专题2.6幂函数与二次函数（举一反三专项训练）（教师版）

专题2.6幂函数与二次函数（举一反三专项训练）【全国通用】目录第一部分题型专练TOC\o"1-3"\h\u【题型1比较幂值的大小】 1【题型2幂函数图象的判断及应用】 3【题型3幂函数的图象和性质】 5【题型4求二次函数的解析式】 7【题型5二次函数的图象】 9【题型6二次函数的单调性与最值】 12【题型7二次函数的恒成立问题】 14第二部分分层突破A组基础跟踪练B组培优提升练C组真题·实战演练【题型1比较幂值的大小】1．（2026·辽宁·二模）已知a=20.3,b=0.2A．b>a>c B．a>c>b C．b>c>a D．a>b>c【答案】D【解题思路】由幂函数与指数函数的单调性比较指数幂的大小即可.【解答过程】对于a,b，由于y=x0.3在0,+∞对于b,c，由于y=0.2x单调递减，故所以a>b>c.故选：D.2．（2026·天津北辰·三模）设a=2312,b=A．c<b<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<a<b【答案】D【解题思路】首先根据指数函数性质得到b最大，再利用幂函数y=x12【解答过程】因为0<2312<0<3−1c=3接下来比较3−12和23的大小关系，因为则3−12<23，根据幂函数即a>c.故c<a<b.故选：D.3．（2026·陕西榆林·一模）已知a，b∈R，且a<bA．1a>1b B．12a【答案】C【解题思路】取特殊值判断AD，根据y=12x【解答过程】解：对于A，取a=−1,b=1，满足a<b，但不满足1a对于B，由于指数函数y=12x在R上单调递减，所以当a<b对于C，由于函数y=x3在R单调递增，当a<b时，对于D，取a=1,b=2，满足a<b，此时lnb−a故选：C.4．（2026高三·全国·专题练习）已知a2⋅3A．a<c<b B．c<a<bC．a<b<c D．b<c<a【答案】D【解题思路】将等式变形，作出函数y=x【解答过程】由a2⋅3画出y=x则a是y=x2与y=13x图像交点的横坐标，bc是y=x与y=12x故选：D.【题型2幂函数图象的判断及应用】5．（25-26高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（

）

A．y=x−1C．y=x34【答案】C【解题思路】根据①对应的函数图象特点分析.【解答过程】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为0,+∞且图象呈现上凸趋势，则指数α的值满足0<α<1，排除选项AD；又y=x23=3x2故y=x故选：C.6．（2026高一上·全国·专题练习）若幂函数y=3m2A．13 B．12 C．2 【答案】A【解题思路】根据幂函数的定义，得到3m2−4m+2=1，求得m=13【解答过程】根据幂函数定义可知，3m2−4m+2=1，解得m=当m=13时，y=x13由图可知m=1不合题意，所以m=1故选：A.7．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数fx=x3,f

A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③【答案】B【解题思路】根据幂函数y=x【解答过程】根据幂函数y=x当α>0时，在0,+∞且α>1时，在0,+∞α=1时，在0,+∞0<α<1时，在0,+∞当α<0时，在0,+∞因为3>1>13>0>−2，所以②为fx=故选：B.8．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数y=x−1,y=xm与y=xn

A．−1<m<0<n<1 B．−1<n<0<m<C．−1<m<0<n<12 【答案】D【解题思路】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解.【解答过程】当α>0时，幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增，且当α<0时，幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减．不妨令x=2，由图象得综上可知，−1<n<0<m<1．故选：D.【题型3幂函数的图象和性质】9．（2026·湖南·一模）已知幂函数fx=m2+2m−2xm+2在A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3【答案】A【解题思路】根据幂函数定义和函数单调性列出关于m的方程和不等式即可求解.【解答过程】由题意可得m2故选：A.10．（25-26高三上·四川成都·期中）幂函数fx=m2−m−1xm−1A．2或−1 B．−1 C．2 D．−2或−1【答案】B【解题思路】根据幂函数的定义以及单调性列出关于m的方程与不等式，则结果可求.【解答过程】由题意可知m2−m−1=1m−1<0故选：B.11．（2026·四川绵阳·模拟预测）关于函数fx=xA．函数的定义域为−B．函数的值域为0,+C．函数在−∞,0上单调递减，在D．函数是偶函数【答案】C【解题思路】整理可得fx【解答过程】因为函数fx对于选项A：令x2≠0，解得所以函数fx的定义域为−对于选项B：因为x≠0，则x2>0，可得所以函数fx的值域为0,+对于选项C：因为y=x2在−∞所以函数fx在上0,+∞单调递减，在对于选项D：因为函数fx的定义域为−且f−x=1故选：C.12．（2026·湖北·模拟预测）已知幂函数f(x)=2m+mA．f(x)为奇函数 B．f(x)在其定义域上单调递减C．f(m+1)>f(2) D．f(m−1)<f(−2)【答案】C【解题思路】由幂函数的定义求出m=0，由函数奇偶性得到A错误，求出定义域，求导得到函数的单调性，从而判断BCD.【解答过程】因为f(x)=(2m+m)当m=0时，20因为y=2m+m此时f(x)=x−2=A选项，f(−x)=1(−x)2B选项，对f(x)=1x2当x>0时，f′x<0，当xf(x)在(−∞,0)上单调递增，在所以f(x)在其定义域上不单调递减的，B错误；C选项，m+1=1，f(x)=1x2因为1<2，所以f(1)>f(2)，即D选项，m−1=−1，f(x)在(−∞,0)上单调递增，所以f−2<f−1故选：C.【题型4求二次函数的解析式】13．（25-26高三上·山东·开学考试）二次函数fx过点−1,0，且对任意实数x都有4x−12≤fx≤2x2−8x+6A．x2+2x+1 B．x2−4x−5 C．【答案】C【解题思路】注意到x=3时，4x−12=2x2−8x+6，则fx过点3,0，且在3,0处的切线为【解答过程】当x=3时，4x−12=12−12=0、2x故有0≤f3≤0，则fx过点3,0，且在3,0则可设二次函数fxf′x=2ax−2a，有f则fx此时fxfx故选：C.14．（25-26高一上·广东江门·期中）已知二次函数fx满足fx+1=fx+2x，且fA．f(x)=x2−x+2C．f(x)=x2−x+1【答案】A【解题思路】设二次函数fx【解答过程】设fx=ax由fx+1=fx化简得2a+bx+a+b=∴2a+b=b+2a+b=0，解得a=1由f1=2，得故fx故选：A.15．（2026高一上·全国·专题练习）已知二次函数fx满足条件f0=1，且fx+1【答案】x【解题思路】先写出二次函数的一般形式，再代入f0=1求出常数项，并利用fx+1【解答过程】∵fx是二次函数，设f∵f0∴c=1，又∵fx+1∴ax+1即2ax+a+b=2x，∴2a=2a+b=0，解得∴fx故答案为：x216．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知二次函数fx满足fx+2+fx=2【答案】f【解题思路】设fx【解答过程】设fx因为f=2ax所以2a=24a+2b=04a+2b+2c=−2，解得所以fx故答案为：fx【题型5二次函数的图象】17．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）不等式cx2+ax+b>0的解集为x−1<x<12A． B．C． D．【答案】B【解题思路】根据不等式的解集得到c<0，−1,12为cx2+ax+b=0【解答过程】由题意得c<0，−1,12为故−1+12=−y=ax对称轴为x=−b所以B选项正确.故选：B.18．（25-26高一上·北京·阶段检测）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc<0；②3a+c>0；③a+cA．② B．①② C．①③ D．②③【答案】D【解题思路】由二次函数图象开口、对称轴、特殊点及与坐标轴的交点个数，即可判断.【解答过程】由图象得：图象的开口向上，所以a>图象的对称轴在y轴的右侧，所以b<0，又图象与y轴的交点在负半轴，所以c<0，所以abc>从图象观察得，当x=−1时，y>0，所以又−b2a=1，所以b=−2a所以3a+c>0成立，故②正确；当x=1时，y<0，所以a+b+又a+c>综上得结论正确的是②③，故选：D.19．（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c （a,b,c为常数，且A．abc<0 B．a+b>0C．a+b+c>0 D．不等式cx2【答案】D【解题思路】根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出a,b,c的符号及相互关系，再利用a,b,c的符号及相互关系逐一分析判断各选项．【解答过程】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为−1和2，∴a>0−选项A：∵b<0,c<0，∴bc>0，又∵a>0，∴abc>0，故A错误；选项B：∵b=−a，∴a+b=a−a=0，故B错误；选项C：∵b=−a,c=−2a,a>0，∴a+b+c=a−a−2a=−2a<0，故C错误；选项D：∵b=−a,c=−2a,a>0，∴cx∵a>0，∴原不等式等价于2x2−x−1=∴不等式的解集为x 故选：D．20．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象顶点在第一象限，且经过A−1,0、B0,1两个点.则下列说法正确的个数是：①abc>0；②a<−1；③

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.【解答过程】①由图象可知二次函数图象开口向下，则a<0，图象与y轴交点为B0, 1顶点在第一象限，对称轴x=−b2a>0，又a<0所以abc<0，故①错误；②因为图象经过A−1, 0、B0, 因为a<0，b>0，所以−1<a<0，故②错误；③由−1<a<0，得0<a+1<1，即0<b<1，故③正确；④因为图象顶点在第一象限，且经过A−1,由二次函数的对称性可知与x轴另一个交点的横坐标在1,+∞所以当x=1时，a+b+c>0，又−1<a<0，0<b<1，c=1，所以a+b+c<2，即0<a+b+c<2，故④正确.故选：B.【题型6二次函数的单调性与最值】21．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知函数fx=x2−kx−8在3,4上不具有单调性，则实数A．6,8 B．−∞,6∪8,+∞ 【答案】A【解题思路】二次函数在给定区间内不具有单调性，只需对称轴在给定区间内，列不等式求解即可.【解答过程】函数fx=x因为函数fx在3,4上不具有单调性，所以3<k2故选：A.22．（25-26高一上·全国·期末）已知二次函数fx=axA．f5>f2C．f8>f2【答案】A【解题思路】根据二次函数的对称性和单调性即可得到答案.【解答过程】因为二次函数fx=ax所以a<0，且fx=ax所以f2=f6，且f故f5故选：A．23．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知函数fx=2x2−mx+5在−A．8,+∞ B．4,+∞ C．−∞【答案】A【解题思路】根据fx【解答过程】函数fx=2x所以若函数fx=2x则m4≥2，解得所以m的取值范围为8,+∞故选：A.24．（25-26高三上·北京丰台·期中）当x∈[0,2]时，函数f(x)=ax2+4(a−1)x−3(a>0),在x=2时取得最大值，则aA．[13,+∞) B．[1【答案】C【解题思路】根据二次函数的性质即可求解.【解答过程】当a>0时，此时f(x)为开口向上的二次函数，其对称轴为x=2由题意知：a>02a−2−2故选：C.【题型7二次函数的恒成立问题】25．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知函数fx=ax2−3ax+a2−3a<0A．(−7,7) B．−4,0 C．【答案】D【解题思路】由题意得到ax2−3ax+a2【解答过程】由不等式fx<4对任意即ax2−3ax+∵a<0，对称轴x=3∴只需f3可得94即4a+7a−4解得−7又a<0，所以−7故选：D．26．（25-26高一上·广东广州·期末）若对∀x∈[1,2]，x2−2ax−3a<0(a∈R)恒成立，则a的取值范围是（A．−∞,47 B．47,+【答案】B【解题思路】令fx=x2−2ax−3a，x∈[1,2]，分a≤【解答过程】令fx=x2−2ax−3a，x∈[1,2]当a≤32时，则fx当a>32时，则fx综上可得a的取值范围是47故选：B.27．（25-26高一上·北京·期中）已知函数fx=ax2−x，若对任意x1,x2A．12,+∞C．14,+∞【答案】D【解题思路】先由题意得到函数fx【解答过程】由题意对任意x1,x2∈2,+∞，且x当a=0时，fx当a≠0时，函数fx故其开口向上，且对称轴在区间2,+∞即a>012a≤2故选：D.28．（25-26高二·吉林松原·阶段检测）已知二次函数fx满足fx+1=x2−x+2，若fxA．m<-5 B．m>-5 C．m<11 D．m>11【答案】A【解题思路】利用换元法求得fx=x2−3x+4，再将fx>3x+m【解答过程】令x+1=t，则x=t−1，所以ft则fx因为fx>3x+m在区间所以m<x2−6x+4令gx所以gx所以m<−5，故选：A.一、单选题1．（2026·河南南阳·模拟预测）“a=1”是“函数f(x)=a2xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断.【解答过程】若函数f(x)=a2xa为幂函数，则所以“a=1”是“函数f(x)=a故选：A.2．（2026高一·全国·专题练习）函数y=2x2+4x+5(−2≤x≤1)A．[5,11] B．3,5C．3,11 D．3,+【答案】C【解题思路】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值.【解答过程】函数y=2x2+4x+5=2在−2,−1单调递减，在−1,1单调递增，所以x=−1，ymin当x=1，ymax故原函数的值域为3,11.故选：C.3．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞上单调递增的是（

A．y=x−1 C．y=x2 【答案】C【解题思路】利用函数的奇偶性及在(0,+∞【解答过程】对于A，函数y=x−1在对于B，函数y=x12对于C，函数y=x2的定义域为R，是偶函数，在对于D，函数y=x故选：C.4．（2026·河北衡水·二模）“log2a<log2bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解题思路】先由对数函数和幂函数的单调性得到a和b的关系，即可判断出答案.【解答过程】因为y=log2x所以由log2a<log由a−3>b−3>0又因为函数y=x−3在所以a−3>b因此，“log2a<log故选：C.5．（2026·河南南阳·模拟预测）已知a=−3423，b=A．b>a>c B．a>c>b C．a>b>c D．c>a>b【答案】D【解题思路】由题知a=91613，【解答过程】a=−34因为y=x13在0,+∞所以1>9161因为c=log所以c>1>a>b，即c>a>b故选：D.6．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知x,y为实数，则“x3>y3”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解题思路】结合幂函数和指数函数的性质，利用充分性、必要性的概念判断即可.【解答过程】因为函数y=x3在R上单调递增，所以由x3又因为函数y=3x在R上单调递增，所以由3x当x>y+1时一定有x>y，当x>y时不一定有x>y+1，因此“x3>y故选：B.7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知幂函数f(x)=(m2−m−5)xm的图象关于yA．12 B．14 C．18【答案】B【解题思路】利用幂函数的定义及图象特征求出m，进而求出函数值.【解答过程】由函数f(x)=(m2−m−5)xm是幂函数，得m当m=3时，f(x)=x当m=−2时，f(x)=x−2是偶函数，图象关于y轴对称，符合题意，因此m=−2所以f(2m+2)=f(−2)=(−2)故选：B.8．（25-26高一上·天津西青·期末）已知函数fx=x2−mx+3在区间−A．−∞,4 B．4,+∞ C．−【答案】D【解题思路】分析二次函数的开口方向和对称轴，确定函数fx的单调区间，结合条件列不等式即可求出m【解答过程】函数fx=x所以函数fx的单调递减区间为−∞,m2因为函数fx=x所以m2≥2，解得所以实数m的取值范围是[4,+∞)，故选：D.二、填空题9．（25-26高一上·重庆·期末）幂函数fx=m2−m−1x【答案】2【解题思路】根据给定条件，利用幂函数定义及单调性列式求解.【解答过程】由幂函数fx=m得m2−m−1=12m+1>0故答案为：2.10．（2026·上海·模拟预测）已知a∈−23,−13【答案】−【解题思路】根据给定条件，利用幂函数的图象与性质，进行求解即可.【解答过程】由图象知，a<0时，y=xa在第一象限单调递减，故排除图象关于y轴对称，故函数是偶函数，a=−23时，y=x−2a=−13时，y=x−1∴a=−2故答案为：−211．（25-26高一上·四川广元·期末）已知函数fx=x2+2a−1x+2【答案】5【解题思路】求出二次函数图象的对称轴，根据二次函数的性质求出a的取值范围，即可得解.【解答过程】函数fx=x又函数fx在区间−故1−a≥−4，解得a≤5，所以实数a的最大值是5.故答案为：5.12．（2026·天津红桥·模拟预测）已知二次函数fx=ax2+2x+cx∈R的值域为【答案】4【解题思路】利用二次函数的性质得到c=1【解答过程】因为二次函数fx=ax所以f(x)的最小值是0，且a>0，由二次函数性质得对称轴为x=−2所以f(x)的最小值为f(−1所以c−1a=0，即c=当且仅当a=4a时取等，此时故答案为：4.一、单选题1．（2026·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在0,1上严格减的函数是（

）A．y=−x B．y=−x C．y=x2【答案】B【解题思路】根据基本初等函数的奇偶性、单调性逐项判断ACD，利用奇偶性定义及一次函数的单调性判断B即可.【解答过程】对于A，y=−x为奇函数，不是偶函数，在0,1上严格减，故A错误；对于B，fx=−x定义域为R，关于原点对称，且f当x∈0,1时，y=−x=−x对于C，由幂函数性质知，y=x2为偶函数，在对于D，由指数函数性质知，y=2故选：B.2．（25-26高一上·江苏淮安·期末）设m∈R，若函数fx=x2−2mx+6在A．−6,6 B．6,52【答案】D【解题思路】令x2−2mx+6=0，分Δ≤0【解答过程】令x2当Δ=4m2y=x2−2mx+6是开口向上对称轴为x=m所以fx若函数fx=x则只需x=m≥2，又−6可得2≤m≤6当Δ=4m2−24>0,即令x2−2mx+6=0，解得x1且x1可得fx若函数fx=x只需x1=m−m由x1=m−m2−6解得6<m≤由m≤12≤x2=m+m即方程组无解.综上所述，2≤m≤5故选：D.3．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数fx的定义域为R，且满足f−x+fx=0,fx+2+fx=0，当x∈A．2 B．1 C．－1 D．0【答案】D【解题思路】由题意可得函数fx的周期为4，且为奇函数，根据fx解析式及周期性、奇偶性，可得x∈4,6【解答过程】由题意得fx+2所以fx+4=−fx+2由f−x+fx=0，得又当x∈−2,0时，f所以当x∈0,2时，−x∈−2,0,f所以fx所以当x∈4,6时，有fx=f二次函数y=x2−10x+24在区间4,6上端点值均为0，最小值为－1，所以fx故选：D．4．（25-26高一上·天津·期末）设函数fx的定义域为R，且fx+4=2fx，当x∈0,4时，fx=x2A．−∞,−11 B．−∞,−7 C．【答案】B【解题思路】由fx+4=2fx和当x∈0,4时fx=x2−4x−4可以逐次推出−4,0，−8,−4，−12,−8上的解析式，根据每个区间上的函数的取值范围，应求x∈【解答过程】当x∈0,4时，fx=因fx+4=2fx，当x∈−4,0时，则f(x)=12f(x+4)=当x∈−8,−4时，x+4∈(−4,0]，故f则f(x)=12f(x+4)=当x∈−12,−8时，x+4∈(−8,−4]，故f则f(x)=12f(x+4)=因此当x≤−8时，都有fx只需要考虑x∈−8,−4时，f(x)=14(x+6)2因此当x≤−7时，fx≥−74恒成立，即故选：B.二、解答题5．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数fx(1)若函数fx在区间−1,2上不单调，求实数a(2)若函数fx在−1,3上的最大值为1，求实数a【答案】(1)a(2)a=−13或【解题思路】（1）根据二次函数的对称轴范围求解；（2）对实数a的取值范围进行分类讨论，分析二次函数fx在−1,3上的单调性，结合已知条件可得出实数a的等式，即可解得实数a【解答过程】（1）因为fx=x又因为fx在−1,2上不单调，所以−1<−2a−12即实数a的取值范围为a−（2）由于区间−1,3的中点为x=1，①当−2a−12≤1，即a≥−所以6a+3=1，即a=−1②当−2a−12>1，即a<−所以−2a−1=1，即a=−1，满足题意．综上可知，a=−13或6．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知幂函数fx=2(1)判断函数fx(2)若f2a+1>f1−a【答案】(1)奇函数(2)−【解题思路】（1）利用幂函数的性质结合函数单调性求出fx（2）利用函数单调性及解析式，结合函数不等式分类讨论求a的取值范围．【解答过程】（1）∵fx∴2m2−7m+6=1，即2m2又∵幂函数在区间(0,+∞)上单调递减，∴指数2m−3<0，解得综上可得m=1，∴f(x)=x又∵f(−x)=1∴fx（2）∵f2a+1∴2a+1−1∵函数y=x−1在区间(−∞当2a+1<1−a<0时，无解，舍去；当0<2a+1<1−a时，解得−1当1−a<02a+1>0时，解得a>1综上，a的取值范围是−17．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知二次函数f(x)=x(1)若m=5，求不等式f(x)<0的解集；(2)若函数f(x)是偶函数，求实数m的值；(3)若函数f(x)在区间[3,5]上具有单调性，求实数m的取值范围.【答案】(1)x2<x<3(2)m=0；(3){m|m≤6或m≥10}.【解题思路】（1）把m=5代入fx（2）由偶函数性质列方程得2mx=0恒成立，即得m的值；（3）根据二次函数的区间单调性列不等式求参数m范围.【解答过程】（1）当m=5时，fx由fx<0，得(x−2)(x−3)<0，解得不等式fx<0的解集为（2）因为函数fx是偶函数，所以f所以−x2−m−x由x的任意性，所以m=0；（3）函数fx=x因为函数fx在区间3,5则m2≤3，或m2≥5，解得所以实数m的取值范围为{m|m≤6或m≥10}.8．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数fx(1)若实数a，b满足b=a+1，求关于x的不等式fx(2)若a=1，求函数fx在1,2上的最小值g(3)若a=b=1，f2x+f2−x【答案】(1)答案见解析；(2)gb(3)−【解题思路】（1）含参数