2025-2026年浙江省苏教版高三数学第四章数列应用练习题

2025-2026年浙江省苏教版高三数学第四章数列应用练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的前10项和S_10等于（）A.120B.150C.180D.210解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得3+4d=9，解得d=3/2。前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，得S_10=10/2[2×3+(10-1)×3/2]=180。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：根据递推关系，b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10，b_5=b_4+5=15，b_6=b_5+6=21。3.某工厂生产一种产品，每月产量逐月增加，第1个月产量为100件，以后每月比上月增产10件，则该工厂前n个月的产量总和为（）A.100nB.100n+5n(n-1)C.100n+10n(n-1)D.100n+50n(n-1)解析：每月产量构成等差数列a_n=100+10(n-1)，前n项和S_n=n/2[2×100+(n-1)×10]=100n+50n(n-1)。4.已知数列{c_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则c_4的值为（）A.8B.16C.31D.63解析：由S_n=2^n-1，得c_1=S_1=1。当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}，验证n=1时成立，故c_4=2^3=8。5.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的前5项积为（）A.1296B.7776C.15624D.46656解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=6，d_4=54，得d_1q=6，d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=3（q=-3时d_1为虚数舍去），d_1=2。前5项积为d_1d_2d_3d_4d_5=2×6×18×54×162=7776。6.某城市人口每年自然增长率为1%，若2020年人口为100万，则2025年人口约为（）A.105万B.110万C.115万D.120万解析：根据等比数列增长模型，2025年人口P=100×(1+1%)^5≈100×1.051=105.1万。7.在等差数列{e_n}中，若e_3+e_7=24，e_5=8，则该数列的公差d为（）A.2B.-2C.4D.-4解析：由e_3+e_7=2e_5，得2e_5=24，解得e_5=12。又e_5=e_1+4d=8，e_1+4d=12，联立解得d=1，矛盾，重新计算：e_3+e_7=2e_5，24=2×12，故d=0。8.已知数列{f_n}的前n项和为T_n=n^2+n，则f_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：当n≥2时，f_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，验证n=1时f_1=T_1=2，故f_3=2×3=6。9.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_3=8，则该数列的前6项和为（）A.62B.64C.126D.128解析：由g_3=g_1q^2，代入g_1=2，g_3=8，得2q^2=8，解得q=2。前6项和S_6=2(2^6-1)/(2-1)=126。10.某投资者将资金分成三份按不同利率投资，第一份年利率2%，第二份年利率3%，第三份年利率4%，三份资金比例分别为1:2:3，则该投资的平均年利率约为（）A.2.7%B.3.0%C.3.3%D.3.6%解析：设总资金为6x，则第一份2x，第二份4x，第三份10x，总收益=2x×2%+4x×3%+10x×4%=0.56x，平均利率=0.56x/(6x)×100%=9.33%。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=______。参考答案：20解析：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，故a_5=10，同理a_7=10，a_5+a_7=20。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_10=______。参考答案：55解析：b_2=3，b_3=6，b_4=10，...，b_n=n(n+1)/2，b_10=55。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q=______。参考答案：3解析：由c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54，得6q^2=54，解得q=3。4.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则d_5=______。参考答案：32解析：d_5=S_5-S_4=32-16=16。5.在等差数列{e_n}中，若e_3=7，e_6=15，则该数列的通项公式a_n=______。参考答案：2n-1解析：公差d=(15-7)/(6-3)=4/3，a_1=7-2d=3，a_n=3+(n-1)×4/3=2n-1。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_{n-1}+2n（n≥2），则f_6=______。参考答案：91解析：f_2=3，f_3=6，f_4=10，...，f_n=n(n+1)，f_6=21。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=3，g_3=12，则该数列的前4项和S_4=______。参考答案：45解答：公比q=(12/3)=4，S_4=3(4^4-1)/3=45。8.已知数列{h_n}的前n项和为T_n=n(n+1)/2，则h_4=______。参考答案：10解析：h_4=T_4-T_3=20-6=10。9.在等差数列{i_n}中，若i_1=2，i_5=14，则该数列的前10项和S_10=______。参考答案：110解析：公差d=(14-2)/(5-1)=4，S_10=10/2[2×2+(10-1)×4]=110。10.若数列{j_n}满足j_1=2，j_n=j_{n-1}+n（n≥2），则j_8=______。参考答案：36解析：j_2=3，j_3=6，j_4=10，...，j_n=n(n+1)/2，j_8=36。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2+n，则该数列是等差数列。参考答案：正确解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=6n-2，验证n=1时a_1=S_1=4，故a_n=6n-2，是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则数列{b_n}是递增数列。参考答案：正确解析：由b_n=b_1q^{n-1}，因b_1>0，q>1，故b_n随n增大而增大。3.若数列{c_n}的前n项和为S_n=n^3，则该数列是等比数列。参考答案：错误解析：当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-3(n-1)^2=6n-3，不是等比数列。4.在等差数列{d_n}中，若d_1+d_9=20，则d_5+d_7=20。参考答案：正确解析：由等差数列性质d_1+d_9=2d_5，故d_5+d_7=2d_5=20。5.若数列{e_n}满足e_n=e_{n-1}+n（n≥2），则该数列是等差数列。参考答案：错误解析：当n≥2时，e_n-e_{n-1}=n，不是常数，故不是等差数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q=3。参考答案：正确解析：由f_4=f_2q^2，代入f_2=6，f_4=54，得6q^2=54，解得q=3。7.若数列{g_n}的前n项和为T_n=2^n-1，则该数列是等比数列。参考答案：正确解析：当n≥2时，g_n=T_n-T_{n-1}=2^{n-1}，是等比数列。8.在等差数列{i_n}中，若i_1=2，i_5=14，则该数列的通项公式i_n=2n。参考答案：错误解析：公差d=(14-2)/(5-1)=4，i_n=2+4(n-1)=4n-2。9.若数列{j_n}满足j_n=j_{n-1}+2n（n≥2），则该数列是等比数列。参考答案：错误解析：当n≥2时，j_n-j_{n-1}=2n，不是常数，故不是等比数列。10.在等比数列{k_n}中，若k_1=1，k_3=8，则该数列的前6项和S_6=63。参考答案：正确解析：公比q=(8/1)=2，S_6=1(2^6-1)/2=63。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解答：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，验证n=1时a_1=S_1=2，故a_n=2n。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，求该数列的公比q及前5项和S_5。解答：由b_4=b_1q^3，代入b_1=2，b_4=32，得2q^3=32，解得q=4。S_5=2(4^5-1)/3=210。3.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+3n（n≥2），且c_1=1，求c_6的值。解答：c_2=c_1+6=7，c_3=10，c_4=15，c_5=21，c_6=28。4.在等差数列{d_n}中，若d_1=5，d_5=15，求该数列的前10项和S_10。解答：公差d=(15-5)/(5-1)=10/4=2.5，S_10=10/2[2×5+(10-1)×2.5]=275。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第1年产量为1000件，以后每年比上一年增产100件，求该工厂第5年的产量及前5年的总产量。解答：产量构成等差数列a_n=1000+100(n-1)，第5年产量a_5=1000+100×4=1400件，前5年总产量S_5=5/2[2×1000+(5-1)×100]=7500件。2.某投资账户初始金额为10000元，年利率为5%，每年复利计算，求第3年末的本息和。解答：本息和P=10000×(1+5%)^3≈11576.25元。3.某城市人口2020年为100万，每年自然增长率为1.2%，求2025年的人口预测值（精确到0.1万）。解答：P=100×(1+1.2%)^5≈112.7万。4.某企业计划投资一个项目，前3年每年投入资金分别为100万元、120万元、140万元，若年利率为6%，求该投资的现值总和。解答：现值P=100/(1+6%)^1+120/(1+6%)^2+140/(1+6%)^3≈314.1万元。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.A3.C4.A5.B6.A7.D8.D9.B10.C解析：第7题原计算错误，正确解法为a_3+a_7=2a_5=16，故a_5=8，矛盾，重新计算：由a_3+a_7=24，得2a_5=24，a_5=12。又a_5=a_1+4d=8，联立解得d=-1/2，a_1=17/2，a_n=17/2-(n-1)/2=9-(n-1)/2，a_6=8，a_7=7.5，矛盾，需重新命题。二、填空题1.202.553.34.165.2n-16.917.458.109.11010.36三、判断题1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.√8.×9.×10.√四、简答题1.a_n=2n解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，验证n=1时a_1=S_1=2，故a_n=2n。2.q=4，S_5=210