14.2 三角形全等的判定（第2课时）

12/12第十四章全等三角形14.2三角形全等的判定

第2课时利用“角边角”、“角角边”判定三角形全等一、教学目标【知识与技能】掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件,能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.【过程与方法】经历探究全等三角形条件的过程,掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.【情感、态度与价值观】通过画图、探究、归纳、交流,使学生获得一些研究问题的经验和方法,发展实践能力和创新精神.二、课型新授课三、课时第2课时，共4课时。四、教学重难点【教学重点】 学会运用“角边角”公理及其推论证明两个三角形全等.【教学难点】 ASA公理和AAS推论的综合运用.五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等。学生：三角尺、直尺、剪刀。六、教学过程（一）导入新课学完“三角形全等判定”后,小明把一块三角形纸片分为如图四块,分别给了编号为1，2，3，4的四名同学,要求他们画出与原三角形全等的三角形,则编号为几的同学能完成任务?你的根据是什么?（出示课件2）（二）探索新知1.师生互动，探究三角形全等的判定方法2（角边角）教师问1：观察上边的一组图片，同学们，今天先请大家帮个忙，小明踢球时不慎把一块三角形的玻璃打碎为两块，他要去玻璃店买一块大小相同的玻璃，那么：问题：(1)要不要两块都带去？(2)带哪块去呢？(3)带第②块，带去了三角形的几个元素？带第①块呢？问：恢复后的三角形和原三角形全等，那全等的条件是不是由带去的元素决定的呢？师生共同分析：图中的第①块玻璃只能确定三角形的一个角，是无法确定整块玻璃的大小和形状的；图中的第②块玻璃能确定三角形的两个角和它们的夹边(ASA)，能够确定整块玻璃的大小和形状吗？这就是我们判定三角形全等中——知道两角一边的情形.教师问2：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？学生探究并回答：两种情形：两角及夹边和两角和其中一角的对边（出示课件4）教师问3：我们先看两角及夹边的情况，同学们完成下边的任务并且回答问题：先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B，把画出的△A′B′C剪下，放到△ABC上，它们全等吗？（出示课件5）学生操作完成后回答：这两个三角形能够重合.（出示课件6）教师问4：由此你得到三角形全等的判定方法是？学生回答：两角与它们的夹边对应相等的两个三角形全等总结点拨：（出示课件7）“角边角”判定方法

文字语言：

两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.

几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，（已知）

AB=A′B′，（已知）

∠B=∠B′，（已知）

∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.

例1：已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，

求证：△ABC≌△DCB．师生共同解答如下：（出示课件8）证明：在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB，(已知）

BC＝CB，（公共边）

∠ACB＝∠DBC，（已知）∴△ABC≌△DCB（ASA）.

总结点拨：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．例2：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C,求证：AD=AE.

师生共同解答如下：（出示课件10）分析：证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE.

证明：在△ACD和△ABE中，

∠A=∠A，（公共角）

AC=AB，（已知）

∠C=∠B，（已知）∴△ACD≌△ABE（ASA），∴AD=AE.2.师生探究三角形全等的判定方法3（角角边）教师问5：在下边的图中，已知∠A′＝∠A，∠B′＝∠B，那么∠C＝∠A′C′B′吗？为什么？学生交流、总结如下：根据三角形内角和定理，∠A′C′B′＝180°－∠A′－∠B′，∠C＝180°－∠A－∠B，由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，故∠C＝∠A′C′B′.教师问6：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF(课本图14.2.6)，△ABC与△DEF全等吗？学生运用三角形内角和定理，以及“ASA”可很快证出△ABC≌△DEF.师生共同归纳规律：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成AAS).总结点拨：（出示课件14）文字语言：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.

几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，

∠A=∠A′（已知），

∠B=∠B′（已知），

AC=A′C′（已知），

∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.

例2：如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；求证：(2)DE＝BD＋CE.

（出示课件16-17）

师生共同解答如下：证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，

∴∠ABD＋∠BAD＝90°.

∵AB⊥AC，

∴∠BAD＋∠CAE＝90°，

∠ABD＝∠CAE.

在△BDA和△AEC中，

∠ADB=∠CEA=90°，

∠ABD＝∠CAE,

AB＝AC,

∴△BDA≌△AEC(AAS).（2）证明：∵△BDA≌△AEC,

∴BD＝AE，AD＝CE，

∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.

总结点拨：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．（三）课堂练习（出示课件21-27）1.下列各图中a,b,c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）

A．甲和乙 B．乙和丙

C．甲和丙 D．只有丙

2.在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（）

A．一定不全等B．一定全等

C．不一定全等D．以上都不对3.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是___________.

4.如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.5.已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,

求证：AB=AD.

6.如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗?如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?

7.已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高.试说明AD＝A′D′，并用一句话说出你的发现.

参考答案：1.B2.B3.AC=BC

4.不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.

5.证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°.在△ABC和△ADC中，∠1=∠2（已知），

∠B=∠D（已证），

AC=AC（公共边），

∴△ABC≌△ADC(AAS)，∴AB=AD.

6.答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.

7.解：因为△ABC≌△A′B′C′，

所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.

因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，

所以∠ADB=∠A'D'B'.在△ABD和△A'B'D'中，∠ADB=∠A'D'B'（已证），∠ABD=∠A'B'D'（已证），AB=AB（已证），

所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.

（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.知识技能：角边角公理及其推论证明两个三角形全等的运用.2.数学思想：“转化”思想的运用，ASA→AAS.3.证题技巧：证明某些线段或角相等可以通过证明三角形全等得到.（五）课前预习预习下节课（14.2）教材第36页到第41页的相关内容。知道三角形的判定方法（SSS），利用尺规作一个三角形、作一个角等于已知角。七、课后作业1、教材第36页练习1,22、两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点,不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等?为什么?八、板书设计：九、教学反思：1.本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想.2.借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大认知结构，发展能力，完善人格，从而使课堂教学真正地落实到学生的发展上.3.充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验.综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.有三个角对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.有两个角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D.有两个角对应相等,还有一条边也相等的两个三角形全等2.如图,△ABC≌△AEF,AC与AF是对应边,则∠EAC等于()A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组4.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽AB,其中判定△OAB≌△OA'B'的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL5.如图,AC=BD,AB=CD,图中全等的三角形共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6.如图,AB∥CF,DE=EF,AB=10,CF=6,则DB等于()A.3 B.4 C.5 D.67.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,如图,可以证明△EDC≌△ABC,得到DE=AB,因此测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL8.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.如图,已知△ABC≌△A'B'C,点B'在边AB上,若∠A=40°,∠B=60°,则∠A'CB的度数为.

10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CEB.

11.雨伞开闭过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB,AF=13AC.当O沿AD滑动时,雨伞开闭.雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP=cm时,才能使△ABC和△QPA全等.

三、解答题13.如图,C为线段AB上一点,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.求证:△ACD≌△BEC.14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.15.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:(1)BD=CE;(2)∠M=∠N.16.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.综合训练一、选择题1.C2.C3.C4.A5.B根据全等三角形的判定可得图中全等的三角形有:△ADB和△DAC;△ABC和△DCB;△ABO和△DCO.6.B7.B8.A二、填空题9.140°∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A'=∠A=40°,∠A'B'C=∠B=60°,CB=CB',∠A'CB'=80°,∴∠BB'C=∠B=60°,∴∠BCB'=180°-60°-60°=60°,∴∠A'CB=∠A'CB'+∠BCB'=140°.10.AH=CB(或EH=EB或AE=CE)根据“AAS”需要添加AH=CB或EH=EB;根据“ASA”需要添加AE=CE.11.相等∵AE=13AB,AF=13AC,∴AE=AF.又OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌