2027届上海市十年高考数学专题分类训练 专题02 不等式（10年汇编）（解析版）

专题02不等式10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点01不等式性质2020/2022/2024/2026均考查，单选+填空+解答基础题用举反例、作差判断不等关系；解答结合分段函数、指数不等式综合，侧重范围求解与最值分析考点02一元二次不等式2021/2024/2025/2026全覆盖，全题型基础题直接求解解集；2026创新结合导数切线、直线交点，融合解析几何，综合性大幅提升考点03基本不等式2019-2026年年必考，填空为主、解答压轴填空常规求最值；解答搭配函数新定义、椭圆解析几何，强调“一正二定三相等”，压轴侧重多条件最值考点04分式不等式2017/2021/2022/2026填空基础送分题，统一转化整式不等式求解，题型稳定无复杂综合，难度最低考点01不等式性质1．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C.【详解】对于A,取，则故，所以A错误，对于B，取则，此时，故B错误，对于C，由于，故，因此，C正确，对于D,取，则，此时，故D错误，故选：C2．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断.【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误；对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确；对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误．故选：B．3．（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.【详解】因为，则，故，A对B错；，即，当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.故选：A.4．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】用不等式的基本性质得解.【详解】，但，，A、C错，，所以.B正确.，但，D错.故选:B.5．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是___________.【答案】/【分析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值.【详解】设，则，解得，所以，，因此，的最小值是.故答案为：.6．（2020·上海·高考真题）已知：，，且，（1）若，求的取值范围；（2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值.【答案】（1）；（2）时，.【分析】（1）当时根据函数的解析表达式，利用指数函数的单调性得到，进而解得；当时，利用不等式的基本性质可得,此时无解.（2）根据已知条件，结合函数的解析式，求得的值，进而分段讨论，当时可利用不等式的基本性质得到,当时利用二次函数的性质求得>400，从而得到答案.【详解】（1）当时，,即,；当时，,此时无解.综上所述，；（2）当时，,解得,当时，当时，,当时取得最大值.综上所述当时取得最大值，.【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的基本性质，函数的最大值，指数函数的单调性，指数不等式和不等式的求解，属中档难度试题，关键在于分段讨论.难点在于（2）中的求最值部分，当时，关于的函数的单调性比较复杂，先探求范围，求出当时的最值，这样可以避免对复杂函数的单调性的分析.考点02一元二次不等式的解法1．（2021·上海·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，或由和不存在包含关系，故选：D2．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________．【答案】【分析】转化为一元二次不等式，解出即可.【详解】原不等式转化为，解得，则其解集为.故答案为：.3．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.【答案】【分析】分与两段求解二次不等式可得.【详解】根据题意知.当时，,即，解得，则有；当时，,即，，即时，不等式都成立.综上所述，的的取值范围为.故答案为：.4．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______．【答案】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.5．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____．【答案】【分析】将不等式化为，即可得答案.【详解】由题意得不等式即，即不等式的解集为，故答案为：6．（2026·上海·高考真题）已知，函数，．(1)已知，求的解集；(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围；（2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）由题意，.在与中，，解得，∴，∵，∴，解得或或，∴不等式的解集为.（2）由题意知，由，得，∴.∵直线为在点的切线，∴直线的方程为，即，∵是过点且垂直于的直线，∴直线的方程为：，即，对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点，∴与无正实数解，分离参数得，，，∴直线与与曲线在内均无交点，而，当时，解得（舍）或，∴当即时，函数单调递减，当即时，函数单调递增，∴在处取最小值，.当时，，当时，，∴且，即或，∴实数的取值范围为.7．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，.(1)若，，经甲变化得到，求方程的解；(2)若，经乙变化得到，求不等式的解集；(3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）由题设可得，求解即可.（2）由题设有，讨论、分别求解即可.（3）将题设化为对于任意存在，即可证结论.【详解】（1）由题设，甲变化为，则，∴，解得.（2）由题设，，又，∴，当，即时，则，恒成立；当，即时，则，解得：或.综上，不等式解集为.（3）由题设，，则，，则，∵当成立，在上单调递增，∴，∴对于任意总存在成立，∴在R上单调递增，得证.【点睛】关键点点睛：第三问，利用绝对值的几何意义及区间单调性，结合任意存在，判断函数在实数域上单调性.考点03基本不等式1．（2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确.【详解】A.由基本不等式可知，故A不正确；B.，即恒成立，故B正确；C.当时，不等式不成立，故C不正确；D.当时，不等式不成立，故D不正确.故选：B.2．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________．【答案】/【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论.【详解】因为，当且仅当时等号成立，结合可得，，当且仅当，或，时等号成立，所以当，或，时，取最大值，最大值为.3．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______．【答案】2【分析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值．【详解】解：∵，，∴∴，当且仅当时取等号，即，时取等号故答案为：2．【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________．【答案】4【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.【详解】易知，当且仅当，即时取得最小值.故答案为：45.（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______．【答案】12【分析】利用不等式即可求解.【详解】,当且仅当,即或时,等号成立,故的最小值为12.故答案为：12.6．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________．【答案】【分析】由，代入即可得出答案.【详解】，当且仅当“”，即时取等，所以的最大值为.故答案为：7．（2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则______.【答案】【详解】因为函数有最小值，所以，因为，，若,则由对勾函数的性质可得在R上单调递增，不合题意；当时，，因为函数最小值为，所以，解得.8．（2019·上海·高考真题）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______【答案】【分析】通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果.【详解】依题意得：，则当且仅当即时取等号，故本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.9．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”.(1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”；(2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？(3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性.【答案】(1)证明见解析(2)存在，(3)严格单调递减【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【详解】（1）当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．（2）由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．（3）设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③+④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.10．（2022·上海·高考真题）在椭圆中，直线上有两点C、D(C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.(1)若∠AFB，求椭圆的标准方程；(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；(3)已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求的最小值.【答案】(1)(2)交点为，在椭圆上，理由见解析(3)6【分析】（1）写出三点的坐标，可将用坐标表示出来，求出的值，再结合已知条件，即可求出，进而写出椭圆的标准方程；（2）根据条件，写出直线和的方程，求出交点坐标，再将其代入椭圆标准方程的左边，即可判断该点与椭圆的位置关系；（3）利用三角换元（或者椭圆的参数方程）的方法设出点的坐标，再结合点的坐标，写出直线和的方程，求出点的坐标，表示出，再利用三角恒等变换以及同角三角函数关系化简，最后根据重要不等式计算出的最小值.【详解】（1）由题可得，又，所以，解得，所以，故椭圆的标准方程为；（2）由，得直线的方程为：，由，得直线的方程为：，联立两方程，解得交点为，代入椭圆方程的左边，得，故直线与的交点在椭圆上；（3）由题有因为两点在椭圆上，且关于原点对称，则设，直线，则，直线，则，所以设，则，因为，所以，则，即的最小值为6.【点睛】关键点点睛：第（3）小题中，以三角函数形式（参数方程）设点是解题的关键，进而利用三角恒等变换和同角三角函数关系（二次齐次分式化正余弦为正切）将化简，最终利用重要不等式求出其最小值.考点04集合分式不等式1．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________.【答案】【分析】由可得:，解不等式可得其解集.【详解】由可得:，解得:，所以不等式的解集为.故答案为：.2．（2021·上海·高考真题）不等式的解集为______.【答案】【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解．【详解】．故答案为：．3．（2022·上海·高考真题）不等式的解集为_____________.【答案】【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.【详解】或，解第一个不等式组，得，第二个不等式组的解集为空集.故答案为：【点睛】本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.4．（2017·上海·高考真题）不等式的解集为________【答案】【详解】由题意，不等式，得，所以不等式的解集为.一、单选题1．（2026·上海·三模）“”是“”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【答案】A【详解】若“”，则“”，所以“”“”；若“”，则或，即或；所以“”推不出“”；所以“”是“”的充分非必要条件.2．（2026·上海·三模），是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】，，显然当成立时，不一定成立，例如，当成立时，显然一定成立，所以，是的必要不充分条件.3．（2026·上海静安·二模）已知集合，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】由解得或，即集合，由可得，解得，即集合；所以.4．（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A，B，D，若，可设，此时，故A不符合题意；此时，，得到，故B不符合题意；此时，得到，故D不符合题意；对于C，因为在上单调递增，所以，一定有成立，故C符合题意.5．（2026·上海闵行·二模）若平面直角坐标系中的点到轴与轴的距离之和为1，现有以下两个命题：①存在点到轴与轴的距离之差为1；②存在点到轴与轴的距离之积为1.则以下选项正确的是（

）A．①不正确，②不正确 B．①正确，②正确C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确【答案】C【详解】设，则，对于①，当时，，故，满足点到轴与轴的距离之差为1，①正确；对于②，由基本不等式可得，即，故，②错误.6．（2026·上海·三模）已知，则下列结论中不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错.对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确对于C，已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确.对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确.7．（2026·上海奉贤·二模）已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由，可得，又，所以，故A错误；由，所以，故，故B错误；，因为，所以，则，故C错误；由，可得，又，所以，故D正确.故选：D二、填空题8．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________【答案】2【详解】因为，所以.，当且仅当时等号成立.9．（2026·上海·三模）不等式的解集是______．【答案】【详解】，所以原不等式的解集为.10．（2026·上海·三模）不等式的解集为______．【答案】【详解】原不等式等价于，即，解得，所求解集为．11．（2026·上海黄浦·三模）已知实数，满足，则的最大值为________．【答案】【详解】由，等式两边平方得：展开得.由于对任意实数，有，将其代入上式：，则.当且仅当时取等号，代入,解得或，此时，满足取等条件,因此的最大值为1.12．（2026·上海虹口·三模）已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）．【答案】【详解】，则，解得或，即，已知全集为，补集．13．（2026·上海·二模）设全集为，集合，则________．【答案】【分析】根据分式不等式的解法，可求得集合A，即可得答案.【详解】由，得，解得或，又，所以，则.14．（2026·上海黄浦·二模）若，，则______．【答案】【分析】解不等式化简集合B，进而可求交集.【详解】由题意可知：集合，且集合，所以.15．（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集为__________.【答案】/【详解】因为，所以，即，所以解集为16．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______.【答案】或【分析】由题意得出是一元集，然后按的正负或0分类讨论求解．【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集，若，则，而，满足题意，若，则，，此时，不合题意；若，则，，只含一个元素，则，综上，的取值范围是或．17．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______.【答案】【分析】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次”的关系求解.【详解】由不等式可得，等价于，因为原不等式的解集是，所以是方程的两根，所以，解得.18．（2026·上海杨浦·二模）设正实数满足，则的最小值为______.【答案】/【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为正实数满足，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.19．（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________．【答案】【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最小值．【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点.由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，由余弦定理得，又，∴，当且仅当时，等号成立，∴，∴，即的最小值为.20．（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________．【答案】【详解】由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.21．（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______.【答案】【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】因为，即，令，解得，所以的解集为.即不等式的解集是.22．（2026·上海长宁·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________．【答案】4【分析】直接利用基本不等式计算得到答案.【详解】，当，即，时等号成立，则的最小值为4．故答案为：4．23．（2026·上海黄浦·三模）不等式的解集为___________．【答案】【分析】根据分式不等式的求法可直接求得结果.【详解】由得：，解得：，即不等式的解集为.故答案为：.24．（2026·上海嘉定·二模）解不等式，则不等式的解集是___________【答案】【分析】根据题意，将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解.【详解】根据题意，由，得，即，解得，故解集为.故答案为：.25．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________．【答案】16【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值.【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则，所以，因为，所以，当且仅当，即时，此时，符合题意，所以当时，取的最小值16.三、解答题26．（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、．(1)若、、成等比数列，求证：；(2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值．【答案】(1)证明：因为成等比数列，所以.根据余弦定理：由基本不等式，当且仅当时取等号，代入得：，原不等式得证.(2)6【分析】（1）由等比数列性质可得，进而结合余弦定理写出的表达式，再利用基本不等式证明；（2）由等差数列性质求出角的值，再结合，利用余弦定理得到的关系式，结合基本不等式求的最大值，进而得到周长最大值.【详解】（1）略（2）因为成等差数列，所以，结合三角形内角和，得.已知，由余弦定理：，整理可得：，由基本不等式，代入得：，因此，当且仅当时取等号.故周长，所以周长的最大值为.27．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合(1)若，求；(2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围；(3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明.【答案】(1)(2)(3)见解析，不存在【分析】（1）根据集合定义，结合，得到不等式求解；（2）法一：根据集合定义，结合得到恒成立求解；法二：因为对任意实数均有，所以等价于对任意、，不等式恒成立，所以将，，代入不等式，化简得到关于和的式子，将式子转化为关于的二次型恒成立问题，利用二次函数恒成立的条件求解的范围；（3）考虑构造满足条件的函数，通过反证法证明不存在.【详解】（1）由题意得，即，即，化简得，因为，所以，所以；（2）法一：由题意得，即，即，当时，，而，所以，解得，因为，所以；法二：由题意得，，，即，整理为关于的二次函数恒成立问题，该二次函数开口向上（），对称轴，要对所有恒正，需判别式：