2025-2026年江苏省北师大版高一数学第二章函数性质练习题

2025-2026年江苏省北师大版高一数学第二章函数性质练习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间(-2,2)上的最大值是（）A.2√3B.4C.0D.-4解析：本题考查函数极值与最值的求解。首先求导f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。计算驻点函数值f(1)=-2，f(-1)=2；端点值f(-2)=-2，f(2)=2。故最大值为2，选项D正确。需注意极值与最值的区别，极值是局部性质，最值是全局性质。2.若函数f(x)=|x-a|在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,+∞)B.(-∞,0]C.[0,+∞)D.[1,+∞)解析：绝对值函数f(x)=|x-a|的图像是V形，其单调递增区间为[a,+∞)。由题意需满足a≥0，故选项C正确。需掌握绝对值函数的图像与性质，特别是对称轴与单调区间。3.函数f(x)=sin(x+π/3)的图像关于哪个点对称？（）A.(π/6,0)B.(π/3,0)C.(π/2,0)D.(2π/3,0)解析：正弦函数f(x)=sin(x+π/3)的对称中心为函数周期内满足sin(x+π/3)=0的点。令x+π/3=kπ，得x=kπ-π/3，当k=1时x=2π/3，故对称中心为(2π/3,0)，选项D正确。4.函数f(x)=log₃(2x-1)在区间(1,2)上的值域是（）A.(0,+∞)B.(-∞,1)C.(0,1)D.(-1,0)解析：定义域需满足2x-1>0，即x>1/2。在(1,2)上2x-1∈(1,3)，故log₃(2x-1)∈(0,1)，选项C正确。需注意对数函数的单调性与定义域限制。5.函数f(x)=x²-2ax+a²+1的最小值为0，则实数a的值是（）A.1B.-1C.±1D.0解析：f(x)是开口向上的抛物线，最小值在x=a处取得，f(a)=a²-2a²+a²+1=1-a²。由题意1-a²=0，得a=±1，选项C正确。需掌握二次函数顶点坐标与最值求解方法。6.函数f(x)=x³-3x与g(x)=x³+3x在(-∞,+∞)上的单调性关系是（）A.f(x)单调递增，g(x)单调递减B.f(x)单调递减，g(x)单调递增C.f(x)与g(x)均单调递增D.f(x)与g(x)均单调递减解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)单调递增，在(-1,1)单调递减；g′(x)=3x²+3>0，g(x)在R上单调递增。选项B正确。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.3C.2D.0解析：绝对值函数表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值在x=-2或x=1处取得，最小值为|-2-1|+|-2+2|=3，选项B正确。需掌握绝对值函数的几何意义。8.函数f(x)=2cos²x-1在区间(0,π/2)上的值域是（）A.[-1,1]B.[0,1]C.[-1,0]D.[0,2]解析：f(x)=cos(2x)，在(0,π/2)上2x∈(0,π)，cos(2x)∈(-1,1)，故值域为(-1,1)，选项C正确。需注意余弦函数的周期性与对称性。9.函数f(x)=x²-4x+3与g(x)=x³-3x在(-∞,+∞)上的交点个数是（）A.1B.2C.3D.4解析：令h(x)=f(x)-g(x)=x²-4x+3-x³+3x=x³-x²-1，求导h′(x)=3x²-2x，令h′(x)=0得x=0或x=2/3。计算驻点函数值h(0)=-1，h(2/3)=-32/27<0，且x→±∞时h(x)→-∞，故交点个数为1，选项A正确。10.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)在(0,+∞)上的关系是（）A.f(x)>g(x)B.f(x)<g(x)C.f(x)=g(x)D.无法确定解析：构造函数h(x)=f(x)-g(x)=e^x-1-ln(x+1)，求导h′(x)=e^x-1/(x+1)，在(0,+∞)上e^x>1且1/(x+1)<1，故h′(x)>0，h(x)单调递增，且h(0)=0，选项C正确。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x²-6x+5在区间[1,4]上的最大值是_________解：f(x)=(x-3)²-4，对称轴x=3，区间[1,4]包含对称轴，最大值为f(4)=1，解析：需判断区间与对称轴位置关系，若包含对称轴需比较端点值。2.函数f(x)=|x-2|+|x+1|的图像关于直线x=_________对称解：对称轴为两个绝对值项零点的中点，即(2+(-1))/2=0.5，解析：绝对值函数图像的对称轴是各零点的平均值。3.函数f(x)=sin(2x+π/4)的周期是_________解：周期T=2π/|ω|=2π/2=π，解析：正弦函数周期公式T=2π/|ω|，需先确定ω的值。4.函数f(x)=log₅(3x-2)的定义域是_________解：3x-2>0，x>2/3，解析：对数函数真数必须大于0，需解不等式。5.函数f(x)=x³-3x+1的极值点是_________解：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，解析：极值点在导数为0且变号的点处。6.函数f(x)=|x-1|+|x-3|的最小值是_________解：最小值为|1-3|=2，解析：绝对值函数表示距离之和，最小值是两零点距离。7.函数f(x)=cos(x+π/3)在区间(0,π)上的值域是_________解：值域为[-1/2,1/2]，解析：余弦函数在[0,π]上单调递减，需计算端点值。8.函数f(x)=x²-4x+3与g(x)=x³-3x在(-∞,+∞)上的交点横坐标是_________解：x=1，解析：需解方程x²-4x+3=x³-3x，即x³-x²-1=0，通过试根法或导数分析确定唯一实根。9.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)在(0,+∞)上的关系是_________解：f(x)=g(x)，解析：需证明函数差为常数，可通过导数与初始值确定。10.函数f(x)=sin(x+π/6)的图像向右平移π/3个单位后得到函数_________解：f(x)=sin(x-π/6)，解析：正弦函数平移公式为f(x)→f(x-a)，需注意平移方向。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在R上单调递增。（）解：正确。f′(x)=3x²≥0，导数恒非负，函数单调递增。2.函数f(x)=|x|在(-∞,0)上单调递减。（）解：正确。在(-∞,0)上f(x)=-x，斜率为-1，单调递减。3.函数f(x)=sin(x+π/2)的图像与y=x对称。（）解：正确。f(x)=cosx，cosx的图像与y=x关于原点对称，平移π/2后仍保持对称性。4.函数f(x)=log₃(x+1)在(-1,+∞)上单调递增。（）解：正确。对数函数底数大于1时单调递增，定义域内导数恒正。5.函数f(x)=x²-4x+4的图像是抛物线，开口向上。（）解：正确。f(x)=(x-2)²，对称轴x=2，开口系数1>0。6.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是0。（）解：错误。最小值为|1-(-1)|=2，需计算两零点距离。7.函数f(x)=cos(2x)的周期是π。（）解：正确。周期T=2π/|ω|=2π/2=π。8.函数f(x)=x³-3x与g(x)=x³+3x在(-∞,+∞)上均单调递增。（）解：错误。f′(x)=3x²-3，在(-1,1)单调递减。9.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)在(0,+∞)上f(x)>g(x)。（）解：错误。构造函数h(x)=e^x-1-ln(x+1)，h(0)=0，h′(x)>0，故h(x)单调递增，h(x)>0，即f(x)>g(x)，需重新判断。10.函数f(x)=sin(x+π/4)的图像向左平移π/4个单位后得到函数cosx。（）解：正确。f(x)=sin(x+π/4)→f(x+π/4)=sin(x+π/2)=cosx。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.证明函数f(x)=x³-3x在(-∞,+∞)上存在唯一一个极小值点。解：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。f′(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)为正，在(-1,1)为负，故x=-1处为极大值点，x=1处为极小值点，且为唯一极小值点。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在(-∞,+∞)上的单调区间。解：零点为x=1和x=-2，分三段：(1)x<-2：f(x)=-x+1-x-2=-2x-1，单调递减；(2)-2≤x≤1：f(x)=-x+1+x+2=3，单调不变；(3)x>1：f(x)=x-1+x+2=2x+1，单调递增。3.求函数f(x)=sin(2x+π/3)在区间(0,π)上的最大值与最小值。解：令2x+π/3=t，则t∈(π/3,7π/3)，sinx在(π/3,π/2)单调递增，在(π/2,2π/3)单调递减，最大值为sin(π/2)=1，最小值为sin(7π/6)=-1/2。4.求函数f(x)=log₃(2x-1)的导数，并判断其单调性。解：f′(x)=2/(3(2x-1)ln3)，定义域x>1/2，f′(x)>0，故f(x)在(1/2,+∞)上单调递增。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极大值，且f(2)=3，求p、q的值。解：f′(x)=3x²-p，x=1处极大值，f′(1)=3-p=0，p=3。f(2)=8-2p+q=3，代入p=3得q=-1。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值与最小值。解：零点为x=1和x=-2，分三段：(1)-3≤x<-2：f(x)=-x+1-x-2=-2x-1，f(-3)=5；(2)-2≤x≤1：f(x)=3；(3)x>1：f(x)=2x+1，f(3)=7。最大值7，最小值3。3.求函数f(x)=sin(2x+π/4)的周期，并写出其单调递增区间。解：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。令2x+π/4∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2)，得x∈[kπ-3π/8,kπ+π/8)，单调递增区间为[kπ-3π/8,kπ+π/8)，k∈Z。4.已知函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x=1处取得最小值，求a的值。解：f(x)=(x-a)²+1-a²，对称轴x=a，x=1处最小值，a=1。【标准答案及解析】一、单选题1.D2.C3.D4.C5.C6.B7.B8.C9.A10.C解析：需结合导数、绝对值函数几何意义、对数函数性质等综合分析。二、填空题1.12.0.53.π4.x>2/35.±16.27.-1/2,1/28.19.f(x)=g(x)10.sin(x-π/6)解析：需掌握函数极值、对称性、周期性、定义域、平移等基本性质。三、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.×7.√8.×9.×10.√解析：需注意绝对值函数最小值、函数平移公式等易错点。四、简答题1.证明：f′(x)=3x²-3，x=±1处导数为0，f′(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)为正，在(-1,1)为负，故x=1处为极小值点，且为唯一极小值点。2.解：零点为x=1和x=-2，分三段：(1)x<-2：