−12当x>18时，y=3×12+6×6+9x−18所以阶梯水价的正确分段函数应为y=3x,0<x≤12对于B：当x=13时，y=13×6−36=42，B错误；对于C：若y=48，则0<x≤123x=48①或12<x≤186x−36=48②或①③无解，由②解得x=14，C正确；对于D：若y=81，则0<x≤123x=81④或12<x≤186x−36=81⑤或④⑤无解，由⑥解得x=19，D错误；故选：C.3．（25-26高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油Q（单位：L）与速度v（单位：kmv0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（

）A．Q=1v+1+bC．Q=0.5v+a【答案】B【解题思路】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型．【解答过程】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为0,120；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点.函数Q=1v+1+b函数Q=klogB选项：Q=av故选：B.4．（2026·安徽·三模）股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设x个交易日后该股票价格达到60元每股，则x的最小值为（

）（参考数据：lg2≈0.301，lgA．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解题思路】根据每日最大涨幅列出x个交易日后股票价格满足的不等式，两边取常用对数后结合给定参考数据计算，得到x的最小正整数值.【解答过程】要让x最小，需要每个交易日都涨停（每天价格变为原来的1+20%因此x天后的价格满足不等式12×(1.2)x≥60两边取常用对数，得x⋅因为lg⁡1.2=lg⁡5=1−所以x≥0.699因为x是正整数，所以x的最小值为9.故选：C.5．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3−2t+1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（A．45.5 B．37.5 C．36 D．35【答案】B【解题思路】根据题意，得到t=2【解答过程】依题意，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=3−2即有t=23−x−1，由t>0因此月利润y=(32×1.5+=45.5−[16(3−x)+13−x]≤45.5−216=37.5所以当x=114万件时，该公司最大月利润为故选：B.6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率≥98%，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量YmgL与时间th的关系为Y=Y0e−kt，其中A．50% B．64% C．78%【答案】B【解题思路】利用给定的函数关系，先通过前2小时的过滤比例求出e−2k【解答过程】由题意知，Y=Y0e则剩余污染物为1−40%=60%，即0.6Y0则前4小时的剩余污染物量：Y=Y即剩余污染物是36%，则前4小时过滤掉的污染物比例为1−36故选：B.7．（2026·北京门头沟·一模）农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用C=C0e−kt（C0，k为正常数）描述，其中C为喷施农药tA．3天 B．6天 C．9天 D．12天【答案】C【解题思路】根据国家食品安全标准规定得出不等式，再由函数单调性解不等式即可求得结果.【解答过程】设该蔬菜的最短安全采收间隔期为t天,依题意可得C0e−kt≤1,其中所以可得e−ln23t因此该蔬菜的最短安全采收间隔期为9天.故选：C.8．（2026·北京海淀·二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：L=5−1gkdD，其中，L为被测试眼睛的视力值，d为该眼睛能分辨清楚的最低一行“E”形视标的笔划宽度（单位：毫米），D为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，k是与d,D无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（

A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5.0【答案】C【解题思路】根据已知视力值求出lgkd【解答过程】已知当L=5.0，D=5时，代入L=5−1gkdD小明在距离该视力表3米处进行检测,即D=3，代入L=5−1gkdD因为题中参考数据已知1g2≈0.30，1g3≈0.48；所以lg5所以L=5−lg故选：C.二、填空题9．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来温度是T1∘C，空气温度是T0∘C，则经过时间t分钟后物体温度ToC可以由公式T=T（参考数据：ln3=1.099【答案】2.77【解题思路】将物体初始温度、空气温度、冷却后温度代入冷却公式，化简得到指数方程，通过取自然对数转化为线性方程，代入参考数据计算出冷却所需时间.【解答过程】由题知T1=90,T得10+90−10即e−0.25t解得t=4ln即把温度是90∘C的物体放在10∘大概需要2.77分钟．故答案为：2.77.10．（25-26高一上·湖南·阶段检测）我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为18mg/m³.为满足此要求，某地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m³）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式：y=N0910t，其中N0【答案】17【解题思路】由题意得到不等式，两边取对数进行求解，得到答案.【解答过程】由题意得100⋅910t解得t≥lg结果精确到整数，故从现在起至少经过17分钟才能达到排放标准.故答案为：17.11．（25-26高一上·陕西西安·期中）为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40分钟的远程网络学习中，注意力指数y与时间t之间的关系近似满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40）

【答案】22.83【解题思路】根据图象求出分段函数的解析式，根据题意列出不等式，求解相关不等式，可求出最佳时间段.【解答过程】由图可设当t∈(0,14]时，ft因为f14=81，所以4m+82=81，所以所以当t∈(0,14]时，ftloga14−5+83=81所以当t∈[14,40)时，y=log所以ft当t∈(0,14]时，由ft=−14t−122+82≥80当t∈[14,40)时，由y=log13t−5+83≥80综上所述，9.17≤t≤32.所以，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有约32−9.17=22.83分钟.故答案为：22.83.12．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2000元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价75元/m2；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为200元/m2.若要使总造价不高于28000元，则正方形MNPQ【答案】12【解题思路】先分别求出正方形，长方形，四个空角的面积，再由题意计算出总成本小于28000列不等式解出即可.【解答过程】设正方形MNPQ的边长为xm,x>0，则正方形MNPQ的面积为四个相同的矩形即阴影部分的面积为214−x四个空角的面积为4×1设总造价为W元，则W=2000x即3x2−5x−12≤0，即x−3故正方形MNPQ周长的最大值为3×4=12m故答案为：12.一、单选题1．（2026·湖北十堰·二模）冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：y=eax+b（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃【答案】C【解题思路】利用已知条件求出指数函数的参数，再通过不等式求解温度范围.【解答过程】已知保鲜时间y与贮藏温度x的关系为y=eax+b（当x=9时，y=261，代入得：261=e当x=23时，y=29，代入得：29=e将①÷②化简可得：9=e9a+b−23a+b，即代入①式求得：eb由题意y≥87，即：eax+b≥87，即则eb3x7≥87化简可得：3167−x7所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过16∘故选C.2．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度y（单位：∘C）和泡茶时间t（单位：min）满足关系式y=−5t+70,0≤t≤5165t+5,5<t≤10A．1.5min B．2min C．3min【答案】B【解题思路】解方程y=60即可.【解答过程】因为茶水温度y（单位：∘C）和泡茶时间t（单位：min）满足关系式y=且喝茶的最佳口感水温大约是60∘当0≤t≤5时，由y=−5t+70=60可得t=2，合乎题意；当5<t≤10时，由y=165t+5=60综上所述，t=2.因此，需要等待的时间为2min故选：B.3．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为300m3，深度为3m.池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为50元，设计水池的最低总造价约为（

A．12000元 B．15000元 C．16000元 D．24000元【答案】C【解题思路】设无盖贮水池的底面长为xm，宽为ym，列出总造价关于【解答过程】设无盖贮水池的底面长为xm，宽为y又其深度为3m，容积为300m3，所以3⋅x⋅y=300令池底面积为S，则3⋅S=300，解得又池底每平方米的造价为100元，则池底总造价为100×池壁由四个侧面组成，面积为2×又池壁每平方米的造价为50元，则池壁总造价为50×综上所述，水池的总造价为300x+y令fx=300x+y所以fx根据基本不等式，可得fx当且仅当x=100x，即x=10时，取得最小值故选：C.4．（2026·浙江宁波·一模）大气压强p=压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为p=p0e−kh（其中e为自然对数的底数，p0是海平面大气压强，kA．(2900,3200) B．(2500,2800) C．(2000,2300) D．(1600,1900)【答案】C【解题思路】结合题意与对数的运算性质求解海拔高度，再判断范围即可.【解答过程】设城区的压强为p1，四明山的压强为p由题意得p1=p两式作除法可得e1014k=101000对于目标点，可得p0e−kh两式作除法可得ek(h−4)=5则h===1−3×0.30101−2×0.4771⋅1014+4≈2152故选：C.二、解答题5．（25-26高二下·上海·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用xx∈N∗年后该设备的总维修保养费用为x2(1)求y关于x的函数关系式；(2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）【答案】(1)y=−(2)使用7年后年平均盈利额最大，最大值为22万元【解题思路】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式；（2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值.【解答过程】（1）根据题意：y=40x−49−x故y关于x的函数关系式为y=−x（2）由（1）知盈利总额为y=−x则年平均盈利额为yx因为x+49x≥2x⋅49所以yx故第7年年平均盈利额取得最大值，最大值为22万元.6．（25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产xx∈N∗G(x)=10(1)求年利润W(x)（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；(2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？【答案】(1)W(x)=(2)45万件；2600万元.【解题思路】（1）先根据题意求出k的值，然后根据利润=销售收入-成本求出年利润与年产量的关系式.（2）先求出0<x≤40时年利润的最大值，再求出x>40时利润的最大值，最后比较大小可得公司所获年利润最大.【解答过程】（1）当x=10时，G10=10×102由题意可知Wx当0<x≤40时，W(x)=2000x−10当x>40时，W(x)=2000x−2020x+所以年利润W(x)（万元）与年产量x（万件）的关系式为W(x)=−10（2）当0<x≤40时，W开口向下，所以当x=22时，Wx当x>40时，W≤4200−20×2x−5当且仅当x−5=1600x−5，即x=45∵2540<2600，所以该组件的年产量为45万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600万元.7．（25-26高一上·湖南长沙·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，室温是θ0℃，那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ=θ0+θ1−(1)求9点起壶中水温θ（单位：℃）关于时间t（单位：分钟）的函数θ=ft(2)若当日小泽在1升水沸腾（100℃）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值40℃时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值40℃时，开始加热至90℃后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数）（参考数据：lg2≈0.301，lg【答案】(1)θ=f(2)43分钟【解题思路】（1）利用已知条件求出加热阶段和冷却阶段的解析式，进而得出ft（2）把事件分成冷却、加热、冷却三个阶段，分别求出对应的时间，进而求出第二次开始加热所需时间．【解答过程】（1）当0≤t≤8时，θ=kt+20，代入t=8，θ=100，解得k=10，则θ=10t+20，当t>8时，冷却公式为θ=θ0+θ1−θ0a即60=20+80a18−8，解得a=1θ=ft（2）若从100℃降温至40℃，根据冷却公式有θ=80×12t∴经过20分钟养生壶（在保温状态下）开始第一次加热；由（1）知，加热阶段θ=10t+20，从40℃加热至90℃，代入计算得t2从90℃降温至40℃，代入θ=20+70×1计算得t3∴t1∴43分钟后养生壶（在保温状态下）第二次开始加热．8．（25-26高一上·陕西渭南·期末）2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第x天(1≤x≤30)的销售单价P(x)（元）的解析式为P(x)=40+kx+1（k为常数），第x天的销售量x381524Q(x)40506070已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价）(1)求实数k的值；(2)根据表格判断①Q(x)=px+q，②Q(x)=px+1+q这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出(3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入f(x