重难突破6　抛体运动中的临界问题和空间抛体运动

7/7重难突破6抛体运动中的临界问题和空间抛体运动进一步理解抛体运动的规律，会处理抛体运动的临界、极值问题。突破点一抛体运动中的临界问题（2024·浙江1月选考8题改编）如图，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，使水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D。试分析：（1）水从细水管管口落到水桶桶口中心所用的时间t？（2）水离开细水管出水口的速度大小？1.平抛运动的临界问题三种常见情境常见情境典型实例平抛位移或速度存在“刚好”“恰好”等条件平抛位移或速度存在“最大”“最小”“至少”等条件平抛位移或速度存在“取值范围”2.临界问题的解题技巧在题中找出有关临界问题的关键词，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。（2026·云南昭通期末）如图，某同学在一次立定投篮练习中，在距离水平地面高为2m处将篮球（视为质点）投出，篮球恰好垂直击中距离地面高为3.6m的篮板上，篮球被水平弹回后，又恰好击中自己的双脚（视为质点），篮球抛出点和双脚可认为在同一竖直线上，不计空气阻力，则篮球撞击篮板前后瞬间的速度大小之比为（）A.9∶4 B.1∶1C.3∶2 D.8∶5尝试解答（2026·辽宁沈阳期中）如图所示，某同学将可视为质点的小球扔进游戏箱子的侧面开口处。将小球从离水平地面高度为1.80m的抛出点，以大小为6m/s的初速度水平抛出，游戏箱子的侧面开口处离水平地面的高度为1.35m，小球恰好从侧面开口处落入箱中。不计空气阻力，取重力加速度大小为10m/s2，则抛出点到箱子的侧面开口处的水平距离为（）A.1.2m B.1.5mC.1.6m D.1.8m（2025·河南郑州三模）如图甲，某景观喷泉正以喷头为中心，在同一竖直面内向各个方向以相同大小的初速度将水喷出，落到水平湖面上，空气阻力忽略不计。以喷头为坐标原点O，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，如图乙所示。已知图乙中实曲线为部分水流的轨迹，虚曲线为水流的包络线（与所有水流的轨迹均相切的曲线），虚曲线的方程为y＝－59x2＋920。取重力加速度g＝10m/s2，则（A.水喷出时速度大小为32m/sB.水喷出后在空中飞行的最长时间为0.3sC.水流飞行的最大水平位移为0.45mD.水平位移最大的水流在空中的时间为3210尝试解答〔多选〕（2026·河北邢台月考）公园草坪浇水，采用一种高效节水灌溉的方式——喷灌，通过专门的设备将水喷射出去，已知喷管的出水口横截面积为S，水的密度为ρ，水从出水口与水平方向夹角为45°喷出，能喷射的最大高度为H。不计喷头高度和空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则喷水口（）A.水流在空中运动的时间为22B.水流速度大小为2C.水射出后的水平射程为4HD.到地面间这段空中的水柱质量为2ρSH突破点二立体空间中的抛体运动（2026·湖南郴州一模）我国某运动员获得2024年巴黎奥运会网球女子单打金牌，她的成功是勤奋训练的结果。如图所示，她在某次训练中将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点。网球碰墙后垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变。已知重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（）A.网球从击球点到P点的时间为1.3sB.网球达到P点时速度大小为5m/sC.网球碰墙后速度大小为3m/sD.网球落地点到墙壁的距离为3.6m尝试解答分析空间中的抛体运动的思路（1）明确题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓；（2）以抛出点为坐标原点，根据运动情景建立三维直角坐标系；（3）确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质；（4）依据已知条件、运动学公式找出在各个坐标轴方向的位移、速度、加速度大小；（5）利用运动的合成与分解知识确定研究问题或联立求解相关问题。（2026·辽宁大连二模）2028年奥运会新增壁球运动项目。如图所示，运动员从A点将球斜向上击出，水平击中墙上B点反弹后又水平飞出，落到C点，BB'竖直，AB'C三点在同一水平面上，B'C垂直于AC。不计空气阻力，球碰撞B点前后的速度大小分别为v1、v2，球在AB、BC两段运动时间分别为t1、t2，则正确的是（）A.v1＝v2 B.v1＜v2C.t1＞t2 D.t1＝t2突破点三圆周运动的临界问题水平面内圆周运动的临界问题〔多选〕（2026·天津南开期中）如图，餐厅里两瓷罐P、Q（可视为质点）放在水平圆桌转盘上，质量分别为m、2m，离转轴OO'的距离分别为R、2R，与转盘间的动摩擦因数均为μ。若转盘从静止开始缓慢地加速转动，P、Q与转盘均保持相对静止，用ω表示转盘的角速度，则（）A.当ω增大时，Q比P先开始滑动B.P、Q未滑动前所受的摩擦力大小相等C.P开始滑动时的角速度为μgD.当ω＝2μg3R时，尝试解答1.与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好发生或者不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。2.与弹力有关的临界极值问题（1）物体接触或分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零；（2）绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。〔多选〕（2026·广东东莞模拟）如图所示，半径R＝3l的光滑圆筒竖直固定，长度为5l的轻绳，一端固定在圆筒轴线上一点，另一端悬挂可视为质点、质量为m的小球。现使小球在水平面内做匀速圆周运动，小球始终在圆筒内，重力加速度为g。下列说法正确的是（）A.小球角速度越大，轻绳的拉力越大B.小球角速度ω＝gl时，轻绳的拉力为5C.小球角速度ω＝2g9lD.小球角速度ω＝g2l时，筒壁与小球之间的作用力大小为竖直面内圆周运动的临界问题两类模型的对比项目轻绳模型（最高点无支撑）轻杆模型（最高点有支撑）实例球与绳连接、“水流星”、沿内轨道运动的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示受力示意图力学方程mg＋F弹＝mvmg±F弹＝mv临界特征F弹＝0mg＝mv即vmin＝gR（1）v＝0即F向＝0F弹＝mg（2）F弹＝0mg＝mvv＝gR讨论分析（1）最高点，若v≥gR，F弹＋mg＝mv2R，绳或轨道对球产生弹力F（2）若v＜gR，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道（1）当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心；（2）当0＜v＜gR时，mg－F弹＝mv2R，F弹背离圆心并随v（3）当v＝gR时，F弹＝0；（4）当v＞gR时，mg＋F弹＝mv2R，F弹指向圆心并随（2026·辽宁丹东期中）如图甲，一长为R且不可伸长的轻绳一端固定在点O，另一端系住一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。若小球经过最高点时速度大小为v、绳子拉力大小为F，则F与v2的关系如图乙所示，下列说法中正确的是（）A.绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大B.小球质量不变，换更长的轻绳做实验，图线b点的位置不变C.利用该装置可以得出小球的质量m＝aRD.利用该装置可以得出重力加速度g＝R尝试解答（2026·湖南长沙一模）如图，在竖直平面内，轻杆一端通过转轴连接在O点，另一端固定一质量为m的小球。小球从A点由静止开始摆下，先后经过B、C两点，A、C两点分别位于O点的正上方和正下方，B点与O点等高，不考虑摩擦及空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（）A.小球在B点受到的合力大小为2mgB.小球在C点受到的合力大小为2mgC.从A到C的过程，杆对小球的弹力最大值为5mgD.从A到C的过程，杆对小球的弹力最小值为4mg斜面上圆周运动的临界问题1.题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。2.解题关键：重力的分解和视图物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。物体在转动过程中，随着角速度增大，最先滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcosθ－mgsinθ＝mω2R。〔多选〕（2025·安徽合肥三模）如图所示，与水平方向成θ＝30°角的圆盘绕垂直于盘面且过圆心的轴做匀速圆周运动，角速度ω＝5rad/s。盘面上距轴r＝0.5m处有一可视为质点的小物块恰能与圆盘保持相对静止。小物块的质量m＝1kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（）A.物块与盘面间的动摩擦因数为3B.物块从最低点转到最高点的过程中，圆盘对物块的摩擦力一直减小C.物块转至与圆盘圆心高度相同处时，圆盘对物块的摩擦力大小为2.5ND.在保持物块相对圆盘静止的情形下，改变圆盘角速度，物块在最高点的摩擦力不可能为零尝试解答（2025·山东临沂三模）游乐场里有一个半径为5m的倾斜匀质圆盘，盘面与水平面的夹角为30°，圆盘可绕过圆盘圆心O且垂