数学广角：鸽巢问题（教学设计）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

数学广角：鸽巢问题教学内容教学内容教科书第116～117页相关内容。教学目标教学目标1．经历摆一摆、枚举、平均分说理等活动，初步感知鸽巢现象，准确理解“总有”“至少”两个关键词含义。2．能用“先尽量平均分，剩下1个任意放入其中一个容器”的思路，口头解释简单鸽巢问题。3．发现生活中简单的鸽巢实例，感受简单逻辑推理；可借助除法算式辅助看懂平均分思路，不强制学生独立书写列式、不背诵通用计算模型。教学重点教学重点理解“总有、至少”，掌握平均分的说理方法。教学难点教学难点完整、有条理地说清推理过程，准确理解“至少”是最低限度。教学准备教学准备一副扑克牌、每组3个笔筒、4支铅笔、多媒体课件。教学过程教学过程一、新课引入师：同学们喜欢魔术吗？今天老师给大家带来一个“纸牌魔术”，这里有一副扑克牌（出示），我先把大王和小王抽取出来（当众抽取），剩下52张，如果请1位同学上来随意抽出5张牌，老师不用看牌，就能断定，这5张牌里，至少有2张是同一种花色，大家相信吗？请有疑问的学生上台抽牌展示，全班观察、统计结果，多请2名同学重复试验。师：谁能用简洁的一句话总结我们多次试验发现的现象？预设学生回答：不管怎么抽5张牌，里面至少有2张牌花色相同。师：为什么每次都会出现这个现象？难道老师真的会魔术吗？其实这背后藏着今天要探究的数学规律——鸽巢问题。师：大家第一次见到“鸽巢问题”这个名称，有什么好奇、想问的问题吗？（学生自由发言）师：大家提出了很多疑问，今天我们就带着这些问题一起探究。扑克牌数据较多，直接研究不方便，我们先从数量更小、更直观的同类简单问题入手，弄懂规律后，再回头解开这个魔术的秘密。二、探究新知（一）动手探究，感知基础鸽巢现象师：每个小组桌子上都放了4支铅笔和3个笔筒，现在请大家来摆一摆，试一试。1．小组合作，猜想验证。出示【学习任务一】。学生小组合作动手尝试，教师巡视指导，提醒学生有序记录，不用纠结笔筒编号区别。小组完成后上台展示摆放结果，其余小组补充、评价。集体汇报交流。预设1：枚举摆放法。小组上台展示4种摆放情况，用数字简写记录：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。用图示记录的结果：师：观察全部摆放情况，你有什么统一发现？多名学生发言后归纳：无论怎么摆放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔。师：谁结合这道题，说一说“总有”和“至少”分别是什么意思？预设：“总有”就是一定存在，每一种摆法都满足；“至少”代表最低限度，不少于2支，数量可以等于2，也可以比2多。师：我们已经通过列举所有摆法得到结论，如果不想一一列举，有没有更快的推理思路？预设2：假设平均分法。预设：先假设给每个笔筒平均分1支铅笔，3个笔筒一共放3支，还剩余1支。剩下的这1支无论放进哪个笔筒，这个笔筒都会有2支铅笔。师：为什么要先平均分？引导学生理解：只有尽量平均分，才能让每个笔筒的铅笔数量达到最少，这种极限情况都满足条件，其余所有摆法自然也符合。师：我们可以用除法式子辅助记录平均分过程4÷3=1……1，大家看懂算式对应的分物过程即可，回答问题优先完整口述推理过程，不作强制书写要求。2．探究教材例题。师：课本上还有一道经典鸽巢问题，我们一起来研究，7只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少要飞进3只鸽子，为什么？请大家先独立想一想，再小组合作，把7只鸽子分到3个鸽笼的所有情况都写出来。（学生小组讨论、书写）师：哪个小组愿意上台分享你们找到的分配情况？其他同学认真听，看看他们有没有漏掉分法。（多组学生汇报，师生共同补齐所有情况）师：我们一起来看课件，这里汇总了全部6种分法（0，0，7）、（0，1，6）、（0，2，5）、（1，1，5）、（1，2，4）、（2，2，3）。师：仔细观察全部分法，谁能说一说，每一种分配里，都能找到怎样的规律？预设1：每一种情况，都存在一个鸽笼里有3只或更多鸽子。预设2：分的最均匀、数量最少的情况是（2，2，3），就算平均分，也有一个鸽笼达到3只。师：枚举全部情况能验证结论，有没有更简便、不用一一列举的方法？预设：可以用之前平均分的思路思考。师：请大家独立思考，同桌互相完整说一说平均分推理过程。预设：把7只鸽子平均分进3个鸽笼，7÷3=2（只）……1（只）。每个鸽笼先分2只，3个鸽笼一共分走6只，还剩1只。剩下的1只无论飞进哪个鸽笼，这个鸽笼就有2+1=3（只）鸽子。师补充：和之前4支铅笔一样，这个除法算式只是帮我们看清平均分过程，课堂回答优先完整说清推理思路，不强制动笔写算式。师思考追问：为什么解题要先尽量平均分？谁能结合刚才的鸽子问题说一说？多名学生自由发言后小结：尽量平均分，能让每个鸽笼里鸽子数量达到最低限度，这种最平均、数量最少的极端情况都满足题目结论，那么其余所有摆放方式一定都满足。师继续深度提问：换个角度想一想，如果想让每个鸽笼里鸽子尽可能少，假设每个鸽笼最多只飞进2只，3个鸽笼一共最多能容纳几只鸽子？预设：3×2=6（只）。师：现在一共有7只鸽子，只有6个空位，多出1只，能推出什么？预设：必然有一个鸽笼至少要飞进3只鸽子。师小结：所以不管是枚举全部情况，还是用除法平均分，核心思路都是先平均分，平均分能找到最少数量的极限情况，这是解决鸽巢问题最简单的方法。师：现在我们回过头来看本节课开头的魔术，谁能说清原理？什么相当于鸽子？什么相当于鸽巢？预设：抽出的5张牌是5只鸽子，4种花色是4个鸽巢。5÷4=1……1，因此至少有2张牌花色相同。师：和咱们前面两道题一样，除法算式只是帮我们看清平均分的思考过程，之后答题只要能完整说清推理道理就可以，不要求必须写出除法算式。师：同学们，我们今天通过铅笔、鸽子、纸牌魔术三道题目，认识了一类新问题，它有专属数学名称，我们一起来看一看。课件出示数学文化页面，全班齐读：“鸽巢问题”又称狄利克雷原理，也叫抽屉问题。师：谁还记得我们最开始用什么例子建立模型？谁对应鸽子，谁对应鸽巢？预设：4支铅笔、3个笔筒；铅笔是鸽子，笔筒是鸽巢。师：解决这类问题最核心的思考方法是什么？预设：尽量平均分，通过平均分推理得出结论。师小结：只要物品总数多于容器数量，我们都能借助平均分说理，推出“总有一个容器里至少放几个物品”。3．巩固练习。师：我们用本节课平均分推理方法，解决课本生活应用题。出示【学习任务二】。学生独立思考，同桌互相交流推理过程。全班汇报说理：一共有12种属相，相当于12个鸽巢。先平均分配，13个人平均分到12种属相，每种属相先分1人，还剩余1人，剩余1人的属相一定会和其中1人重复，因此至少有2人属相相同。师提问：这道题里，谁相当于“鸽子”，谁相当于“鸽巢”？预设：13位同学是鸽子，12种属相是鸽巢。三、课堂小结师：通过本节课的学习，你有什么收获？（引导学生对本节课学习的内容，以及用到的思维及方法进行总结）预设1：我明白了“总有”就是一定存在，“至少”是最低限度、不少于这个数量；预设2：解决鸽巢问题最简单的思路是先尽量平均分，再处理余下的物体；预设3：分放的物品叫“鸽子”，盛放物品的容器叫“鸽巢”；预设4：能结合生活例子、课本鸽子、属相题目口头说清推理道理。师小结升华：解决简单鸽巢问题的核心思路是尽量平均分，把物体均匀分到每个容器，找到数量最少的极限分配情况，就能推理出“总有一个鸽巢至少放几个物体”。生活里属相、分物品、纸牌都藏着这类规律，课后大家可以多观察、举例子。四、课后任务1．回家给家长讲清课本两道例题（4支铅笔放笔筒、7只鸽子飞鸽笼）的道理。2．在生活里找1个鸽巢问题的小例子，下节课分享。教学反思教学反思______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________