2027届上海市十年高考数学专题分类训练 专题11 直线和圆的方程（10年汇编）（解析版）

专题11直线和圆的方程10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点01直线与方程2017-2026年连续考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2026、2024、2022、2021、2018、2017年均有高考真题，2025年考查单选压轴题，2017年考查填空压轴题基础题核心考查点到直线的距离公式、直线倾斜角与斜率、直线夹角、直线重合条件，难度较低，为必拿分考点；核心变化为2025年起结合三角形面积最值、动点轨迹、新定义几何场景综合考查，2017年首次以本考点为核心命制新定义填空压轴题，对数形结合与分类讨论能力要求大幅提升考点02圆与方程2017-2026年高频考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2022、2025、2024、2023、2020年均有高考真题，2025年考查3问椭圆综合解答题，2022年考查单选压轴题，2020年考查填空压轴题基础题考查圆的标准方程与一般方程转化、半径求解、圆的周长面积计算，难度较低；核心变化极为显著：近年大量结合平面向量、椭圆方程、动点轨迹、距离最值、圆与圆位置关系综合考查，2025年首次结合椭圆命制3问压轴解答题，2022年创新考查新定义点集与直线的位置关系，从基础计算转向多知识点融合的综合推理，对逻辑推理与综合计算能力要求大幅提高考点01直线与方程1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（

）A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值【答案】A【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解.【详解】设曲线上一点为，则，则，，方程为：，即，根据点到直线的距离公式，到的距离为：，设，由于，显然关于单调递减，，无最小值，即中，边上的高有最大值，无最小值，又一定，故面积有最大值，无最小值.故选：A2．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________.【答案】/0.6【分析】根据点到直线的距离公式求解即可.【详解】根据点到直线的距离公式可得.故答案为：.3．（2024·上海·高考真题）直线的倾斜角为______．【答案】【分析】由直线方程求斜率，根据斜率与倾斜角关系求倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，，将直线转化为斜截式，可知直线的斜率为，所以，所以，所以直线的倾斜角为．故答案为：.4．（2022·上海·高考真题）已知方程组有无穷解，则的值为________【答案】4【分析】依题意可得直线与直线重合，即可得到方程组，解得即可；【详解】解：因为方程组有无穷解，所以直线与直线重合，所以且，解得；故答案为：5．（2021·上海·高考真题）求直线与直线的夹角为________.【答案】【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，故直线与直线的夹角为，故答案为：．6．（2018·上海·高考真题）已知常数、、、满足：，，，则的最大值为______【答案】/【分析】设点，，可得，，根据向量的数量积可得三角形OAB为等边三角形，的几何意义为点A，B两点到直线的距离之和，设，则，进而根据点到直线的距离公式以及正弦函数的性质求解即可.【详解】设点，，，，由，，，可得A，B两点在圆上，且，即有，即三角形OAB为等边三角形，，所求的的几何意义即A、B两点到直线的距离之和，故设，则，所以，其中，所以最大值为，当且仅当时，可取最大值.故答案为：7．（2017·上海·高考真题）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一侧的“”的点到的距离之和.若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为________

【答案】、、【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示；

则记为“▲”的四个点是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；设四边形重心为M（x，y），则，由此求得M（3，2），即为平行四边形EFGH的对角线交于点，则符合条件的直线一定经过点，且过点的直线有无数条；由过点和的直线有且仅有1条，过点和的直线有且仅有1条，过点和的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是、、．故答案为：、、．较为容易，主要考查考生的基本运算能力.考点02圆与方程1．（2022·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论：①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧；②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上.则下列判断正确的是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】B【分析】对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑.【详解】对于①，取直线,则对于任意的，有，故圆均在直线的下方，而对任意的，有，故圆均在直线的上方，而当时，表示原点，它在直线的下方，故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧.所以①成立.对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立.故选：B2．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________．【答案】【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果.【详解】根据题意不妨设，，，，则，由可得，由可得；设，故在以为圆心，为半径的圆上；在以为圆心，1为半径的圆上；过作于，则即为在上的数量投影，如下所示：因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长，设，即，故，因为此时为定长，且，故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示：在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故；在△中，，，故，因为,故在直角三角形中，，则，即；在四边形中，因为，故，当且仅当时等号成立，从而.综上所述：在方向上的数量投影的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的处理策略，从而求解最大值.3．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到）

【答案】【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可.【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，

不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为，化简得，所以圆心为，半径为，且经过点即，化简得，解得，结合题意可得，故圆的周长为.故答案为：4．（2023·上海·高考真题）已知圆的方程为，其面积为，则______.【答案】【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到圆的半径，利用圆的面积即可求得结果.【详解】由得，圆的半径为，由圆的面积为得，，解得.故答案为：.5．（2023·上海·高考真题）已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为____________【答案】【分析】先求得圆的标准方程，从而求得圆的半径.【详解】圆即，所以圆的半径为.故答案为：6．（2020·上海·高考真题）已知是平面内两两不同的向量，满足，且(其中)，则的最大值为______【答案】6【分析】不妨设，，，根据可得的四个不同的轨迹（圆），因此的最大值即为四个不同的圆的任意两者交点的总数.【详解】根据条件不妨设，，，，当，表示圆心为原点，半径为1的圆，，表示圆心为原点，半径为2的圆，如图这两个圆用红色线表示，当，表示圆心为，半径为1的圆，，表示圆心为，半径为1的圆，如图这两个圆用蓝色线表示，由条件可知点既要在红色曲线上，又要在蓝色曲线上，由图象可知，共有6个交点，即是最大值是6.故答案为：6【点睛】本题考查向量背景下圆与圆的位置关系，解题的关键是建系后把向量的模的存在性问题转化为圆与圆的交点问题，本题属于难题.7．（2025·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，．(1)求所在椭圆的离心率；(2)若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标；(3)是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，.【分析】（1）根据椭圆方程直接求离心率；（2）问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切，且切线与有交点，设切线方程，利用与圆相切关系求参数，进而确定P的坐标；（3）设，，联立椭圆方程，结合韦达定理、判别式得，注意讨论、，确定中点为，再结合、求参数范围.【详解】（1）由，则，即离心率为；（2）由题设，问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切，且切线与有交点，显然切线斜率存在，令切线为，所以，可得，则或，当，则切线为，联立，可得，则或，故此时，满足；当，则切线为，联立，可得，则或，故此时，不满足；综上，.（3）由题设，直线的斜率存在，可设，，联立，整理得，其中，即，所以，，则，，所以且，故，当时，则且，则，此时，满足；当，而的中点为，又，则，即，且，，所以，则，所以，则，故所以，则.综上，.【点睛】关键点点睛：第三问，设，，根据已知得到，且、的应用为关键一、单选题1．（2026·上海普陀·二模）在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题：①若点、，则的值不可能等于；②若，则的取值范围为.则下列结论中正确的是（

）A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假【答案】C【分析】先根据方程可得曲线是由半个圆和半个椭圆组成的一条曲线，再对条件①判断，根据椭圆的定义及计算圆的一点到两个定点的距离和范围可得命题的真假；对条件②根据两点的位置关系分四种情况分别讨论可得所求式子的范围，进而可得结果.【详解】因为方程等价于：或.若，则，表示圆心在原点，半径为的左半个圆；若，则，表示长半轴为，短半轴为的右半个椭圆；如图：对于①，若点在右半个椭圆上，点、是椭圆的焦点，根据椭圆的定义：，所以在右半个椭圆上不存在点满足；若点在左半个圆上，点、是圆的一条直径的两个端点，设，则所以，因为，所以，，，即，而，所以存在点满足；所以命题①为假命题.对于②，若点在左半个圆上，；若点在右半个椭圆上，则，因为，所以，即.下面对的位置分四种情况讨论：（i）若都在左半个圆上时，，所以；（ii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，，所以，即；（iii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，，所以，即；（iv）若都在右半个椭圆上时，设，且，因为，所以，即，.所以，，所以，又因为，两边平方得，，化简整理得，所以.综上所述，的取值范围为，故②正确；二、填空题2．（2026·上海黄浦·二模）如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______．【答案】平方米【分析】过点作，垂足为，则.记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为.以为坐标原点直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线的方程为，根据点到直线的距离公式，将的面积表示为的函数，利用导数分析其单调性，并求得最大值.【详解】由题意知，，，，，所以.过点作，垂足为，则.记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为.如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则.易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则，，所以.的最大面积为.由圆的对称性，不妨令.设，则，令，则恒成立，所以在上单调递减.令，得，即，化简得.因为，所以，所以.所以当时，，；当时，，.所以在上单调递增，在上单调递减.所以在处取得极大值，即最大值，最大值为.所以的最大面积为平方米.3．（2026·上海黄浦·二模）若直线与垂直，则a的值为______．【答案】3【详解】若直线与垂直，则，解得.4．（2026·上海静安·二模）如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______．【答案】【分析】建立平面直角坐标系，求出直线、的方程，联立求解得到点坐标，根据两点间的距离公式即可求出.【详解】因为，，所以.以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，，即.因为为边的中点，所以.因为，所以.直线：，即.直线：，即.联立，解得，即.故.5．（2026·上海闵行·二模）在中，，点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为______.【答案】【详解】由题可知以为焦点，则，又点在双曲线上，由双曲线的定义可得：，由双曲线的关系：可得，设在轴上，则双曲线的渐近线方程为，由可得两条渐近线的倾斜角为和，根据直线夹角的定义可得两条渐近线的夹角为.6．（2026·上海奉贤·二模）若直线与直线平行，则实数a的值为________．【答案】【详解】已知直线与直线平行，两直线斜率相等，即，解得，直线的截距为1，直线的截距为0，不相等，．7．（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______．【答案】【分析】将向量最值问题转化为动点在抛物线和圆上的轨迹问题后，结合“阿波罗尼斯圆”的性质构造新定点配平系数，最终化归为求抛物线上动点到该定点的最短距离.【详解】不妨设，因为，则有，整理得，即向量的终点的轨迹是以原点为顶点，焦点为的抛物线，设，由得，整理得，即向量的终点的轨迹是以为圆心，半径的圆，，其中表示到的距离，由阿波罗尼斯圆的定义有：平面内到两个定点的距离之比为常数，且定点与圆心三点必共线，所以必在轴上，设使，点满足，即，，，则有，解得，则，易得三点共线时取最小值，问题转化为抛物线上的动点到定点的最短距离，，当时取最小值，即，即，即的最小值为.

8．（2026·上海·三模）已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______．【答案】7【分析】当与位于同一半圆时，可知当三点共线时取得最小值，当位于时，取得最大值；当与分别在两个半平面中时，作出二面角的平面角及在平面上的投影点，设，利用勾股定理和三角恒等变换知识，结合三角函数值域求法可求得所处的范围；综合两种情况可得结果.【详解】由圆的方程知，圆的半径为，当与位于同一半圆时，作出该半圆所在的平面图，如下图所示，，当且仅当三点共线时取等号，当位于图中处时，取得最小值；又当位于图中处时，取得最大值；当与分别在两个半平面中时，作平面，垂足为，作轴，垂足为，连接，则三点共线，设为延长线上的点，则即为翻折后的二面角的平面角，，，，，，；为圆右半圆上的点，可设，，，，其中，，，当，即时，，则；又，，即；可得两点间的距离的取值范围为.综上所述，两点间距离的最大值是.9．（2026·上海·二模）在以O为原点的空间直角坐标系中，设，，A和B是两个点集，设，对任意的，总存在，使得．若，且，则的取值范围是________．【答案】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合直线与圆的位置关系进行求解即可.【详解】设，因为，所以，且，即，且，显然，设，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，代入中，得，，因此直线与圆有两个不同的交点，因为，所以直线的斜率的取值范围为，如下图所示：由直线与圆的交点坐标为，又因为直线、直线斜率互为相反数，且过同一点，与圆都是关于纵轴对称，所以当时，因为，所以的取值范围是.10．（2026·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为__________．【答案】【分析】先由直线的法向量推导直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围，根据斜率与倾斜角的对应关系求解倾斜角.【详解】已知是直线的一个法向量，可设直线的一般式方程为（为常数），将其化为斜截式即，因此直线的斜率，设直线的倾斜角为，其中，由斜率的定义可得，因为，故，因此.11．（2026·上海宝山·三模）直线与直线夹角的大小为________.【答案】/60°【详解】由得到，斜率为，倾斜角为，又，即，与轴平行，所以直线与直线夹角的大小为.12．（2026·上海·三模）设抛物线上的一点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为__________．【答案】

/【分析】利用抛物线定义将转化为点到焦点的距离，进而将的最小值转化为焦点到直线的距离求解.【详解】对于抛物线，可得，即，因此焦点为，由抛物线的定义可知，故，其中为点到直线的距离，由几何性质可知，的最小值为焦点到直线的距离，当且仅当位于向直线所作的垂线段上时取等号，根据点到直线的距离公式，焦点到直线的距离为：因此的最小值为三、解答题13．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点．(1)求的右顶点到一条渐近线的距离；(2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标；(3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根据双曲线的性质及点到直线的距离公式求解即可.（2）根据两点间的距离公式，与双曲线方程联立求解即可.（3）设出直线：，，，与双曲线方程联立得到，结合题意得到，即且，求出，，结合向量数量积的坐标运算及函数值域的求解方法求解即可.【详解】（1）双曲线：，其中，，右顶点.渐近线方程为：，取，所以右顶点到一条渐近线的距离为.（2）设，则，即因为、、为一个等腰三角形的三个顶点，所以或或.若，则，即，整理得，解得或（舍去）.若，点应在中垂线上，此时无实根.若，，即，整理得，解得或（舍去）.综上，或，即点的横坐标为或.（3）由题意易知，直线的斜率存在，设方程为.联立，整理得，则，所以且.设，，则，.所以，则.当时，所以，，故；当时，所以，，故.综上，实数的取值范围为.14．（2026·上海金山·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点．(1)若，求点的坐标；(2)若直线与抛物线只有一个交点，求直