2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版微专题3　复合函数的零点问题

第二章微专题3

复合函数的零点问题基本初等函数模型1内外自复合型A．5

B．6 C．7

D．81【解析】【答案】BA．(1，4)

B．(1，4]C．[1，4)

D．[1，4]【解析】

当x＜0时，f(x)＞0，则f(f(x))＝f(－x＋1)＝(－x＋1)2－3＝x2－2x－2；函数y＝f(f(x))－k有3个不同的零点等价于y＝f(f(x))和y＝k有3个不同的交点，所以由图象可得1＜k≤4．【答案】B模型2内外双函数复合型A．(－4，0) B．(0，4)C．(－∞，－4)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)2【解析】

由题意，当a＞0时，由g(t)＝0，解得t＝0或t＝a．又由g(f(x))＝0，得f(x)＝0或f(x)＝a，此时方程f(x)＝0有两解，方程f(x)＝a有两不相等解时，Δ＝a2－4a＞0，解得a＞4．当a＝0时，由g(f(x))＝0，即f(x)＝0，可得x2＝0只有一解．【答案】D对于嵌套型复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：①确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；②确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1，2，3，…，n)；③确定u＝ui(i＝1，2，3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an．变式2设函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝2|x|，若方程f(g(x))＝t有四个实数根，则实数t的取值范围是

(

)A．(－1，＋∞)

B．(－1，0)

C．(－1，1)

D．(0，1)【解析】

g(x)＝2|x|是偶函数且x＜0时g(x)单调递减，x＞0时g(x)单调递增．设m＝g(x)∈[1，＋∞)，f(g(x))＝t即f(m)＝t，方程f(g(x))＝t有四个实数根，必须m＝g(t)有两个不等实根，且f(m)＝t有两个不等实根，即f(m)＝t，m∈(1，＋∞)有两个不等实根．又f(x)＝x2－4x＋3在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，f(1)＝f(3)＝0，f(2)＝－1，若f(m)＝t有两个大于1的不等实根，必须t∈(－1，0)．B模型3二次可因式分解型A．(2，3)

B．(2，3]C．(3，＋∞)

D．[3，＋∞)3【解析】

令t＝f(x)，则方程f2(x)－(a＋2)f(x)＋2a＝0可转化为t2－(a＋2)t＋2a＝0，即(t－2)(t－a)＝0，则t1＝2，t2＝a，所以f(x)＝2或f(x)＝a．当x≤0时，f(x)＝ex＋2，因为指数函数y＝ex在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)＝ex＋2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)∈(2，3]．结合f(x)的图象可知，当2＜a≤3时，y＝f(x)与y＝a有3个不同的交点，即f(x)＝a有3个不同的根．【答案】B此类问题的关键：先换元再因式分解，后数形结合．【解析】

当x＜0时，f(x)＝－x2－6x－5在(－∞，－3]上单调递增，在[－3，0)上单调递减，且f(－3)＝4．作出函数y＝f(x)的图象如图所示，方程f2(x)＋(2a－3)f(x)＋a2－3a＝0化为[f(x)＋a][f(x)＋a－3]＝0，解得f(x)＝－a或f(x)＝3－a．【答案】(－1，0]∪(2，3]模型4二次不可因式分解型

(2025·青岛质检)已知f(x)＝－x2＋2|x|，若关于x的方程f2(x)＋mf(x)＋n＝0(m，n∈R)恰有3个互不相等的实根，则实数m的取值范围为 (

)A．{m|m＜－1} B．{m|m≤0}C．{m|m＜－1或m＞0} D．{m|m＝0或m＜－1}4【解析】综上，实数m的取值范围为{m|m＝0或m＜－1}．【答案】D【解析】【答案】B配套精练一、单项选择题【解析】

作出函数f(x)的大致图象如图所示，由ex－3＝1得x＝ln4，由2－(x＋1)2＝1解得x＝－2或x＝0．令f(f(x))－1＝0，得f(f(x))＝1，则f(x)＝－2或f(x)＝0或f(x)＝ln4．结合图象可知：当f(x)＝－2时，有1个解；当f(x)＝0时有2个解；当f(x)＝ln4时，由于1＜ln4＜2，所以有3个解，故y＝f(f(x))－1的零点个数为6．A．4

B．5 C．6

D．7C【解析】【答案】AA．4

B．3 C．2

D．1【解析】因为(－4)2＋a(－4)＋1＝－4a＋17＜0，且02＋a·0＋1＞0，所以t1＜－4(舍去)，－4＜t2＜0，所以t2＝x2－6x＋5(－4＜t2＜0)．由于函数y＝t2与函数y＝x2－6x＋5图象有两个交点，所以方程f(g(x))＝0根的个数为2．CA．(0，1)

B．(－∞，0)∪(0，1)C．[1，＋∞)

D．(0，1)∪(1，＋∞)【解析】

令u＝f(x)，则f(u)＝0．①当a＝0时，若u≤0，f(u)＝0；若u＞0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1．故由f(f(x))＝0得f(x)≤0或f(x)＝1．如图所示，满足f(x)≤0的x有无数个，方程f(x)＝1只有一个解，不满足题意．②当a≠0时，若u≤0，则f(u)＝a·2u≠0；若u＞0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1，所以由f(f(x))＝0得f(x)＝1．当x＞0时，由f(x)＝log2x＝1，可得x＝2，因为关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有两个实数根，则方程f(x)＝1在(－∞，0]上有且仅有一个实数根．若a＞0且x≤0，f(x)＝a·2x∈(0，a]，故a≥1；若a＜0且x≤0，f(x)＝a·2x＜0，不满足题意．综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．

【答案】C二、多项选择题5．若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且f(g(x))＝x有实数解，则g(f(x))可能是

(

)【解析】【答案】ACDA．2

B．3C．4

D．5【解析】

作出f(x)的图象如图所示，设f(x)＝t，则关于x的方程f2(x)－2af(x)＋a2－1＝0可化为t2－2at＋a2－1＝0，观察图象知，直线y＝t与y＝f(x)的图象最多有4个公共点，即关于x的方程f(x)＝t最多有4个不相等的实数根，而关于x的方程f2(x)－2af(x)＋a2－1＝0有8个不相等的实数根，则关于t的方程t2－2at＋a2－1＝0有两个不相等的实数根t1，t2且1≤t1＜t2＜5．【答案】AB三、填空题【解析】

令t＝f(x)，由f(f(x))＝2可得f(t)＝2．当t≤0时，由f(t)＝－t2－2t＝2，即t2＋2t＋2＝0，则Δ＝4－4×2＜0，方程t2＋2t＋2＝0无解．【解析】

令g(x)＝f2(x)－(2a＋2)f(x)＋a2＋2a＝[f(x)－a][f(x)－a－2]＝0，解得f(x)＝a或f(x)＝a＋2．作出f(x)的图象如图，要使g(x)有3个不同的零点，则f(x)的图象与直线y＝a和y＝a＋2一共有3个交点．【解析】

作出函数f(x)的图象如图所示，由F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0，得f(x)＝0或2f(x)－m＝0．(0，2)【解析】

设h(x)＝f(f(x))，当x≤0时，ex＞0，f(f(x))＝lnex＝x；当0＜x≤1时，lnx≤0，f(f(x))＝elnx＝x；函数y＝ln(lnx)的定义域为(1，＋∞)，由复合函数单调性可知函数y＝ln(lnx)单调递增．又h(e)＝ln(lne)＝0，作出h(x)的图象如图所示．由图象可知，当a≤1时，曲线h(x)与直线y＝a恒有两个交点，即g(x)有2个不同的零点，所以实数a的取值范围是(－∞，1]．【答案】(－∞，1]【解析】