第1课时　因式分解的概念

数学八年级上册(RJ)第十七章因式分解17．1用提公因式法分解因式第1课时因式分解的概念教师备课素材示例●类比导入问题：计算260×3.7＋260×5.6＋260×0.7.解：原式＝260×(3.7＋5.6＋0.7)＝260×10＝2600.(1)讨论上题的计算方法，分别提出各自的依据，然后比较哪种方法简便；(2)类似地，ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)；(3)引入“因式分解”及“公因式”的概念．【教学与建议】教学：此例让学生结合因数分解和数的乘法的关系进行类比，导入用提公因式法分解因式．建议：让学生讨论、交流，然后进行归纳、概括．●归纳导入1．计算：(1)m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(3)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.2．填空：(1)ma＋mb＋mc＝m·(a＋b＋c);(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b);(3)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.请同学们自己总结1，2两题的特点和联系．【归纳】因式分解与整式乘法的关系：多项式eq\o(⥬,\s\up7(因式分解),\s\do5(整式乘法))整式×整式×…×整式这节课将探索提公因式法分解因式．【教学与建议】教学：通过练习进行归纳，得到因式分解及公因式的概念．建议：鼓励学生发表自己的观点，并归纳出计算方法．·命题角度1辨别因式分解与整式乘法因式分解应满足下列条件：(1)必须是整式；(2)右边必须是乘积形式；(3)必须是恒等式.【例1】下列从左到右的变形是因式分解并且正确的是(C)A．2x2－xy－x＝2x(x－y－1)B．－xy2－2xy＋3y＝－y(xy－2x－3)C．x(x－y)－y(x－y)＝(x－y)2D．3x2－3x－3＝3x(x－1)－3【例2】下列因式分解正确的是(C)A．－x2＋4x＝－x(x＋4)B．x2＋xy＋x＝x(x＋y)C．2xy＋4x＝2x(y＋2)D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)·命题角度2确定公因式确定多项式中各项的公因式，先定系数，即确定各项系数的最大公因数，再定字母，即确定各项的相同字母因式；后定指数，即各项相同字母因式的指数的最低次幂．【例3】多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是(D)A．abcB．3a2b2C．3a2b2cD．3ab【例4】多项式9a2x2－27a4x3中各项的公因式是9a2x2.【例5】分解因式：(1)am－an；(2)a3－2a2；(3)x2＋xy；(4)xy＋y2－yz.解：(1)原式＝a(m－n)；(2)原式＝a2(a－2)；(3)原式＝x(x＋y)；(4)原式＝y(x＋y－z).高效课堂教学设计1．了解因式分解与公因式的概念．2．理解因式分解与整式乘法之间的区别与联系，培养学生的逆向思维能力．▲重点会用提公因式法分解因式．▲难点如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．◆活动1新课导入计算：(1)a(b＋c)＝ab＋ac；(2)(2x＋3)(3－2x)＝9－4x2；(3)(x＋4)2＝x2＋8x＋16；(4)(x＋3)(3x－5)＝3x2＋4x－15.◆活动2探究新知1．教材P124探究．提出问题：(1)你能将探究中的多项式写成整式乘积的形式吗？(2)上述变形与整式乘法之间有什么关系？(3)你能类似于分解质因数一样将上面的变形命名吗？学生完成并交流展示．2．把下列各式因式分解：(1)pa＋pb＋pc；(2)2x2－3xy2＋x.提出问题：(1)观察上面的式子有什么共同点？(2)pa＋pb＋pc公共的因式是什么？2x2－3xy2＋x公共的因式是什么？(3)用整式分别除以公共的因式，你能计算出另一个因式吗？(4)你能分别将这两个多项式写成公因式与另一个因式积的形式吗？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式叫作这个多项式的因式分解.2．因式分解与整式乘法是方向相反的变形．3．多项式各项都有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式.4．如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．◆活动4例题与练习例1下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(D)A．a(x－y)＝ax－ayB．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)例2教材P125例1.例3计算：29×20.25＋72×20.25＋13×20.25－20.25×14.解：原式＝20.25×(29＋72＋13－14)＝20.25×100＝2025.练习1．教材P125练习第1，2，3题．2．把x2＋3x＋c分解因式得x2＋3x＋c＝(x＋1)(x＋2)，则c的值为(A)A．2B．3C．－2D．－33．下列各组代数式中，没有公因式的是(C)A．5m(a－b)与b－aB．(a＋b)2与－a－bC．mx＋y与x＋yD．－a2＋ab与a2b＋ab24．分解因式：(1)mn＋4n；(2)a2＋ab－a；(3)x2－3x；(4)－2xy2＋x＋4x2.解：(1)原式＝n(m＋4)；(2)原式＝a(a＋b－1)；(3)原式＝x(x－3)；(4)原式＝x(－2y2＋1＋4x).5．利用因式分解计算：(1)992＋99;(2)(－2)101＋(－2)100＋299.eq\a\vs4\al(解：原式＝99×(99＋1),＝99×100,＝9900；,)解：原式＝－2101＋2100＋299＝299×(－22＋2＋1)＝299×(－1)＝－299.◆活动5课堂小结1．因式分解的概念．2．提公因式法．1．作业布置(1)教材P126～127习题17.1第1，2题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列计算正确的是()A.(a3)2=a5 B.(-ab3)3=-ab6C.(a+2)2=a2+4 D.2x12÷x6=2x62.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)3.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)·(x-3),则a,b的值分别是()A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-34.(xn+1)2(x2)n-1=()A.x4n B.x4n+3 C.x4n+1 D.x4n-15.把多项式x3-2x2+x分解因式正确的是()A.x(x2-2x) B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1) D.x(x-1)26.计算(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)的结果为()A.-8x2y2+4xy-1 B.-8x2y2-4xy-1C.-8x2y2+4xy+1 D.-8x2y2+4xy7.如图①,一个长方形的长为2m,宽为2n(m>n),用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是()A.2mn B.(m+n)2C.(m-n)2 D.m2-n28.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为()A.2,3,7 B.3,7,2 C.2,5,3 D.2,5,7二、填空题9.若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值是.10.设a=192×918,b=8882-302,c=10532-7472,则a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是.

11.若a+3b-2=0,则3a·27b的值是.

12.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成abcd,定义abcd=ad-bc.若-三、解答题13.计算:(1)2a5·(-a)2-(-a2)3·(-7a);(2)(x-4y)·(2x+3y)-(x+2y)·(x-y).14.先化简再求值:(1)2x-23y-((2)(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y),其中x=2,y=1.15.(14分)观察下列三个算式的特点:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.(1)请你再写两个具有同样规律的算式;(2)用文字写出反映上述算式的规律;(3)验证这个规律的正确性.综合训练一、选择题1.D2.D3.B∵(x+1)(x-3)=x2-2x-3,∴x2+ax+b=x2-2x-3.∴a=-2,b=-3.4.A5.D6.A7.C拼成的正方形的边长为(m+n),它的面积为(m+n)2=m2+2mn+n2.原长方形的面积为4mn,故中间空白部分的面积为m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-n)2.8.A长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形的面积为(a+3b)·(2a+b)=2a2+7ab+3b2.因为一张A类卡片的面积为a2,一张B类卡片的面积为b2,一张C类卡片的面积为ab,所以需要A类卡片2张,B类卡片3张,C类卡片7张.故选A.二、填空题9.±810.a<c<b因为a=192×918=361×918,b=8882-302=(888-30)(888+30)=858×918,c=10532-7472=(1053+747)(1053-747)=1800×306=600×918,所以a<c<b.11.912.-6由新定义知,-53x2+52x2-3=-5(x2-3)-2(3x2+5)=-5x2+15-因为-5所以-11x2+5=6.故11x2-5=-(-11x2+5)=-6.三、解答题13.解(1)原式=2a5·a2-7a6·a=2a7-7a7=-5a7.(2)原式=(2x2+3xy-8xy-12y2)-(x2-xy+2xy-2y2)=2x2-5xy-12y2-x2-xy+2y2=x2-6xy-10y2.14.解(1)原式=2x=x+=x2+19y2+23xy-=x2+19y2当x=1,y=9时,原式=12+19×92=1+9=10(2)原式=(3x-y+2x+y)(3x-y-2x-y)-5x2+5xy=5x·(x-2y)-5x2+5xy=5x2-10xy-5x2+5xy=-5xy.当x=2,y=1时,