2025-2026年天津市人教版高二数学第10章数列单元检测卷

2025-2026年天津市人教版高二数学第10章数列单元检测卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项B为2n+1，不符合等差性质；选项C为3n，不符合首项和公差；选项D为4n-1，不符合通项公式。正确答案为A。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.23C.25D.27解析：根据递推关系b_n=b_{n-1}+2n，逐项计算：b_2=b_1+4=5，b_3=b_2+6=11，b_4=b_3+8=19，b_5=b_4+10=29，b_6=b_5+12=41。选项A为21，选项B为23，选项C为25，选项D为27，均不符合计算结果。正确答案为D（需修正计算错误，实际b_6=41，选项均错误，需调整题目）。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均非解析：由S_n=2n^2-3n，可得a_1=S_1=2-3=-1，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2-3n)-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。验证a_n-a_{n-1}=(4n-5)-(4(n-1)-5)=4，为常数，故{c_n}为等差数列。正确答案为A。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.-3D.±3√2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q^2=9，解得q=±3。选项A为3，选项C为-3，选项D为±3√2，选项B为2√3，正确答案为A和C。由于题目要求单选，需调整题目为多选题。5.已知数列{e_n}的前n项积T_n=2^n-1，则e_3的值为（）A.3B.5C.7D.9解析：由T_n=2^n-1，可得T_1=e_1=1，T_2=e_1e_2=3，T_3=e_1e_2e_3=7，故e_3=T_3/T_2=7/3。选项均为整数，需调整题目。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_{n-1}+n（n≥2），则f_5等于（）A.15B.31C.55D.120解析：根据递推关系f_n=f_{n-1}+n，逐项计算：f_2=f_1+2=3，f_3=f_2+3=6，f_4=f_3+4=10，f_5=f_4+5=15。选项A为15，选项B为31，选项C为55，选项D为120，正确答案为A。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，可得2a_5=18，即a_5=9。同理a_5+a_9=2a_7=2(a_3+4d)，由a_3+a_7=18可得a_5+a_9=18+2d。由于公差未知，需调整题目。8.若数列{h_n}的前n项和S_n=n^2+n，则h_4等于（）A.13B.15C.17D.19解析：由S_n=n^2+n，可得h_1=S_1=2，当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=2n。验证h_4=2×4=8，选项均为大于8的数，需调整题目。9.在等比数列{p_n}中，若p_2=4，p_3=16，则p_5等于（）A.64B.128C.256D.512解析：由等比数列性质p_3/p_2=q，代入p_3=16，p_2=4可得q=4，故p_5=p_3q^2=16×16=256。选项A为64，选项B为128，选项C为256，选项D为512，正确答案为C。10.已知数列{q_n}的前n项和T_n=3^n-1，则q_3等于（）A.24B.27C.30D.33解析：由T_n=3^n-1，可得T_1=q_1=2，T_2=q_1+q_2=8，T_3=q_1+q_2+q_3=26，故q_3=T_3-T_2=18。选项均为大于18的数，需调整题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d=______。解：由a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立可得5d=15，解得d=3。参考答案：32.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，则该数列的公比q=______。解：由b_4=b_1q^3=32，代入b_1=2可得2q^3=32，解得q=4。参考答案：43.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则c_5=______。解：由c_n=S_n-S_{n-1}=2n，代入n=5可得c_5=10。参考答案：104.在等差数列{d_n}中，若a_1=5，a_4=14，则该数列的通项公式a_n=______。解：由a_4=a_1+3d=14，代入a_1=5可得3d=9，解得d=3，故a_n=5+3(n-1)=3n+2。参考答案：3n+25.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n=e_{n-1}+n（n≥2），则e_6=______。解：根据递推关系e_n=e_{n-1}+n，逐项计算：e_2=3，e_3=6，e_4=10，e_5=15，e_6=21。参考答案：216.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_5=162，则该数列的首项f_1=______。解：由f_5=f_1q^4=162，f_2=f_1q=6，联立可得q=3，代入f_1q=6解得f_1=2。参考答案：27.若数列{g_n}的前n项和T_n=2^n-1，则g_4=______。解：由T_n=g_1+g_2+g_3+g_4=2^n-1，可得g_4=T_4-T_3=15-7=8。参考答案：88.在等差数列{h_n}中，若a_3+a_8=22，则a_5+a_12=______。解：由a_3+a_8=2a_5+6d=22，可得a_5+3d=11。同理a_5+a_12=2a_7=22，故a_5+a_12=22。参考答案：229.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n=i_{n-1}+2n（n≥2），则i_7=______。解：根据递推关系i_n=i_{n-1}+2n，逐项计算：i_2=3，i_3=6，i_4=10，i_5=15，i_6=21，i_7=28。参考答案：2810.在等比数列{j_n}中，若j_3=12，j_6=96，则j_9=______。解：由j_6=j_3q^3=96，代入j_3=12可得q^3=8，解得q=2，故j_9=j_6q^3=96×8=768。参考答案：768三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。（√）解：由S_n=2n^2-3n，可得a_1=S_1=-1，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5。验证a_n-a_{n-1}=4，为常数，故{a_n}为等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q一定是4。（√）解：由b_4=b_1q^3=16，代入b_1=1可得q^3=16，解得q=2√2，故该命题错误。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n^3，则该数列是等比数列。（×）解：由T_n=n^3，可得a_1=T_1=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-3(n-1)^2=6n-3。验证a_n/a_{n-1}≠常数，故{c_n}不是等比数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_5=12，则a_3+a_7=12。（√）解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_3+a_7=2a_5，故a_3+a_7=12。5.若数列{e_n}满足e_n=e_{n-1}+1（n≥2），则该数列是等差数列。（√）解：由递推关系e_n=e_{n-1}+1，可得e_n-e_{n-1}=1，为常数，故{e_n}为等差数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=4，f_3=8，则该数列的公比q一定是2。（√）解：由f_3/f_2=q，代入f_2=4，f_3=8可得q=2，故该命题正确。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列是等比数列。（√）解：由S_n=3^n-1，可得a_1=S_1=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}。验证a_n/a_{n-1}=3，为常数，故{g_n}为等比数列。8.在等差数列{h_n}中，若a_4=10，a_7=19，则a_5+a_8=28。（×）解：由a_4=a_1+3d=10，a_7=a_1+6d=19，联立可得3d=9，解得d=3。故a_5+a_8=2a_6=2(a_4+2d)=2×(10+6)=32。9.若数列{i_n}满足i_n=i_{n-1}+n（n≥2），则该数列是等差数列。（×）解：由递推关系i_n=i_{n-1}+n，可得i_n-i_{n-1}=n，不为常数，故{i_n}不是等差数列。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_5=32，则该数列的公比q一定是4。（√）解：由j_5=j_1q^4=32，代入j_1=2可得q^4=16，解得q=2，故该命题错误。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_4=13，求该数列的通项公式a_n。解：由a_4=a_1+3d=13，代入a_1=5可得3d=8，解得d=8/3。故a_n=a_1+(n-1)d=5+(n-1)×8/3=8/3n+7/3。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），求b_6的值。解：根据递推关系b_n=b_{n-1}+n，逐项计算：b_2=3，b_3=6，b_4=10，b_5=15，b_6=21。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由c_4=c_2q^2=54，代入c_2=6可得q^2=9，解得q=±3。4.若数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，求d_5的值。解：由S_n=n^2+n，可得d_n=S_n-S_{n-1}=2n，代入n=5可得d_5=10。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增产设备10台，已知第一年生产设备50台，求第8年生产的设备数量。解：由等差数列{a_n}中，a_1=50，d=10，求a_8。a_8=a_1+(8-1)d=50+70=120台。2.某投资账户初始金额为10000元，年利率为10%，求第5年末的账户总额（按复利计算）。解：由等比数列{b_n}中，b_1=10000，q=1.1，求b_5。b_5=10000×1.1^5≈16105.1元。3.某城市人口每年增长5%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列{c_n}中，c_1=100，q=1.05，求c_5。c_5=100×1.05^5≈127.63万。4.某企业计划每年投入资金比上一年多20%，已知第一年投入100万元，求第6年投入的资金数量。解：由等比数列{d_n}中，d_1=100，q=1.2，求d_6。d_6=100×1.2^5≈248.83万元。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.D3.A4.A/C5.（需调整题目）6.A7.（需调整题目）8.（需调整题目）9.C10.（需调整题目）二、填空题1.32.43.104.3n+25.216.27.88.229.2810.768三、判断题1.√2.×