2027届上海市十年高考数学专题分类训练 专题09 复数（10年汇编）（解析版）

专题09复数10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点01复数代数形式的四则运算2017-2025年连续考查，题型以填空题为主，2024年同时考查2道填空，2023年考查填空压轴题，2017-2022年年均有基础填空题基础题核心考查复数乘除运算、共轭复数定义、复数相等条件、虚数分类，难度极低，为必拿分考点；核心变化为2023年起结合复数几何意义、点的轨迹、圆与直线位置关系综合考查，2023年首次以本考点为核心命制填空压轴题，对数形结合能力要求提升考点02求复数的模2018-2026年高频考查，题型覆盖填空题、单选题；2026年首次考查单选压轴题，2025、2023、2020、2019、2018年均有填空题，2026年同时考查填空与单选压轴题基础题考查复数模的计算公式、乘除运算中的模长性质，难度较低；近年变化极为显著：大量结合复数几何意义、圆与圆锥曲线轨迹、距离最值问题综合考查，2026年新增新定义“伴随复数”，融合充要条件、模长性质命制单选压轴题，从基础计算转向多知识点融合的逻辑推理，综合性与难度大幅提升考点01复数代数形式的四则运算1．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________．【答案】【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可.【详解】，故．故答案为：.2．（2024·上海·高考真题）已知，则_______.【答案】/【分析】借助复数的乘法运算与共轭复数定义计算即可得.【详解】由题意可得，故.故答案为：.3．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.4．（2023·上海·高考真题）设且，满足，则的取值范围为________________．【答案】【分析】判断出对应点的轨迹，从而求得的取值范围.【详解】设，，则，所以，，所以，即对应点在以为圆心，半径为的圆上.，对应点为，与关于对称，所以点在以为圆心，半径为的圆上，表示与两点间的距离，圆与圆相交，圆心距为，如图所示，所以的最小值为，最大值为，所以的取值范围为.故答案为：5．（2022·上海·高考真题）已知（其中i为虚数单位），则___________；【答案】【分析】先由求出，从而可求出【详解】因为，所以，所以，故答案为：6．（2022·上海·高考真题）已知，则________【答案】/【分析】直接根据共轭复数的概念得答案.【详解】故答案为：.7．（2021·上海·高考真题）已知复数z满足(i是虚数单位)，则______.【答案】【分析】由已知求得，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：，，则．故答案为：．8．（2017·上海·高考真题）已知复数满足，则_____________．【答案】【详解】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案．详解：由，得，设，由得，即，解得，所以，则．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．考点02求复数的模1．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数，，如果满足“”或“”，那么就称和伴随.则当和伴随，则和伴随的充要条件是（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】设，，，，由条件结合伴随的定义可判断结论.【详解】设，，，，则，，当和伴随，有或，又，，若和伴随，则或，所以和伴随的充要条件是，即.2．（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________.【答案】3【分析】根据复数的几何意义分析求解即可.【详解】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆，因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1，则的最小值为，而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为，则的最小值为，又因为的最小值与的最小值相同，所以，，解得.故答案为：3.3．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________．【答案】【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.【详解】设，由题意可知，则，又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动，设，则，由图象可知，所以.故答案为：4．（2023·上海·高考真题）已知当，则______；【答案】【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案.【详解】，.故答案为：.5．（2020·上海·高考真题）已知复数为虚数单位，则__________．【答案】【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．【详解】因为，所以．故答案为：．6．（2019·上海·高考真题）设为虚数单位，，则的值为__________【答案】【分析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．【详解】由，得，即本题正确结果：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．7．（2018·上海·高考真题）已知复数满足（是虚数单位），则________【答案】【分析】由复数的除法运算可得，从而可求解.【详解】由题意可得，所以.故答案为：.一、单选题1．（2026·上海黄浦·三模）已知是虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚部为（

）．A．3 B． C． D．【答案】C【详解】由实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数，故，其虚部为.二、填空题2．（2026·上海虹口·三模）已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________．【答案】16π【详解】由知，点的轨迹为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆，又，，所以点到点的距离小于或等于.所以随着的运动，动点所形成的平面图形为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的外部与以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的内部形成的圆环，所以其面积为.3．（2026·上海·三模）已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________．【答案】【详解】由方程的一个根为，可得方程的另一个根为，根据根与系数的关系，可得.4．（2026·上海·三模）若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______．【答案】【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和，其中，则.所以.5．（2026·上海·三模）已知，若，则的最小值为___________【答案】【详解】由，则，所以时，取得最小值.6．（2026·上海·三模）已知复数（i为虚数单位），则______．【答案】【详解】由题意可得.7．（2026·上海·三模）已知复数满足，其中为虚数单位，则_____．【答案】【分析】利用复数的除法法则化简复数，结合共轭复数定义求.【详解】因为，所以，故.8．（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________.【答案】【分析】设，由题意易得，，表示出即可求出答案.【详解】设则，化简得：，，又所以所以所以的最小值为.9．（2026·上海徐汇·二模）已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________.【答案】【分析】先对已知条件进行化简，得出的值，再根据确定集合中元素的轨迹，最后分析且时的取值范围.【详解】，.设，则，即，，.已知，根据复数模的几何意义，表示复数所对应的点到复数所对应的点的距离，集合中的元素对应的点的轨迹是以为圆心，半径分别在范围内的圆环上的点.题干要求对都满足，因此是两个圆环的交集：两个圆环分别以为圆心，内半径，外半径，建立如图所示的坐标系：是非空闭区域，当都在处时，最小距离可取到，中最远的两点距离是两个外圆的交点距离，因为两个外圆半径都是，圆心距，由勾股定理可得两交点距离为：因此∣的取值范围是10．（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______.【答案】【分析】先根据复数的除法运算化简，再应用共轭复数定义求解.【详解】复数z满足，则+3i，则，则.11．（2026·上海静安·二模）设i是虚数单位，计算：______．【答案】【分析】根据复数的除法及复数的乘方求解即可.【详解】，所以.12．（2026·上海杨浦·二模）设集合，，若，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】由知到与距离相等，其轨迹是这两点的垂直平分线,表示的轨迹是一个单位圆，两者有交点，等价于原点到直线的距离不大于，通过计算可得实数的取值范围.【详解】集合，由，即到与距离相等，即的轨迹为与两点连线的垂直平分线，设，所以，所以，化简得，若，等式化为，任何都满足，此时为整个复平面，满足；若，则，即的轨迹为直线，表示的为圆：，即直线与圆有交点，所以，解得，所以实数的取值范围是.13．（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______.【答案】【详解】设，则，由可得，则，故.14．（2026·上海奉贤·二模）已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________．【答案】【详解】，，，设，则，当，，即，时，，此时取最大值，当，，即，时，，此时取最小值，．15．（2026·上海金山·二模）已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数__________．【答案】【详解】由复数为纯虚数，则，解得.16．（2026·上海崇明·二模）若复数满足（为虚数单位），则_____.【答案】【分析】利用复数的乘法运算化简求值．【详解】因为，所以，所以；故答案为：17．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______．【答案】【分析】设，根据复数的几何意义分析可得，，联立方程运算求解即可.【详解】设，，，，因为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆，可得；且，则，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，则，，，可得，联立方程，解得，且，则，可得，，所以.18．（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________．【答案】/【分析】设，代入中化简，由是实数，得或，利用复数模的几何意义求的最小值【详解】设，则，因为是实数，所以，所以或，当时，的轨迹是轴（除原点外），此时的几何意义表示轴上的点（除原点）和的距离，此时，当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图，根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，由图可知，的最小值为.因为，所以的最小值为.19．（2026·上海·三模）已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____.【答案】【分析】分一元二次方程的判别式大于等于0与小于0，两种情况讨论，利用实系数一元二次方程的虚根成对的性质，计算可求得的最小值.【详解】若一元二次方程的判别式大于等于0，则方程有两个实数根，即为实数，由，则，此时，若一元二次方程的判别式小于0，则为两虚数根，设、又因为，所以，所以，所以当时，.综上所述：的最小值为.故答案为：.20．（2026·上海黄浦·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数___________．【答案】【分析】由已知得出，结合复数的除法化简可得复数.【详解】因为，所以.故答案为：.21．（2026·上海·三模）设复数（是虚数单位），若复数满足，则的最小值是_____【答案】2【分析】依题意可知，复数对应的点的轨迹是以为焦点，实半轴，半焦距的双曲线的右支（如图），然后根据双曲线的性质可得结果.【详解】因为，，所以复数在复平面内对应的点，之间的距离为.因为，故对应的点的轨迹是以为焦点，实半轴，半焦距的双曲线的右支（如图）.而，其对应点是的中点.所以的最小值即为双曲线右支到双曲线中心的最小距离，故的最小值是.故答案为：.三、解答题22．（2026·上海嘉定·二模）在