2025版新高考版高考总复习数学专题十一概率与统计成对数据的统计分析

2025版新高考版高考总复习数学1L5成对数据的统计

分析

五年高考

考点1变量间的相关关系

1.（2022全国乙理,19,12分，中）某地经过多年的环境治理已将荒山改造成了绿水青山.为

估计•林区某种树木的总材积帚，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面

积（单位:n?）和材积量（单位:m）得到如下数据：

样本号i123456

根部横截面积

0.040.060.040.080.080.05

X,0.250.400.220.540.510.34

材枳量yi

样本号i78910总和

根部横截面积

0.050.070.070.060.6

0.360.460.420.403.9

材积量yi

10ioio

并计算得工=ixf=0.03B,Xi=i疗=1.6158,Si=i孙=0.2474.

⑴估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

⑵求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到（）.01）；

⑶现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积

总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林

区这种树木的总材积量的估计值.

附:相关系数I（修行）?L力rn»=l（阳二,VT§^之1.377.

Jsi=i3-郎》=1（yt-y）2J»=i（阳-可力=i（yt-y）2

解析⑴估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为歹=箸=0.06（m）平均一棵的

材积量为9=誉0.39（m）

10

⑵样本相关系数I8与)?一,)r5(k-幻(力一9)

10

JZt=i(AI-*)2ZI=I(y(-y)2(^(-^)2E(=i(yt-y)2

10

£i=i勺%-10双

io10

J(力=1H-l位2)保=]yf-ioy2)

__________0.2474-10X04640.39________

-V(OO38-1OXO.O62)X(1.6158-1OXO.392)

0.01340.01340.0134.

"VO.OO2XO.O948-0.01%fL8960.01377*

ioio

计算相关系数।一*「乃丁』。一*「‘）二时,需要将分子、分

kM（勺一8书，匕（V—刃zJ।为=21（勺一幻，为L（“一刃Z

母稍加变换,采用题设中给出的数据求解

即该林区这种树木的根剖横截面积与材积量的样本相关系数约为0.97.

（3）设这种树木的根部横截总面积为Xm）总材积量为Ym加吟=m则丫上丝=北誓:

YyX0.06

1209,

所以该林区这种树木的总材积量的估计值为12090?.

2.（2020课标H理/8/2分，中）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数

量有所增加.为调查该地区某种野牛.动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些

地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据（为力（12…,20）,

其中M和y•分别表示第，・个样区的植物覆盖面积（单位:公顷）和这种野生动物的数量，并

2020202020

计算得，i=iA7=60,Si=1）k12（X）E=1（工㈤2=80£=1歹）2=9（）O（）E=1（跖㈤®-

y）=800.

⑴求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生

动物数量的平均数乘地块数）;

⑵求样本（刘加（02…,20）的相关系数（精确到0.01）;

⑶根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地

区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.

Zi=!(Xj-x)(,yj-y)Zi=i(Xj-x^yt-y)

附湘关系数：=rx/2~1.414.

Jx«=i(^i-x)2Zt=i(y(-y)2

(xt-x)2Ei=i(y(-y)2

20

解析（1）由己知得样本平均数）产60,从而该地区这种野生动物数量的估计

值为60x200=12000.

⑵样本优,%)(i=12…20)的相关系数

2020

£i=i(Xi-X)(y£-y)____Si=i(Xi-x)(yi-y)__800

I20202020V80X90003

物=i(Xi-x)2Ei=i(yi-y)2y/Xi=i(xi-x)2Xi=i(yt-y)2

⑶分层随机抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样.

理由如下:由⑵知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地

块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样

的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性,从而可以获得

该地区这种野生动物数量更准确的估计.

3.（2018课标〃理,18,12分，中）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单

位:亿元）的折线图.

2

240

920

-()()

18()

1

16()

140

120

(

M

)

80

60

4()

20

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了），与时间变量/的两个线性回归

模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量/的值依次为17）建立模型①:y=-

30.4+13.5/；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型

②:y=99+17.51.

⑴分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;

⑵你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.

解析（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为，=

30.4+13.5x19=226.1（亿元）.

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为，=99+17.5x9=256.5（亿元）

⑵解法一:利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：

⑴从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线产

-30.4+13.5/上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描

述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显

增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境

基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性

模型，=99+17.5/可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利

用模型②得到的预测值更可靠.

（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测

值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模

型②得到的预测值更可靠.

解法二:模型②得到的预测值更可靠，因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环

境基础设施投资额是逐年上升的，从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年

到2016年间递增的幅度较大些，所以利用模型②得到的预测值更可靠.

考点2列联表和独立性检验

1.（2022全国甲文,17,12分，中）甲、乙两城之间的长途客车均由A和8两家公司运营.为

了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到卜

面列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030-

⑴根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

⑵能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?

n(ad-bc')2

附:片=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>k)0.1000.0500.010

2.7063.8416.635

解析（1）根据题表中数据得A公司共有260个班次归公司共有240个班次，

设事件“A公司甲、乙两城之间的长途客车准点”为M则P（M）=^=5

26。13

设事件“8公司甲、乙两城之间的长途客车准点”为N,则P（M二瑞=，

所以A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为公司甲、乙两城之间的长途

客车准点的概率为《

（2）2x2列联表如下：

准点班次数未准点班次数合计

A24020260

B21030240

合计45050500

2

2_n(ad-bc)

532。5>2.7。6,故有9。%的把握认为甲、乙

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)%黑如黑:*

两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.

2.（2020新高考/19,12分，中）为加强环境保护,治理空气污染，环境监测部门对某市空气

质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM”和SO?浓度（单位:啥m）得下表:

\o2

[0,50](50,150](150,475]

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

⑴估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率;

⑵根据所给数据，完成下面的2x2列联表:

⑶根据⑵中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市天空气中PM”浓度与SO?浓

度有关.

附.片__"(诵―儿产

•(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

尸(烂X)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解析(1)根据抽查数据，咳市100天的空气中PM”浓度不超过75,口.SO?浓度不超过

150的天数为32+18+6+8=64,因此，该市一天空气中PM”浓度不超过75,且SO?浓度不超

过150的概率的估计值为急=0.64.

⑵根据抽查数据，可得2x2列联表：

\S02

[0,150](150,475]

[0,75]6416

(75,115]1010

⑶根据⑵的列联表得

^100X（64X10-16X10）^^

80x20x74x26

由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM”浓度与SCh浓度有关.

3.（2020课标以18/2分，中）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量

等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位:天）：

\锻炼人次

[0,(200,(400,

空气质量做、200]400]600]

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

⑴分别估计该市一天的空气质量等级为123,4的概率；

⑵求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为

代表）；

⑶若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3

或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表，判

断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

人次“00人次>400

空气质量好

空气质量不好

n(ad-bc')2

附:K?二

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2/)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解析(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为123,4的概率的估计值如表:

空气质量等级1234

概率的估计值().430.270.210.09

⑵一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为+x(100x20+300x35+500x45)=350.

⑶根据所给数据，可得2x2列联表:

人次“00人次＞400

空气质量好3337

空气质量不好228

根据列联表得^100X(33X8-22X37)^^82()

/UXJU

由于5.8203.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质

量有关.

4.(2023全国甲理,19,12分，中)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下:选40只小白鼠,

随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓

度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量

(单位:g).

⑴设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望.

⑵试验结果如卜：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.218.820.221.322.523.225.8

26.527.530.132.634.334.835.6

35.635.836.237.340.543.2

试验组的小臼鼠体重的增加量从小到大排序为

7.89.211.412.413.215.516.5

18.018.819.219.820.221.622.8

23.623.925.128.232.336.5

⑴求40只小白鼠体重的增加量的中位数也再分别统计两样本中小于〃?与不小于m的

数据的个数，完成如下列联表:

对照组

试验组

(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境

中体重的增加量有差异？

阳长二一〃(adfc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2»)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

解析(1)依题意得,X的所有可能取值为(),1,2,

则尸体0)=联=

c40/b

P(X=1)=啜=称

C403,

p(y—^\—C2OC2O_19

汽'-2)-飞丁-兀，

・・・X的分布列为

X012

192019

YD

783978

・・・E(X)=(哺+1X小2X导L

⑵(i)依题意可得"广包产=23.4.

则对照组样本中小于m的数据的个数为6,

试验组样本中小于/〃的数据的个数为14,

则列联表为

H>m

对照组0

试验组01

(ii)由⑴中列联表可得

K2_4OX(6X6-14X14)2

=6.4>3.841,

20X20X20X20

••・有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.

三年模拟

综合基础练

1.（2024届福建宁德第一中学二模,4）5G技术在我国已经进入高速发展的阶段,5G手机的

销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如表所示：

时间x

销量y（千只）0.50.8

若），与x线性相关,且经验回归方程为，=0.24x+］贝!下列说法不正确的是（）

A.由题中数据可知，变量y与x正相关

B.a=0.28

C.可以预测尸6时该商场5G手机销量为1.72干只

D.x=5时,残差为-0.02

答案D

2.（2023河南安阳二模,4）已知建筑地基沉降预测对于保证施工安全，实现信息化监控有着

重要意义.某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势,并用相

关指数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果.相关指数越接近1表明模型

的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好.依此判断下面指标对

应的模型拟合效果最好的是（）

相关指数误差平方和均方根值

相关指数误差平方和均方根值

相关指数误差平方和均方根值

0.9970.141

D.

相关指数误差平方和均方根值

0.9972.8990.326

答案C

3.（2024届湖南名校联合体第三次联考,3）某校数学兴趣小组在某座山测得海拔高度M单

位:千米）与气压武单位汗帕）的六组数据（％对（曰2…,6）,并将其绘制成如下散点图，分析

研究发现8点相关数据不符合实际，删除。点后重新进行回归分析,则下列说法正确的是

（）

y

•A.c

力

A.删除点8后，样本数据的两变量为），正相关

B.删除点4后，相关系数r的绝对值更接近于1

C.删除点8后，新样本的残差平方和变大

D.删除点B后，解释变量x与响应变量），相关性变弱

答案B

4.（2024届云南曲靖第一中学第二次月考,13）为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性

相关性强弱，某同学分别计算了甲、乙、丙、丁四组数据的相关系数，求得数值依次为-

0.98,-0.27,0.36,0.93,则这四组数据中线性相关性最强的是组数据.

答案甲

综合拔高练

1.（多选）⑵）23广东深圳二模⑼为了研究），关于工的线性相关关系,收集了5组样本数据，

如下表：

X1邛

7(K5().81\2\3

假设经验回归方程为，=云+0.28,则（）

A.b=0.24

B.当尸8时的预测值为2.2

C.样本数据y的40%分位数为0.8

D.去掉样本点（3,1）后.•与），的样本相关系数「不变

答案ABD

2.（2023湖南师大附中二模』8）某高中学校开展生涯规划教育，对今年的1200名考生（其

中女生540人）进行调查，统计知:有意向报考师范专业的学生有200人（其中女生120人）.

⑴完成下面的列联表，并依据小概率值1=0.001的独立性检验分析判断报考师范专业意

向是否与性别有关；

报考意向

性别

师范专业非师范专业

男生

女生

合计

⑵对有报考师范专业意向的学生按男女分层随机抽样得一个容量为10的样本，从样本

中任意抽取5人，记抽取到的男生人数为X,求X的分布列与期望值.

附:

II0.150.100.050.0250.01000050.001

X

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

3

/5b)(W(“d)(其中…+*办

解析（1）列联表如下:

报考意向

性别合计

师范专业非师范专业

力工8058()66()

女生120420540

合计20010001200

零假设为玲：报考师范专业意向与性别无关，

"黑鼻蓝:黑:%L830.82&

.••依据小概率值听0.001的独立性检验推断从不成立，即认为报考师范专业意向与性别

有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.

⑵据题意知,样本中男生有4人,女生有6人,

则X的所有可能取值为0,1,2,34

P(X=0)=警=*P(X=1)=警=5/优=2)二警=算尸(X=3)=鲁=^P(X=4)=鲁=总

5。5oJo5o5o4巳

所以X的分布列为

3.（2024届山东新高考质量检测联盟质检（一）,17）某学校研究性学习小组在学习生物遗传

学的过程中,为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高.V（单位:cm）与父亲身高武单位:cm）

之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：

⑴根据表中数据，求出关于工的经验回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父

亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？

⑵记立=yi-yi=yi-bxi-a（i=l,2,…㈤，其中%为观测值,%为预测值勺为对应（凝为）

的残差.求⑴中儿子身高的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两

个变量都成立.若成立，加以证明;若不成立，说明理由.

5555

参考数据及公式£=1Xj=880,Sj=1#=155450E=i）尸885,£=1.3/156045,

；屋；产田（“一歹）,’=歹—最

»=i（修-罚

解析（1）由题意得亍=¥=176,歹=—=\77,b=力=晨阳"*g=

5z5『22155450-5X1762:

Ei=ixf-5x

妾=0.5*=歹一位=1779.5x176=89,所以经验回归方程为J=0.5x+89,

令0.5x+89-x>0,得x<l78,即^<178时，儿子比父亲高；

令0.5x+89-x<0,得x>178,BPx>178时，儿子比父亲矮，

可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归,回归到全种群

平均高度的趋势.(意思对即可)

(2)由)=0.5x4-89ojWyi=0.5x160+89=169,y2=174,y3=176.5,y4=181.5,y5=184,

所以2i=i%=885,又£=i)，产885,所以，=£=1。%％)=£=1yi-

5A

Si=iyE

nA

结论:对任意具有线性相美关系的变量£=］。尸0,

AA

nAnAnAnnA

证明:£i=i，=Zi=i(>V-yi)=Xt=i()>bxi-Q)=Xi=iyi-bZt=ixi-na-

AA

riy—nbx-n(y-bx)=0.

4.(2024届广东广州荔湾月考,19)某专营店统计了最近5天到该店购物的人数y和时间

第k天之间的数据，列表如下：

⑴由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系?(若

|r|>0.75,则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合;否则,不可用线性回归模型拟合.

计算厂时精确到0.01)

⑵该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案:方案一,购物金额每满100元可减10元方

案二,购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为去且每次抽奖互不影响，中奖

一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买一件价值

1(XX)元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析,选哪种方案更优惠？

参考数据:"^而”65.88.

附湘关系数力(芍.―,「歹).

22

jEi=i(xf-7)Si=i(yi-y)

通―1+2+3+4+5c—75+84+93+98+100„„

解析(1)x=-------------=3,y=---------------------=90,

5

所以£=i(x,-x)(v/-y)=-2x(-l5)+(-l)x(-6)+0+1x8+2x10=64,

55

£=i(x闰2=4+1+0+1+4=10,£=1G厂歹)2=(-15)2+(-6)2+32+82+102=434,

所以屋।(修-初乂力=^xq9.97>0,75,

55V10X43465.88

22

(xt-x)Si=i(.yi-y)

所以)，与x的线性相关性很强，故可用线性回归模型拟合人数)，与时间工之间的关系.

⑵设方案一的实际付款金额为X元，方案二的实际付款金额为y元，

由题意可知E(X)=\000xD.9=900(元)，

y的可能取值有600、800、900、1000,

P(y=600)=Q)3=^,P(y=800)=C1.GT.|=也

p(y=900)=加•g-(1)2=\,p(Y=\000)=Q)3=弟

所以E(y)=600x^+800x|+900x+1000x=>詈<等也E(X),所以方案二

更优惠.

5.(2024届浙江金华十校模拟,20)2023年9月8日，第19届亚运会火炬传递启动仪式在杭

州西湖涌金公园广场成功举行.火炬传递首H,火炬手从杭州西湖涌金公园广场出发，沿南

山路一湖滨路一环城西路一北山街一西泠桥一孤山路传递，在“西湖十景”之一的平湖秋

月收火.杭州亚运会火炬首日传递共有106棒火炬手参与.

⑴组委会从全省火炬手田随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格：

年龄

性别总计

满50周岁未满50周岁

男154560

女53540

总计2080l(X)

根据小概率值a=0.l的炉独立性检验,试判断全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁

是否有关联;

⑵在全省的火炬手中，男性占比72%,女性占比28%,且50%的男性火炬手和25%的女性

火炬手喜欢观看足球比赛.某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这

位火炬手是男性的概率为多少？

附:

(X0.10.050.010.0050.001

X

2.7063.8416.6357.87910.828

a

解析（1）零假设为儿：全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁没有关联,

根据2x2列联表中的数据，得冷叫黑芸善务.34<2.706=如,

ZuXoOX4UXou

所以根据小概率值a=0.1的/独立性检脸，没有充分证据推断，。不成立,因此可以认定

为〃。成立,

即认为全省火炬手的性别与年龄满或未满5（）周岁没有关联.

⑵设A表示火炬手为男性方表示火炬手喜欢足球,

则P(A|8)=需=P(B|A)P(A)0.5x0.72_0.36_036_36

P(B\A)P(A')+P(B\A)P(A')一0.5x0.72+0.25x0.28-0.36+0.07-0.43—43’

所以这位火炬手是男性的概率约为六

43

6.（2024屈重庆渝中期中,20）当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表

的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据,如表:

年份201720182019202020212022

编号X123456

企业总数量y

5078124121137352

（单位:百个）

⑴若用模型产拟合），与x的关系，根据提供的数据，求出），与工的经验回归方程;

⑵为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、

乙、丙三家区块链公司参赛.比赛规则如下:①每场比赛有两个公司参加,并决出胜负;②

每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛;③在比赛中，若有一个

公司首先获胜两场，则本次比赛结束,该公司获得此次信息化技术比赛的“优胜公司”称号.

已知在每场比赛中,甲胜乙的概率为右甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为I,若首场由甲乙

比赛,求甲公司获得“优胜公司”称号的概率.

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参考数据:£=1〃尸28.5,£[=1为%=106.05,其中M=lny.

参考公式:对于一组数据(*y)(Q23,...,〃),其经验回归直线，=bx+a

的斜率和截距的最小二乘估计分别为.=2WL"%=y-bx.

Xi=ix^-nx

解析⑴令w=ln>'=ln(tze5r)=^4-lna,

、

—x=-1+-2-+-3-+-4-+-5-+-6=