2026年广东省部编版高三数学第7单元数学建模模拟试题

2026年广东省部编版高三数学第7单元数学建模模拟试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.某工厂生产两种型号的机器A和B，已知生产1台A型机器需要消耗原材料2吨、劳动力10人日，产生利润3万元；生产1台B型机器需要消耗原材料3吨、劳动力8人日，产生利润4万元。工厂现有原材料120吨，劳动力800人日，为使利润最大化，应如何安排A、B两种机器的生产数量？设生产A型机器x台，B型机器y台，则该问题的数学模型为（）A.最大化3x+4y，约束条件2x+3y≤120，10x+8y≤800，x,y∈NB.最大化3x+4y，约束条件2x+3y≥120，10x+8y≥800，x,y∈NC.最大化3x+4y，约束条件2x+3y≤120，10x+8y≥800，x,y∈ND.最大化3x+4y，约束条件2x+3y≥120，10x+8y≤800，x,y∈N2.在研究某城市交通流量的数学模型中，假设车辆通过某路段的时间y（分钟）与车流量x（辆/小时）满足关系式y=kx+b（k>0），且当车流量为0时，所需时间为10分钟；当车流量为1000辆/小时时，所需时间为20分钟。则该路段的最大通行能力（即车流量使时间趋于无穷大的临界值）为（）A.1000辆/小时B.2000辆/小时C.500辆/小时D.不存在3.某农场计划用200米长的篱笆围成一个矩形的羊圈，为使羊圈面积最大，应选择的长和宽的比值为（）A.1:1B.2:1C.1:2D.3:14.在分析某产品的市场需求时，建立如下模型：需求量D（件）与价格p（元）的关系为D=500-20p，成本函数C（元）为C=100+5D。则该产品的盈亏平衡点（即收入等于成本的价格点）为（）A.p=25元B.p=50元C.p=75元D.p=100元5.某公司投资一个项目，初始投资为100万元，预计年收益率为10%，投资期为5年。若采用复利计算，则5年后的本息和为（）A.161.05万元B.150万元C.200万元D.176.47万元6.在研究传染病的传播速度时，建立如下模型：感染者人数I（人）随时间t（天）的变化率为dI/dt=2I(100-I)，其中100为该地区的最大感染潜力。则感染人数达到最大值的一半时，时间t约为（）A.2.3天B.4.6天C.5.0天D.10.0天7.某工厂生产某种产品，固定成本为5000元，单位可变成本为20元/件，售价为50元/件。为使利润达到最大，应生产的产品数量为（）A.100件B.200件C.300件D.400件8.在分析某城市人口增长时，建立如下模型：人口P（万人）随时间t（年）的变化率为dP/dt=0.05P(1-0.1P)，其中P的最大值为10万人。则人口达到最大值的一半时，时间t约为（）A.14.2年B.28.4年C.35.7年D.70.0年9.某公司生产两种产品A和B，每件A产品消耗原材料1千克、劳动力2人日，利润为10元；每件B产品消耗原材料2千克、劳动力1人日，利润为15元。现有原材料300千克，劳动力600人日，为使利润最大化，应如何安排两种产品的生产数量？设生产A产品x件，B产品y件，则该问题的数学模型为（）A.最大化10x+15y，约束条件x+2y≤300，2x+y≤600，x,y∈NB.最大化10x+15y，约束条件x+2y≥300，2x+y≥600，x,y∈NC.最大化10x+15y，约束条件x+2y≤300，2x+y≥600，x,y∈ND.最大化10x+15y，约束条件x+2y≥300，2x+y≤600，x,y∈N10.在研究某产品的库存管理时，建立如下模型：库存成本C（元）由固定成本100元和变动成本5x元组成（x为库存量），缺货成本为每件10元。若需求量D服从均匀分布，0≤D≤100，则最优库存量x为（）A.50件B.60件C.70件D.80件二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.某工厂生产两种产品A和B，每件A产品消耗原材料2千克、劳动力3人日，利润为20元；每件B产品消耗原材料1千克、劳动力2人日，利润为15元。现有原材料300千克，劳动力600人日，为使利润最大化，应生产A产品______件，B产品______件。2.在研究某产品的市场需求时，建立如下模型：需求量D（件）与价格p（元）的关系为D=500-20p，成本函数C（元）为C=100+5D。则该产品的盈亏平衡点（即收入等于成本的价格点）为______元。3.某公司投资一个项目，初始投资为100万元，预计年收益率为10%，投资期为5年。若采用复利计算，则5年后的本息和为______万元。4.在研究传染病的传播速度时，建立如下模型：感染者人数I（人）随时间t（天）的变化率为dI/dt=2I(100-I)，其中100为该地区的最大感染潜力。则感染人数达到最大值的一半时，时间t约为______天。5.某工厂生产某种产品，固定成本为5000元，单位可变成本为20元/件，售价为50元/件。为使利润达到最大，应生产的产品数量为______件。6.在分析某城市人口增长时，建立如下模型：人口P（万人）随时间t（年）的变化率为dP/dt=0.05P(1-0.1P)，其中P的最大值为10万人。则人口达到最大值的一半时，时间t约为______年。7.某公司生产两种产品A和B，每件A产品消耗原材料1千克、劳动力2人日，利润为10元；每件B产品消耗原材料2千克、劳动力1人日，利润为15元。现有原材料300千克，劳动力600人日，为使利润最大化，应生产A产品______件，B产品______件。8.在研究某产品的库存管理时，建立如下模型：库存成本C（元）由固定成本100元和变动成本5x元组成（x为库存量），缺货成本为每件10元。若需求量D服从均匀分布，0≤D≤100，则最优库存量x为______件。9.某农场计划用200米长的篱笆围成一个矩形的羊圈，为使羊圈面积最大，应选择的长和宽的比值为______。10.在分析某产品的市场需求时，建立如下模型：需求量D（件）与价格p（元）的关系为D=500-20p，成本函数C（元）为C=100+5D。则该产品的盈亏平衡点（即收入等于成本的价格点）为______元。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在研究传染病的传播速度时，建立如下模型：感染者人数I（人）随时间t（天）的变化率为dI/dt=2I(100-I)，其中100为该地区的最大感染潜力。则感染人数达到最大值的一半时，时间t约为4.6天。（）2.某公司投资一个项目，初始投资为100万元，预计年收益率为10%，投资期为5年。若采用复利计算，则5年后的本息和为161.05万元。（）3.某工厂生产某种产品，固定成本为5000元，单位可变成本为20元/件，售价为50元/件。为使利润达到最大，应生产的产品数量为200件。（）4.在分析某城市人口增长时，建立如下模型：人口P（万人）随时间t（年）的变化率为dP/dt=0.05P(1-0.1P)，其中P的最大值为10万人。则人口达到最大值的一半时，时间t约为14.2年。（）5.某公司生产两种产品A和B，每件A产品消耗原材料1千克、劳动力2人日，利润为10元；每件B产品消耗原材料2千克、劳动力1人日，利润为15元。现有原材料300千克，劳动力600人日，为使利润最大化，应生产A产品100件，B产品100件。（）6.在研究某产品的库存管理时，建立如下模型：库存成本C（元）由固定成本100元和变动成本5x元组成（x为库存量），缺货成本为每件10元。若需求量D服从均匀分布，0≤D≤100，则最优库存量x为50件。（）7.某农场计划用200米长的篱笆围成一个矩形的羊圈，为使羊圈面积最大，应选择的长和宽的比值为1:1。（）8.在分析某产品的市场需求时，建立如下模型：需求量D（件）与价格p（元）的关系为D=500-20p，成本函数C（元）为C=100+5D。则该产品的盈亏平衡点（即收入等于成本的价格点）为25元。（）9.某工厂生产两种产品A和B，每件A产品消耗原材料2千克、劳动力3人日，利润为20元；每件B产品消耗原材料1千克、劳动力2人日，利润为15元。现有原材料300千克，劳动力600人日，为使利润最大化，应生产A产品150件，B产品150件。（）10.在研究传染病的传播速度时，建立如下模型：感染者人数I（人）随时间t（天）的变化率为dI/dt=2I(100-I)，其中100为该地区的最大感染潜力。则感染人数达到最大值的一半时，时间t约为5.0天。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.请简述数学建模在解决实际问题中的作用和意义。2.请简述线性规划模型的基本要素和求解步骤。3.请简述微分方程在研究传染病传播中的应用。4.请简述库存管理中库存成本和缺货成本的构成。5.请简述复利计算在投资分析中的应用。6.请简述需求量与价格关系的弹性分析方法。7.请简述人口增长模型中Logistic模型的适用条件。8.请简述盈亏平衡点的计算方法和经济意义。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产两种产品A和B，每件A产品消耗原材料2千克、劳动力3人日，利润为20元；每件B产品消耗原材料1千克、劳动力2人日，利润为15元。现有原材料300千克，劳动力600人日，为使利润最大化，应如何安排两种产品的生产数量？请建立该问题的数学模型并求解。2.某公司投资一个项目，初始投资为100万元，预计年收益率为10%，投资期为5年。若采用复利计算，则5年后的本息和为多少？请计算并说明复利计算的方法。3.在研究传染病的传播速度时，建立如下模型：感染者人数I（人）随时间t（天）的变化率为dI/dt=2I(100-I)，其中100为该地区的最大感染潜力。请计算感染人数达到最大值的一半时，时间t约为多少天？4.某工厂生产某种产品，固定成本为5000元，单位可变成本为20元/件，售价为50元/件。请计算该产品的盈亏平衡点（即收入等于成本的价格点）为多少元？5.某农场计划用200米长的篱笆围成一个矩形的羊圈，请计算为使羊圈面积最大，应选择的长和宽的比值是多少？6.在研究某产品的库存管理时，建立如下模型：库存成本C（元）由固定成本100元和变动成本5x元组成（x为库存量），缺货成本为每件10元。若需求量D服从均匀分布，0≤D≤100，请计算最优库存量x为多少件？7.在分析某产品的市场需求时，建立如下模型：需求量D（件）与价格p（元）的关系为D=500-20p，成本函数C（元）为C=100+5D。请计算该产品的盈亏平衡点（即收入等于成本的价格点）为多少元？8.某公司生产两种产品A和B，每件A产品消耗原材料1千克、劳动力2人日，利润为10元；每件B产品消耗原材料2千克、劳动力1人日，利润为15元。现有原材料300千克，劳动力600人日，为使利润最大化，应如何安排两种产品的生产数量？请建立该问题的数学模型并求解。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：该问题的数学模型为最大化利润函数3x+4y，约束条件为原材料和劳动力的限制，即2x+3y≤120（原材料限制），10x+8y≤800（劳动力限制），且x,y为非负整数。选项A正确。2.B解析：根据题意，y=kx+b，当x=0时，y=10；当x=1000时，y=20。代入得k=0.01，b=10，故y=0.01x+10。当y趋于无穷大时，x趋于2000。3.A解析：设矩形的长为l，宽为w，则2l+2w=200，即l+w=100。面积S=lw。由均值不等式，l+w≥2√lw，即100≥2√lw，解得lw≤2500，当l=w=50时，面积最大。4.A解析：收入R=px=500-20p)p=-20p^2+500p，成本C=100+5D=100+5(500-20p)=2600-100p。盈亏平衡点为R=C，即-20p^2+500p=2600-100p，解得p=25。5.A解析：复利计算公式为F=P(1+r)^n，代入数据得F=100(1+0.1)^5=161.05万元。6.B解析：dI/dt=2I(100-I)分离变量得dI/I(100-I)=2dt，积分得ln|I/(100-I)|=2t+C，当I=50时，t=0，解得C=ln2，故I/(100-I)=2^t，解得t≈4.6天。7.B解析：利润函数π=50x-20x-5000=30x-5000，令π=0，解得x=166.67，取整为200件。8.A解析：dP/dt=0.05P(1-0.1P)分离变量得dP/P(1-0.1P)=0.05dt，积分得lnP/(1-0.1P)=-0.05t+C，当P=5时，t=0，解得C=ln5，故P/(1-0.1P)=5e^(-0.05t)，解得t≈14.2年。9.A解析：与第1题相同，模型为最大化10x+15y，约束条件x+2y≤300，2x+y≤600，x,y∈N。10.A解析：库存成本C=100+5x+10(100-x)=100+500-5x，当x=50时，C最小。二、填空题1.150,150解析：与第1题相同，解得x=150，y=150。2.25解析：与第5题相同，解得p=25。3.161.05解析：与第5题相同，解得F=161.05万元。4.4.6解析：与第6题相同，解得t≈4.6天。5.200解析：与第7题相同，解得x=200。6.14.2解析：与第8题相同，解得t≈14.2年。7.150,150解析：与第9题相同，解得x=150，y=150。8.50解析：与第10题相同，解得x=50。9.1:1解析：与第3题相同，解得l=w=50，比值为1:1。10.25解析：与第4题相同，解得p=25。三、判断题1.√解析：与第6题相同，解得t≈4.6天。2.√解析：与第5题相同，解得F=161.05万元。3.√解析：与第7题相同，解得x=200。4.√解析：与第8题相同，解得t≈14.2年。5.×解析：正确解为x=200，y=100。6.√解析：与第10题相同，解得x=50。7.√解析：与第3题相同，解得l=w=50，比值为1:1。8.√解析：与第4题相同，解得p=25。9.×解析：正确解为x=200，y=100。10.×解析：与第6题相同，解得t≈4.6天。四、简答题1.数学建模在解决实际问题中的作用和意义：数学建模是将实际问题转化为数学语言的过程，通过建立数学模型，可以定量分析问题，优化决策，预测趋势，为科学研究和工程实践提供理论依据。其意义在于简化复杂问题，提供可操作的解决方案，提高决策的科学性和效率。2.线性规划模型的基本要素和求解步骤：基本要素包括目标函数（最大化或最小化）和约束条件（线性不等式或等式）。求解步骤包括：①建立模型；②用图解法或单纯形法求解；③检验解的可行性；④分析结果。3.微分方程在研究传染病传播中的应用：微分方程可以描述传染病传播的速度和趋势，如SIR模型（易感者-感染者-移除者模型）通过dS/dt=-βSI、dI/dt=βSI-γI、dR/dt=γI描述传播过程，其中β为传染率，γ为移除率。4.库存管理中库存成本和缺货成本的构成：库存成本包括固定成本（如仓储费用）和变动成本（如存储费用），缺货成本包括失去的销售收入和客户损失。5.复利计算在投资分析中的应用：复利计算用于评估长期投资的收益，公式为F=P(1+r)^n，其中F为本息和，P为本金，r为年利率，n为年数。6.需求量与价格关系的弹性分析方法：需求价格弹性为需求量变化对价格变化的敏感度，公式为Ed=-ΔQ/ΔPP/Q，用于分析价格变动对收入的影响。7.人口增长模型中Logistic模型的适用条件：Logistic模型适用于资源有限的环境，当人口密度接近资源承载能力时，增长速度减慢，公式为dP/dt=rP(1-P/K)，其中K为承载能力。8.盈亏平衡点的计算方法和经济意义：盈亏平衡点为收入等于成本的价格点，计算公式为p=(C+FC)/Ed，其中C为单位可变成本，FC为固定成本，Ed为需求弹性。经济意义在于确定最低销售价格或销量。五、应用题1.某工厂生产两种产品A和B，每件A产品消耗原材料2千克、劳动力3人日，利润为20元；每件B产品消耗原材料1千克、劳动力2人日，利润为15元。现有原材料300千克，劳动力600人日，为使利润最大化，应如何安排两种产品的生产数量？请建立该问题的数学模型并求解。解：设生产A产品x件，B产品y件，则模型为：最大化Z=20x+15y，约束条件：2x+y≤300，3x+2y≤600，x,y∈N。用图解法，可行解为x=200，y=100，最大利润为20×200+15×100=5500元。2.某公司投资一个项目，初始投资为100万元，预计年收益率为10%，投资期为5年。若采用复利计算，则5年后的本息和为多少？请计算并说明复利计算的方法。解：复利计算公式为F=P(1+r)^n，代入数据得F=100(1+0.1)^5=161.05万元。3.在研究传染病的传播速度时，建立如下模型：感染者人数I（人）随时间t（天）的变化率为dI/dt=2I(100-I)，其中100为该地区的最大感染潜力。请计算感染人数达到最大值的一半时，时间t约为多少天？解：dI/dt=2I(100-I)分离变量得dI/I(100-I)=2dt，积分得ln|I/(100-I)|=2t+C，当I=50时，t=0，解得C=ln2，故I/(100-I)=2^t，解得t≈4.6天。4.某工厂生产某种产品，固定成本为5000元，单