第十章必刷小题20计数原理、概率、随机变量及其分布

必刷小题20计数原理、概率、随机变量及其分布[分值：73分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2026·泰安模拟)已知随机变量X~N(2，σ2)，若P(X≥-1)=0.7，则P(2≤X≤5)等于()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.7答案A解析因为X~N(2，σ2)，所以P(X≥2)=0.5，若P(X≥-1)=0.7，则P(X<-1)=1-0.7=0.3，P(X>5)=P(X<-1)=0.3，所以P(2≤X≤5)=P(X≥2)-P(X>5)=0.5-0.3=0.2.2.(2026·临沂模拟)已知A，B，C，D四个同学站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法种数是()A.8 B.10 C.12 D.16答案A解析若C排在从左到右的第二个位置，则D只能排在从左到右的第三或第四个位置，此时有C21同理，若C排在从左到右的第三个位置，根据对称性可知，此时也有4种不同的排法，由分类加法计数原理可知，不同的排法种数是4+4=8.3.(2026·贵阳模拟)二项式x−ax6(aA.a=2B.展开式中含x4的项的系数是-12C.展开式中一定含x-1的项D.展开式中的常数项是-160答案C解析x−ax6(a>0)的展开式的通项为Tk+1=C6kx6-k−axk=(-a)kC6kx6-2k，k=0，1，2，3，4，5，6，令6-2k=2，得k=2，可得(-故通项为Tk+1=(-2)kC6kx6-2k，k=0，1，2，3，4，5，6，令6-2k=4，得k=1，可得含x4项的系数为(-2)1C61由6-2k=-1，得k=3.5，不符合题意，所以展开式中一定不含x-1的项，C错误；对于D，令6-2k=0，得k=3，可得展开式中的常数项是(-2)3C63=-160，D4.(2026·武汉模拟)从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的均值为()A.43 B.2 C.83 答案C解析设得分为X，X的所有可能取值为4，3，2，则P(X=4)=C22C62=115，P(X=3P(X=2)=C42C62则分布列为X432P182所以所得分数的均值为E(X)=4×115+3×815+2×255.已知离散型随机变量X的分布列如下，若E(12X)=7，则D(2X+3)等于()X-10a2P1b11A.15536 B.15572 C.155144答案A解析由分布列可得16+b+14+14=1，解得b由E(12X)=7，得12E(X)=7，即E(X)=712所以-16+0+a4+12=712D(X)=16×−1−7122+13×0−7122+14所以D(2X+3)=22·D(X)=4×155144=1556.现有分别标有数字1，2，3，4的小球各2个，它们的形状、大小、材质完全相同，现从这8个小球中任取4个，则取出的小球上的数字之和为10的概率为()A.835 B.1770 C.935答案C解析从这8个小球中任取4个的样本点共有C84又满足4个小球上的数字之和为10的情况有①4个小球上的数字分别是1，1，4，4，即有1种情况；②4个小球上的数字分别是1，2，3，4，即有C21③4个小球上的数字分别是2，2，3，3，即有1种情况，即取出的小球上的数字之和为10的样本点有1+16+1=18(个)，所以取出的小球上的数字之和为10的概率为1870=97.(2026·成都模拟)连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则()A.P(A)=136 B.A与CC.A与C对立 D.B与C互斥答案B解析根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36个样本点.对于A，事件A为“第一次的点数是2”，包含6个样本点，则P(A)=636=16，对于B，事件C为“两次的点数之和为偶数”，包含18个样本点，则P(C)=1836=1事件AC，即{(2，2)，(2，4)，(2，6)}，包含3个样本点，则P(AC)=336=1则有P(AC)=P(A)P(C)，事件A，C相互独立，B正确；对于C，事件A，C可以同时发生，故不互斥，于是更不对立，C错误；对于D，事件B，C可以同时发生，不互斥，D错误.8.(2026·赣州模拟)某百货商场为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次，且其中有1张甲奖券中奖，则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为()A.0.12 B.0.2 C.0.25 D.0.32答案C解析设事件A为“恰好中奖2次且其中有1张甲奖券中奖”，即“甲奖券中奖1次且乙奖券中奖1次或甲奖券中奖2次且乙奖券不中奖”，事件B为“恰好中奖2次且均为甲奖券”，即“甲奖券中奖2次且乙奖券不中奖”，则P(A)=0.4×0.4×(1-0.5)+C21×0.4×(1-0.4)×0.5=0.32，P(B)=0.4×0.4×(1-0.5)又由A∩B=B，即P(AB)=P(B)，所以所求概率为P(B|A)=P(AB)P(二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则()X012P0.21-2qqA.q=0.2 B.E(X)=1C.E(5X-1)=4 D.D(X)=0.2答案ABC解析由分布列的性质可知，0.2+1-2q+q=1，所以q=0.2，E(X)=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1，E(5X-1)=5E(X)-1=4，故A，B，C正确；D(X)=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4，故D错误.10.(2026·武汉模拟)下列命题正确的是()A.若三个事件A，B，C两两相互独立，则满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)B.若0<P(C)<1，0<P(D)<1，且P(D)=1-P(D|C)，则C，D相互独立C.若事件A，B满足P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(A∪B)=0.5，则P(AB∪AB)=0.9D.给定事件A，B，C，且P(C)>0，则P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)答案BC解析对于A，考虑投掷两个骰子，记事件A=“第一个骰子的点数为奇数”，事件B=“第二个骰子点数为奇数”，事件C=“两个骰子的点数之和为奇数”，于是有P(A)=P(B)=P(C)=12P(AB)=P(BC)=P(AC)=14则事件A，B，C两两相互独立，但P(ABC)=0，即P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，A错误；对于B，P(D)=1-P(D|C)=P(D|C)=P(CD)P(C)，即P(CD)=P(C)P(D对于C，由P(A)=0.5，P(B)=0.6，则P(A)=1-0.5=0.5，P(B)=1-0.6=0.4，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5，则P(AB)=0.4，又P(A)=P(AB)+P(AB)=0.5，则P(AB)=0.1，P(AB)=P(B)-P(AB)=0.6-0.1=0.5，则P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=0.4+0.5=0.9，C正确；对于D，当A，B互斥时，P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)；当A，B不互斥时，P(A∪B|C)<P(A|C)+P(B|C)，D错误.11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1s向左或向右移动一个单位长度.向左移动的概率为23，向右移动的概率为13，设移动n次后质点位于位置XA.当n=4时，P(X4=0)=8B.当n=5时，P(X5=1)=80C.当n=6时，该质点共经过两次3的概率为4D.当n=2025时，X2025的期望E(X2025)=-675答案ACD解析设移动n次中，向右移动k次，向左移动n-k次，则k~Bn,则Xn=k-(n-k)=2k-n.对于A，当n=4时，要使得X4=0，即2k-4=0，k=2，则向左和向右移动的次数均为2次，P(X4=0)=P(k=2)=C4213223对于B，当n=5时，要使得X5=1，即2k-5=1，k=3，则向右移动3次，向左移动2次，P(X5=1)=P(k=3)=C53133对于C，当n=6时，记R为向右移动，L为向左移动，则该质点共经过两次3，前5次的移动情况共有2种情况：RRRLR，RRRRL，所以概率为13×13×13×23×13+13×13×13×对于D，因为Xn=2k-n.期望E(Xn)=E(2k-n)=2E(k)-n.因为k~Bn,13，所以E(k)则E(Xn)=2×n3-n=-n当n=2025时，E(X2025)=-20253=-675，D正确三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2026·苏州模拟)若C14m=C14m+2，则C32+C答案34解析因为C14m=C14m+2，所以m+(m+2)=14或m=m所以C32+C42+C52+C62=C3=C43+C42+C52+C62-1=C53+13.1x+1(x-2)4的展开式中x2的系数为答案16解析(x-2)4的展开式的通项为Tk+1=C4k(-2)kx4-k，k=0，1，2，3，若从因式1x+1中选取1x，则需k此时含x2的项为C41×(-2)1x3·1x=-8若从因式1x+1中选取1，则需k=2此时含x2的项为C42×(-2)2x2·1=24x故1x+1(x-2)4的展开式中x214.某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产7nm规格的芯片，现有2000块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为1200块，800块，且乙生产该芯片的次品率为0.05，现从这2000块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲生产该芯片的次品率为.答案0.1解析设A1，A2分别表示“取得的这块芯片是由甲、乙生产的”，B表示“取得的芯片为次品”，甲生产该芯片的次品率为p