2027届上海市十年高考数学专题分类训练 专题16 统计、概率、随机变量及其分布（10年汇编）（解析版）

专题16统计、概率、随机变量及其分布10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点01统计2023、2024、2025、2026上海高考均有考查；题型覆盖单选、填空、解答大题；2026新增分层抽样多问综合题；2024重点考查卡方独立性检验、分层抽样、均值方差综合计算；2023侧重统计图、中位数平均数基础计算；1.基础小题：条形/散点图判相关性、中位数、平均数、频率直方图组数计算、分层抽样比例，难度基础；2.解答大题固定考两类：①线性回归（求回归方程、样本中心点、预测求值）；②2×2列联表独立性检验（卡方计算，判断是否有95%把握相关）；考点02概率2017-2026每年必考；单选：独立/互斥事件辨析、对立事件判定；填空：古典概型计数概率、条件概率；解答：表格型综合概率、分布列结合期望综合；2026考查互斥事件概率、对立事件定义；2024考互斥与独立辨析；2023表格多问概率；2022、2018、2017均为组合计数古典概型填空。1.概念辨析为单选核心：区分互斥、对立、相互独立，常结合实物模型（礼盒、砝码、函数图像）出题；2.古典概型必考：利用排列组合算总基本事件与符合条件事件，化简分数；3.综合大题：结合二维表格，先判断事件独立，再求概率、写分布列、算数学期望；4.互斥事件加法公式、独立事件乘法公式是计算核心工具。考点03随机变量及其分布2024、2025、2026高考稳定考查；单选：相关系数正负、独立事件概率；填空：二项分布期望方差、正态分布对称性、超几何分布、条件概率；解答：超几何/二项分布分布列、期望计算、正态分布区间概率估算、递推型概率数列；2026考分布列期望、全概率；2025独立事件概率；2024全概率公式、相关系数。1.三大分布高频：①超几何分布：不放回抽样，求X分布列、期望；②二项分布：有放回/独立重复试验，直接套用E(X)=np,D(X)=np(1−p)；③正态分布：利用对称轴对称性、P(μ−σ<X<μ+σ)等给定区间概率求值；考点01统计1．（2023·上海·高考真题）如图为2018-2021年中国货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（

）A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大B．从2018年开始，进出口总额逐年增大C．从2018年开始，进口总额逐年增大D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小【答案】C【分析】根据已知条形统计图分别判断各个选项即可.【详解】2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A正确；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B正确；2020年相对于2019年的进口总额是减少的，故C错误；显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确.故选：C.2．（2023·上海·高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（

）A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关【答案】C【分析】根据给定的散点图的特征，直接判断作答.【详解】由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项AB不正确；由散点图知，身高和体重有明显的相关性，且身高增加时，体重也呈现增加的趋势，所以身高与体重呈正相关，C正确，D错误.故选：C3．（2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为______；【答案】946【分析】设第二季度、第三季度分别为，利用平均数和中位数概念列出方程，解出即可.【详解】GDP稳步增长说明四个季度已经从小到大排列，设第二季度、第三季度分别为，所以中位数即为.因为中位数与平均数相等，所以,所以2020年GDP总额：.故答案为：946.4．（2023·上海·高考真题）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为_______________．【答案】【分析】求得各组的范围，从而确定组数.【详解】第一组；第二组；第三组；第四组；第五组；第六组；第七组.所以组数为.故答案为：5．（2020·上海·高考真题）已知a、b、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=________【答案】36【分析】根据中位数定义，和平均数公式，建立关系，求解即可.【详解】设，1、2、a、b的中位数为3，则，解得：，，解得：，所以.故答案为：36【点睛】本题考查中位数和平均数的应用，属于基础题.6．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：年龄剪纸摄影画画人数8451055650(1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由.【答案】(1)9；(2)；(3)不相互独立，理由见解析.【分析】（1）由题意，计算年龄段占总体比例，据此可得答案.（2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案；（3）验证，是否等于可得答案.【详解】（1）年龄段占总体比例为：，则抽取人数为：；（2）由题可得人的平均年龄为：；（3）由题可得，，，注意到，则事件A与事件B不相互独立.7．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93(1)求这组数据的极差与中位数；(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．【答案】(1)；；(2)(3)【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数；（2）由古典概型概率公式可得；（3）先求成绩平均数，再由在回归直线上，代入方程可得，再代入年份预测可得.【详解】（1）由题意，数据的最大值为，最小值为，则极差为；数据中间两数为与，则中位数为.故极差为，中位数为；（2）由题意，数据共个，以上数据共有个，故设事件“恰有个数据在以上”，则，故恰有个数据在以上的概率为；（3）由题意，成绩的平均数，由直线过，则，故回归直线方程为.当时,.故预测年冠军队的成绩为秒.8．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）【答案】(1)(2)(3)有【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.（3）由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．9．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．【答案】(1)(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱(3)方差克，平均数克，预估平均质量为克【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案；（2）利用分层抽样的定义进行求解；（3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量.【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数，A事件的样本点的公式，所以；（2）因为一级果箱数：二级果箱数，所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱；（3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为，总体样本平均质量为，方差为，因为，，，，所以克，克．预估平均质量为克．考点02概率1．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据事件的独立性及对立定义求解.【详解】根据已知至少有一个发生，则对立事件为都不发生，所以的对立事件为.2．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可.【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，共有种情况，要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，若保留两条边，则可保留也可擦去，共有种情况；若保留两条边，则可保留也可擦去，共有种情况（其中有一种情况与上面重复），则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况，所以可以到达C点的概率为.故选：B.3．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（

）A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立【答案】B【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可．【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误；选项B，，，，，B正确；选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；选项D，，，，，与不独立，故D错误．故选：B．4．（2026·上海·高考真题）已知事件，互斥，，，则__________．【答案】/【详解】因为互斥，所以.5．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；【答案】【分析】由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果．【详解】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，而所有的抽取方法共有种，故每一类都被抽到的概率为＝＝，故答案为：．6．（2018·上海·高考真题）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示）【答案】【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】总的情况为种，符合题意的有5、2、2和5、3、1两种情况，∴概率为,故答案为：7．（2017·上海·高考真题）已知四个函数：①；②；③；④.从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________【答案】【详解】由四个函数①；②；③；④，从中任选个函数，共有种，其中“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”共有①③、①④，共有种，所以“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.8．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观米色内饰812棕色内饰23(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立；(2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设：假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。【答案】(1)，事件相互独立；(2)分布列见解析，271元.【分析】（1）根据给定数表，利用古典概率求出，再利用相互独立事件的定义判断作答.（2）求出三种结果的概率，按给定的假设2，3确定奖金额与对应的概率列出分布列，求出期望作答.【详解】（1）由给定的数表知，，，，而，因此事件相互独立，所以，事件相互独立.（2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色，依题意，；；，则，因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖，奖金额的可能值为：，奖金额的分布列：600300150奖金额的期望（元）.考点03随机变量及其分布1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】根据独立事件的概率公式可求.【详解】因为相互独立，故，故选：B.2．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（

）A．气候温度高，海水表层温度就高B．气候温度高，海水表层温度就低C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.3．（2026·上海·高考真题）已知随机变量的分布为，且，则__________．【答案】/【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解.【详解】因为随机变量的分布为，且，所以，且，解得.4．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．一、单选题1．（2026·上海·三模）下列结论中正确的是（

）A．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9B．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个C．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为22D．若随机变量服从正态分布，且，则【答案】D【分析】对于选项A：先按分位数计算规则确定位置，再根据位置对应的数据判断是否正确，对于选项B：因为多选题正确答案至少为1个，所以计算4个选项的非空子集个数，判断是否符合结论，对于选项C：先求时的预测值，结合残差公式计算后判断结果是否正确，对于选项D：由条件结合正态分布曲线的对称性计算即可判断.【详解】对于选项A，由条件可知该组数据包含个数据，第三四分位数即分位数，又，因此第三四分位数为，A错误；对于选项B，多选题正确答案为1个或多个，4个选项中每个选项有选/不选两种可能，总情况为种，减去「都不选」的无效情况，共种可能的正确答案，B错误；对于选项C，残差定义为：实际值减预测值，将代入回归方程可得时的预测值，故残差为y-y=-4-(-1.8)=-2.2对于选项D，正态分布的密度曲线的对称轴为，因为，所以，由对称性得，又因为该正态分布的对称轴为，所以，所以，D正确.2．（2026·上海嘉定·二模）生物学家在研究动物体重W（单位：g）与脉搏率f（单位：次）的关系时，获得了右表的数据，令，，并拟合线性回归方程．根据已知数据，下列说法正确的是（

）动物名体重脉搏率f/（次）鼠25670豚鼠300300兔2000205小狗5000120大狗3000085羊5000070马45000038A．变量x与y成正相关，且 B．变量x与y成负相关，且C．变量x与y成正相关，且 D．变量x与y成负相关，且【答案】D【分析】由表格数据变化情况可得与负相关，然后由可判断的符号.【详解】由表格数据可得随着动物体重增加，脉搏率逐渐减小，即随着增加，逐渐减小.又函数在上单调递增，则随着增加，逐渐减小，从而与负相关，.注意到，又由题可得，结合，可得.3．（2026·上海闵行·二模）以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【详解】对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误；对于B：两个变量不具有线性相关性，故B错误；对于C：两个变量之间的关系为负相关关系；故C错误；对于D：两个变量之间的关系为正相关关系，且散点图中的点分布在一条直线附近，线性相关程度较高；故D正确.4．（2026·上海金山·二模）为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（

）A．该校所有学生 B．该校所有学生的每天平均体育运动时间C．所调查的100名学生 D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间【答案】B【详解】根据总体的概念可得，这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.故选项B正确.5．（2026·上海普陀·二模）某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为，则的期望为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】交换后甲部门红人数的变化取决于从甲选出的员工和从乙选出的员工颜色，分四种情况：甲出红、乙出红；甲出红、乙出蓝；甲出蓝、乙出红；甲出蓝、乙出蓝，由此得分布列，随即可计算期望.【详解】初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，由已知的可能取值为，，.，，，所以.6．（2026·上海杨浦·二模）事件、相互独立，若，，则A与同时发生的概率为（

）.A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根据独立事件和对立事件概率公式求解即可.【详解】事件、相互独立，则事件、也相互独立.事件发生的概率为.则A与同时发生的概率为.7．（2026·上海金山·二模）已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析基本事件空间所含基本事件的个数，事件及所含基本事件个数，再由和事件的概率公式求解.【详解】因为全集是一个六元集合，所以任取的两个子集、，能形成对集合，即基本事件总数为.中任一元素，满足事件，有以下三种情况，且；所以所含基本事件个数;中任一元素满足事件，有以下三种情况，且；所以所含基本事件个数为，事件表示且同时成立，所以，此时可以是的任意子集，有个，即事件所含基本事件有个，所以.二、填空题8．（2026·上海·三模）设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________．5044664421660658056261656435024235489632145241524822662215862663754199584236722458375218510337183911【答案】43【详解】从该随机数表第1行的第6个数字6开始，由左到右依次选取两个数字，读取的数字对依次为：64(大于59，舍去)，42(选取，第1个)，16(选取，第2个)，60(大于59，舍去)，65(大于59，舍去)，80(大于59，舍去)，56(选取，第3个)，26(选取，第4个)，16(重复，舍去)，56(重复，舍去)，43（选取，第5个），故选出来的第5个个体的编号为43．9．（2026·上海·三模）已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______．【答案】1【分析】根据题意，得到，结合和二次函数的性质，即可求解.【详解】因为，可得是一个图象开口向上的关于k的二次函数，所以函数在其图象的对称轴处取得最小值，即，所以．10．（2026·上海徐汇·二模）已知实数满足，则的方差的最大值为__________.【答案】【详解】设分别对应，（）.则，所以的方差为：，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且.所以当或时，该组数据的方差相等，且取得最大值，为.所以该组数据方差的最大值为：.11．（2026·上海普陀·二模）某大型管线网的局部呈网格结构，如图建立平面直角坐标系，一小型机器人沿管线移动执行巡检任务，在某次巡检的路径中经过了点：、、、、、、，若该机器人经过的点的纵坐标关于横坐标的一元线性回归方程是，则的值为______.【答案】【分析】求出样本的中心点，根据一元线性回归方程必经过中心点即可求解.【详解】根据题意，机器人经过的个点的横坐标分别为，其平均值为，个点的纵坐标分别为，其平均值为，又因为这些点的一元线性回归方程是，必过点，代入得，即的值为.12．（2026·上海普陀·二模）根据中国汽车工业协会发布的数据，年月至年月，我国新能源汽车月度销量（单位：万辆）为：，则这个月新能源汽车销量的中位数为______万辆.【答案】【分析】先将数据从小到大排列，再根据中位数的定义可得.【详解】将年月至年月，我国新能源汽车月度销量按从小到大排列：数据个数为，所以中位数是第个数，即万辆.13．（2026·上海·三模）某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合x与y的关系，设，x与z的数据如表格所示：x3467z22.54.57得到x与z的线性回归方程，则___________.【答案】/【分析】根据已知条件，求得，进而代入回归方程可求得，从而得出，联立，即可求得本题答案.【详解】由已知可得，，，所以，有，解得，所以，，由，得，所以，，则.故答案为：14．（2026·上海黄浦·三模）某班共有30名学生，则其中至少有2名学生在同一天出生的概率为________．（默认每年天数均为365天，结果精确到0.001）【答案】0.706【分析】先计算全班所有学生生日互不相同的概率，再用对立事件概率关系计算即可.【详解】设全班30名学生生日全部互不相同为事件A，所以，所以全班30名学生中至少有2名学生在同一天出生的概率为15．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________．【答案】【分析】先计算所有满足每个家庭至少1人的总分配方法数，再计算甲恰好被安排在A家庭的分配方法数，二者的比值即为所求概率.【详解】先从5人中任选2人组成1组，剩余3人各自成组，再将4组全排列分配到4个家庭，总方法数为种.志愿者甲恰好被安排在A家庭有两种情况：①A家庭仅分配甲1人：剩余4人分配到另外3个家庭，每个家庭至少1人，先从4人中任选2人组成1组，剩余2人各自成组，再将3组全排列分配到3个家庭，方法数为种；②A家庭分配甲和另外1名志愿者：先从其余4人中选1人与甲共同分配到A家庭，剩余3人全排列分配到另外3个家庭，方法数为种.因此甲恰好被安排在A家庭的总方法数为种.故所求概率为.16．（2026·上海虹口·三模）甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________．【答案】【分析】用排列数公式计算总情况数，根据甲乙分别在两端计算甲和乙不相邻的情况数，再由古典概型概率公式求解概率.【详解】3人全排列，总的基本事件数为种，若3人排成一排，甲乙不相邻，则甲乙分别在两端，第三个人在中间，甲乙可交换顺序，共种符合条件的排列，所以甲和乙不相邻的概率为：.17．（2026·上海徐汇·二模）设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________.【答案】【分析】根据给定的条件，利用对立事件的概率公式，以及全概率公式，列出方程，即可求解.【详解】由，可得，且，则，可得，即，可得.18．（2026·上海闵行·二模）已知事件发生的概率，事件发生的概率，若事件与独立，则______．【答案】【详解】因为事件与独立，事件发生的概率，事件发生的概率，．19．（2026·上海奉贤·二模）从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________．【答案】/【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式计算可得.【详解】依题意可得，，所以.20．（2026·上海黄浦·三模）将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为______.【答案】【分析】利用古典概型概率的计算公式求解即可.【详解】甲分得2张电影券连号的情况有4种，甲分得2张电影券的情况有种，在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为.故答案为：.21．（2026·上海虹口·三模）已知随机变量服从分布，则_____________．【答案】10【详解】由题意知，所以.所以.所以.22．（2026·上海黄浦·三模）已知随机变量服从正态分布，则________．【答案】/【详解】因为，所以正态密度曲线关于直线对称，得到.23．（2026·上海静安·二模）某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为．根据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为．规定：活塞销的直径在到之间为合格品．随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是______．（结果保留三位小数）参考数据：若随机变量，则，，．【答案】0.954【详解】依题意，活塞销的直径，，因此，所以随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是0.95424．（2026·上海金山·二模）已知随机变量的分布为，则期望__________．【答案】2【详解】由，解得，所以.25．（2026·上海崇明·二模）从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为______.【答案】/0.25【分析】计算出，利用条件概率公式进行求解.【详解】，，故.故答案为：26．（2026·上海·二模）已知离散型随机变量服从二项分布，则____________.【答案】【分析】利用二项分布的方差公式直接计算.【详解】因为随机变量X服从二项分布，所以.故答案为：.27．（2026·上海·三模）随机变量X服从二项分布，且，，则p的值为___________.【答案】/0.25【分析】根据题意得到，再解方程组即可.【详解】由题知：.故答案为：三、解答题28．（2026·上海静安·二模）下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表．年份20212022202320242025年份代码x12345年销售量у（万台）23.52.589(1)用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数）(2)为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表．知晓不知晓合计A地区8020100B地区4060100合计12080200试根据表中数据判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平）附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式；0.050.010.001k3.8416.63510.828【答案】(1)(2)在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为A、B两地区的人群对该品牌净化的知晓情况有显著差异【分析】（1）计算出样本中心以及回归系数和，即可求解；（2）利用列联表中的数据，代入公式计算观测值，并与临界值3.841进行比较，从而判断两个分类变量是否有关.【详解】（1）由表可知，样本中心为：..则.所以，净化器的年销售量关于年份代码的线性回归方程为：.（2）根据列联表中的数据，计算的观测值：.因为，所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况有显著差异.29．（2026·上海·二模）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布.(1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示）参考数据:若，则.(2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值表1第1周第2周第3周第4周第5周手机使用时长2018221614练习得分80887392m(3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效.【答案】(1)(2)100(3)证明：由题意知，所以所以是以为公比的等比数列.所以.因为时，恒成立，所以.所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效.【分析】（1）根据正态分布的性质和概率相关知识计算即可.（2）先求出的平均值，然后代入回归方程即可求出结果.（3）先根据题意列出递推式，然后证明数列是以为公比的等比数列，进而可根据等比数列的通项公式求出，并根据的范围证明结论即可.【详解】（1）由题意知，因为.所以任取1人使用手机超过16小时的概率为，50名同学中有位超过16小时，那么至少2位同学使用手机超过16小时的概率为.（2）由题意得，.代入回归方程有，解得.（3）略30．（2026·上海杨浦·二模）一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩.该班级共40人，将得分由高到低平均分为四组，第一组（均分最高的一组）的数据为.(1)求第一组的得分的均值与中位数；(2)若从第一组中等可能的选取2名学生，求2人得分都在135分以上的概率；(3)兴趣小组考察某客观题的得分情况.将前15名学生作为高分组，后25名学生作为非高分组；前15名学生中13人答对该题，后25名学生中16人答对该题.据此，填写表格，并判断是否有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关?附：，，，.高分组非高分组总计某客观题答对某客观题答错总计【答案】(1)均值为，中位数为；(2)(3)高分组非高分组总计答对131629答错2911总计152540没有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关.【分析】（1）利用平均数和中位数的概念即可求解；（2）利用古典概型及组合数即可求解概率；（3）利用独立性检验规则即可求解.【详解】（1）第一组共10个数据的均值为：，第一组共10个数据按从低到高排序：，中位数为第5、6个数的平均值，即，所以第一组的得分均值为，中位数为；（2）第一组中，得分在135分以上的共有3人，从10人中任选2人：总选法数：,两人都在135分以上的选法数：,所以2人得分都在135分以上的概率为：；（3）根据题意填写列联表：高分组非高分组总计答对131629答错2911总计152540零假设：认为答对该题与进入高分组无关，计算卡方：根据独立性检验规则，可知没有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关.31．（2026·上海闵行·二模）某学校举办“乐动体育”比赛活动，高三年级共有50名学生报名参加“小球类项目”，其中参加乒乓球项目的有28人，参加羽毛球项目的有22人，赛前进行了一道比赛通用规则判断题测试，答对得5分，答错得0分，统计结果加下表：乒乓球项目羽毛球项目答对人数1916答错人数96根据上述数据，回答下列问题：(1)求这50名学生的平均得分；(2)从这50名学生中随机选取2人做裁判.设随机变量表示两名裁判的最高得分，求；(3)是否有的把握认为该题的测试成绩与比赛项目有关？（附：）【答案】(1)(2)(3)没有的把握认为测试成绩与比赛项目有关.【分析】（1）由条件根据平均数定义求结论；（2）确定的可能取值，求取各值的概率，结合期望定义求结论；（3）提出零假设，计算，根据其值与临界值的关系判断结论.【详解】（1）由题意，总答对人数为，总得分为，因此平均得分；（2）学生得分只有分和分，因此最高得分的可能取值为；因此，，所以；（3）列联表如下表：答对答错合计乒乓球19928羽毛球16622合计351550零假设为：该题的测试成绩与比赛项目无关，则，因为，，故接受假设，即认为没有95%的把握认为测试成绩与比赛项目有关.32．（2026·上海金山·二模）绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据：数据123456温度（）4.0716.6929.4245.6757.0673.05压强（）103.095107.734112.461118.469122.706128.758(1)求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01）(2)若该次实验下气体压强关于气体温度的回归方程为，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01）(3)为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率．绝对零度（）275.13274.56274.28273.57272.45271.67【答案】(1)℃,(2)℃(3)【分析】（1）根据平均值、方差的定义计算即可得解；（2）求出，代入回归方程求出，令，即可求解；（3）根据古典概型求解即可.【详解】（1）（），.（2），将，即代入，解得，所以回归方程为，令，解得（），预估该次实验下绝对零度的数值为.（3）因为，，，，，，所以只有，两个数据与绝对零度（）的误差小于1，所以33．（2026·上海黄浦·三模）雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.分组区间人数30751056030支持态度人数2466904218(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数不支持态度人数总计(2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望.参考数据：参考公式：【答案】(1)列联表、答案见解析(2)分布列见解析，【分析】（1）根据表格数据，完成列联表，并计算，并和参考数据，比较后即可判断；（2）根据二项分布求概率，再求分布列和数学期望.【详解】（1）完成列联表如下，年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数60180240不支持态度人数303060总计90210300提出原假设年龄与所持态度无关，确定显著性水平，，，从而否定原假设，故有95%的把握认为年龄与所持态度具有相关性.（2）依题意，服从二项分布，故，,,,,所以分布列如下表，1234所以.34．（2026·上海·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）．(1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）；(2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望：(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001）参考数据：若，则，．【答案】(1)②①③(2)的分布为：期望(3)【分析】（1）利用相关系数绝对值越大相关性越强的性质排序；（2）先确定的所有可能取值，计算对应概率得到分布，再代入期望公式求解；（3）先由正态分布的原则求单个零件直径小于的概率，再结合二项分布概率公式计算所求概率.【详解】（1）由，故按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序为②①③；（2）由题意，个零件中直径大于的有个，不大于的有个，随机抽取个，的可能取值为，，，，，，故的分布为：；（3）由，，故，记个零件中直径小于的个数为，各零件检验独立，故，则.35．（2026·上海黄浦·三模）现有除颜色外都相同的个红球和个白球，随机取个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为．(1)求和；(2)求；(3)当时，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】(1)，；(2)；(3).【分析】（1）根据超几何分布的概率公式计算对应事件的概率；（2）结合条件概率，通过全概率公式求解；（3）先确定的所有可能取值，根据全概率公式计算相应的概率，进而可得分布列，再根据期望公式计算数学期望.【详解】（1）因为表示从个红球和个白球随机取个球的红球个数，所以服从超几何分布，表示抽取的个球全为白球，故.表示抽取的个球有个红球、个白球，故.（2）由题意，的所有可能取值为，由（1）知，，同理得，.当时，袋中全为白球，摸出白球换为红球后，红球的个数为，则，故；当时，袋中红白球，摸到红球换白球后，红球的个数为，则，摸到白球换红球后，红球的个数为，则，故；当时，袋中红白球，摸到红球换白球后，红球的个数为，则，摸到白球换红球后，红球的个数为，则，故；当时，袋中全为红球，摸出红球换为白球后，红球的个数为，则，故；因此，