专题2.4函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三专项训练）（教师版）

专题2.4函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三专项训练）【全国通用】目录第一部分题型专练TOC\o"1-3"\h\u【题型1确定函数的单调性（区间）】 1【题型2根据函数的单调性求参数】 3【题型3求函数的最值】 4【题型4函数单调性的应用：比较大小、解不等式】 6【题型5函数的奇偶性及应用】 9【题型6函数的周期性及应用】 11【题型7函数的对称性】 13【题型8函数性质的综合应用】 14【题型9抽象函数的性质】 17【题型10函数新定义】 20第二部分分层突破A组基础跟踪练B组培优提升练C组真题·实战演练【题型1确定函数的单调性（区间）】1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝8+2x−x2的单调递减区间是（

A．−∞,1 B．1,+∞ 【答案】C【解题思路】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解.【解答过程】由题可知，−x2+2x+8=−(x+2)(x−4)≥0令t=−x2+2x+8因为t=−x2+2x+8在x∈[1,4]上单调递减，而y=所以f(x)在[1,4]上单调递减.故选：C.2．（25-26高一上·广东广州·期中）函数fx=3−xA．−∞,1 B．1,2 C．1,3 【答案】C【解题思路】写出函数的分段形式，结合二次函数的性质确定单调递减区间即可.【解答过程】由题设fx所以f(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在所以单调递减区间为1,3.故选：C.3．（25-26高三上·北京·阶段检测）下列函数中，既是偶函数，又在0,+∞上单调递增的是（

A．fx=x B．fx=e【答案】D【解题思路】先判断各选项的奇偶性，再判断在区间0,+∞【解答过程】选项A：∵fx=x选项B：∵f−x=e选项C：f−x=1−x2∴fx在0,+选项D：∵f−x当x>0时，fx=lnx，根据对数函数性质知故选：D．4．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数fx=x2x−3，若fx在区间I上单调递减，则区间A．−∞,34 B．2,4 C．【答案】D【解题思路】先去绝对值分段，画出fx【解答过程】依题意，fx=x2x−3观察可知fx在−∞,34故选：D.【题型2根据函数的单调性求参数】5．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数fx=3x2−2ax+4在区间2,+A．−∞,2 B．−∞,2 C．【答案】A【解题思路】根据复合函数的单调性，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性即可求解.【解答过程】令u=x因为函数y=3则u=x2−2ax+4函数u=x2−2ax+4所以a≤2，则实数a的取值范围是−∞故选：A.6．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数f(x)=(3a−1)x+4a,x<1x2−ax+6,x≥1在R上是增函数，则实数A．13,1 B．13,2 C．【答案】A【解题思路】利用分段函数为增函数的性质并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可．【解答过程】因为函数f(x)=(3a−1)x+4a,x<1x2所以3a−1>0a2≤13a−1+4a≤1−a+6，a>13a≤2故选：A.7．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）“a>1”是“函数fx=x+aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要【答案】A【解题思路】先根据二次函数的单调性求出a的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】函数fx=x+a由函数fx在0,+∞内单调递增，得−a≤0，解得所以“a>1”是“函数fx=x+a故选：A．8．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若函数fx=2x2−ax+1在区间A．−∞，1 B．−∞，2 C．【答案】C【解题思路】先令t=x2−ax+1，将原函数fx转化为函数y=2【解答过程】令t=x2−ax+1，则原函数fx=因y=2t为R上的增函数，要使函数fx=2x2所以a2≤1，即a≤2，所以a的取值范围故选：C.【题型3求函数的最值】9．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数fx=x21+x，则fxA．最大值为1，最小值为14 B．最大值为94C．最大值为1，最小值为13 D．最大值为94【答案】B【解题思路】令t=x+1∈2,4【解答过程】函数fx令t=x+1∈2,4，则f由对勾函数的性质得，函数gt在2,4故当t=2，即x=1时，fxmin=12，当t=4故选：B．10．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知函数fx=−1xA．0 B．1 C．−1 D．2【答案】A【解题思路】根据分段函数的最值计算求参.【解答过程】因为函数fx=−1x所以当x≥0时，fxfx=x+a在0,+∞故选：A.11．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数fx的定义域为(0,+∞)，若对于任意的x,y∈(0,+∞)，都有fx+fy=fxyA．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解题思路】根据给定条件，利用函数单调性定义确定在(0,+∞【解答过程】任取x1,x由当x>1时，都有f(x)>2，得f(x任意的x,y∈(0,+∞)，都有即f(xy)=f(x)+f(y)−2，则f(x因此函数f(x)在(0,+∞故x∈1,27时，=3+f(3×3)−2=1+f(3)+f(3)−2=3+3−1=5.故选：B.12．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）已知fx是R上的奇函数，且fx=f2−x，若fx在0,1上单调递增，且f1=2A．−1 B．−2 C．−3 D．4【答案】B【解题思路】分析可知，函数fx是周期为4的周期函数，且该函数的图象关于直线x=1对称，只需求该函数在−1,1【解答过程】因为fx是R上的奇函数，且fx=f所以fx+2=−fx故函数fx是周期为4又因为fx=f2−x，所以函数f要求函数fx在R上的最小值，只需求该函数在区间−1,3由对称性，只需求该函数在区间−1,1上的最小值，因为函数fx是奇函数且在0,1上单调递增，则该函数在−1,0故函数fx在−1,1上单调递增，故f故选：B.【题型4函数单调性的应用：比较大小、解不等式】13．（2026·山东日照·一模）定义在R上的函数y=fx满足以下条件：①f−x−fx=0；②对任意x1,x2∈A．fπ>f−3C．fπ<f−3【答案】A【解题思路】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可．【解答过程】因为定义在R上的函数y=fx满足条件f即f−x=fx对任意x1,x2∈所以不妨设x1>x因此x∈0,+∞时，函数因为函数fx所以f−因为x∈0,+∞时，函数所以fπ>f3故选：A.14．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在1−3m,4m−2上的偶函数fx，且当x∈0,3m−1时，fx单调递增，则关于xA．43,2 B．78,54【答案】A【解题思路】先利用偶函数性质可得m=1，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可.【解答过程】由题意，函数fx是定义在1−3m,4m−2上的偶函数，所以1−3m+4m−2=0解得m=1，即函数fx的定义域为−2,2当x∈0,2时，fx单调递增，所以当x∈−2,0关于x的不等式fx−1>f2x−3m所以−2≤x−1≤2−2≤2x−3≤2x−1>2x−3，解得故选：A.15．（2026·重庆·三模）已知函数y=f(x+1)是R上的偶函数，对任意x1,x2∈1,+∞，且A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a【答案】A【解题思路】根据函数y=f(x+1)为偶函数，推出函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，再由条件推出函数y=f(x)在(1,+∞)上单调递增，于是可得ln(2−lne【解答过程】因函数y=f(x+1)是R上的偶函数，则y=f(x)的图象关于直线x=1对称，因对任意x1,x2∈1,+∞因1<log36=log由log32−1又由对称性可得：ln(2−故再由单调性，可得ln(2−lne故选：A.16．（2026·陕西·模拟预测）已知函数fx的定义域是R，fx−1的图象关于点1,0中心对称，若f3=0，且对任意x1,x2∈A．−23,0C．−23,0【答案】C【解题思路】根据题意可得y=fx为奇函数，进而得到在−∞,0，0,+【解答过程】因为对任意x1,x2∈所以y=fx在−因为fx−1的对称中心为1,0，所以fx的对称中心为所以y=fx所以0,+∞则y=fx在−∞,0因为f3=0，所以f3x−1即x<0f3x−1≤0则x<0−3≤3x−1≤0或3x−1≥3解得−23≤x<0所以解集为−2故选：C．【题型5函数的奇偶性及应用】17．（2026·云南·模拟预测）已知fx是定义域为R的偶函数，且fx+1−1为奇函数，则f2A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解题思路】根据奇函数与偶函数的性质，可得函数的对称性，可得答案.【解答过程】由函数fx为偶函数，则y由函数fx+1由函数fx+1可得到函数fx的图象，则1,1是函数f所以直线x=2是函数fx图象的对称轴，3,1是函数f因为3,1是函数fx图象的对称中心，所以f3−x+f将x=0代入f3−x+f3+x=2中得到所以f2故选：D.18．（2026·四川内江·一模）设奇函数fx的定义域为R，当x≥0时，fx=x1+x，则当x<0时，A．x1+x B．C．x1−x D．【答案】C【解题思路】设x<0，由奇函数的定义可得出fx【解答过程】当x<0时，−x>0，由奇函数的定义可得fx故选：C.19．（2026·安徽·二模）已知函数fx=lnA．fx+1 B．fx−1 C．【答案】C【解题思路】求出函数的定义域，根据偶函数的定义逐项判断即可.【解答过程】因为x2−2x+2=x−12+1≥1选项A：fxf−xfx+1≠f−x选项B：fx−1=lnfx−1≠f−x选项C：fx+1f−x+1fx+1=f−x+1选项D：fx−1f−x−1fx−1≠f−x−1故选：C.20．（2026·四川乐山·模拟预测）已知函数fx是定义域为R的偶函数，当x≥0时，fx=x2+4x，若A．−∞,−5∪5,+∞ B．−∞【答案】B【解题思路】根据题意和偶函数的性质求出x<0时，fx=x【解答过程】当x<0时，则−x>0，由题意得f−x=x2−4x，因为函数fx是定义域为又因为fa>5，所以当a≥0时，a2+4a>5，解得a>1；当a<0，a2故选：B.【题型6函数的周期性及应用】21．（2026·新疆·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足fx+3+fx=4，且f1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解题思路】先得到fx的一个周期为6，从而得到f2026=f【解答过程】fx+3+fx两式相减得fx+6=fxf2026fx+3+fx=4中，令又f1=1，故f故选：C.22．（2026·四川凉山·一模）已知fx是定义在R上的函数，fx+1=−fx．当2≤x<3时，fxA．−5 B．−1 C．1 D．4【答案】B【解题思路】分析函数的周期性，再利用周期性将f(2025)转化为已知区间内的函数值.【解答过程】依题意函数fx满足fx+1=−fx，可得因此f2025当2≤x<3时，fx=5−2x，由f2因此f2025故选：B.23．（2026·福建泉州·模拟预测）定义在R上的奇函数fx满足fx+2=fx，且当0<x≤1时，fxA．12 B．−12 C．1【答案】D【解题思路】根据条件，利用函数的性质，得f112=−f12【解答过程】因为fx奇函数，又fx+2=fx，知所以f11又当0<x≤1时，fx=−x2+x故选：D.24．（2026·湖南郴州·一模）函数fx对∀x∈R,fx+2=f4−x，且A．若x∈0,3时fxB．fxC．fx的图象关于−6,0D．f【答案】C【解题思路】对于A选项，首先通过奇偶性得：f−x+6对于B选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可；对于C选项，通过奇偶性可得函数关于6,0中心对称，再根据函数周期性即可判断正误；对于D选项，利用函数周期性可得：f2025=f9，再根据f【解答过程】对于A选项，已知fx+6为奇函数，则有f令x=−2，得：f8又fx+2=f4−x，令x=0因此可得：f8对于B选项，已知fx+6为奇函数，则有f又fx+2=f4−x由此可得：fx=−f因此可得：fx的周期为12对于C选项：已知fx+6为奇函数，则有f因此可得：函数fx关于6,0中心对称，又函数fx的周期为所以fx关于−6,0对于D选项：已知函数fx的周期为12，则有f又f−x+6=−fx+6，令x=3因此可得：f2025=−f3故选：C.【题型7函数的对称性】25．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数f(x)=(x+1)(x2+ax+b)的图象关于点(1,0)对称，则A．−10 B．10 C．2 D．−2【答案】C【解题思路】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出a,b，进而求出目标值.【解答过程】函数f(x)=(x+1)(x则f(2−x)=−x由函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，得f(2−x)+f(x)=0恒成立，即(2a+8)x因此2a+8=04a+16=06a+4b+12=0，解得a=−4,b=3，所以故选：C.26．（2026·安徽马鞍山·模拟预测）若函数f(x)=lnx+ax+1+x的图象关于(2,2)对称，且a≠1，则实数A．−5 B．−1 C．0 D．5【答案】A【解题思路】利用函数的定义域，结合对称性特点求出a，再验证得解.【解答过程】函数f(x)=lnx+ax+1+x有意义，则x+ax+1得f(x)的定义域关于数2对称，由−1不在f(x)的定义域内，得5不在f(x)的定义域内，则−a=5，即a=−5，此时f(x)=lnx−5x+1f(4−x)+f(x)=ln因此函数f(x)的图象关于点(2,2)对称，符合题意，所以a=−5.故选：A.27．（2026·四川·三模）已知函数fx=x3−xA．关于点−2,2对称 B．关于点2,−2对称C．关于直线x=2对称 D．关于直线x=−2对称【答案】A【解题思路】由函数的奇偶性可得fx【解答过程】因为f−x=−x所以fx函数y=fx+2+2的图象可由所以函数y=fx+2+2的图象关于点故选：A.28．（2026·辽宁·三模）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2x+1)为奇函数，且f(x)的图象关于直线x=2对称，则i=12025f(i)=A．−1 B．0 C．1 【答案】B【解题思路】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算给定求和式的值.【解答过程】由f(2x+1)为奇函数，得f(−2x+1)+f(2x+1)=0，所以f(x)图象的对称中心为(1,0)，令x=0⇒f由f(x)的图象关于直线x=2对称，得f(2+x)=f(2−x)，由f(x)+f(2−x)=0,f(2+x)=f(2−x),得f(x+2)=−f(x)，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)则f(x)的一个周期为4，则f(1)+f(3)=0,f(2)+f(4)=0,则i=12025故选：B.【题型8函数性质的综合应用】29．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知fx是定义在R上的偶函数，且在区间−∞,0上单调递减，若实数a满足f2∣a−1∣A．−∞,1C．12,3【答案】D【解题思路】由题意得fx在区间0,+【解答过程】因为fx是定义在R上的偶函数，且在区间−所以fx在区间0,+∞上单调递增，因为所以2∣a−1∣>2即a−1<−12或a−1>12，解得所以a的取值范围是−∞故选：D.30．（2026·全国·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，且满足f1+x=−f1−x,fx+2为偶函数，当x∈1,2时，fA．75 B．−75 C．5【答案】A【解题思路】通过分析得fx的周期为4，fx的图象关于点1,0对称，当x∈1,2时，f【解答过程】因为f1+x=−f1−x则函数fx的图象关于点1,0因为fx+2为偶函数，所以f则函数fx的图象关于直线x=2由①②得fx+2=−fx，则f所以f43由f−x+1=−fx+1，令x=0，得f已知f0+f3=5，由函数fx又函数fx的图象关于点1,0对称，得f所以f0+f3=−f2联立③④解得a=−52,b=52由fx的图象关于点1,0可得f43故选：A．31．（2026·广东·模拟预测）已知fx是R上的奇函数，fx−1−f3−x=0，若fx在0,1上单调递增，且f1A．−4 B．−3 C．−2 D．−1【答案】C【解题思路】由已知可得fx【解答过程】由fx是奇函数，可得f由fx−1−f3−x=0，可得即f−x=f所以fx+4=−fx+2=f因为fx在0,1则fx在−1,0单调递增，即fx在又因为fx的图象关于x=1对称，则fx在所以在一个周期内[fx即fx在R上的最小值是−2故选：C.32．（2026·四川攀枝花·模拟预测）已知函数fx的定义域D关于原点对称，fπ4（1）当x∈0,π2（2）∀x1,x2∈D且A．fx为奇函数 B．C．π是fx的一个周期 D．fx在【答案】D【解题思路】利用奇偶性的定义解结合（2）可判断A选项；由奇函数的性质结合（2）可判断B选项；根据（2）以及B选项推导出fx−π2【解答过程】因为∀x1、x2所以fx为D因为fπ4=−1所以fπ因为fx−所以fx−所以π是fx∀x1、x2∈D，且因为当x∈0,π2时，fx<0，所以fx1又fx2−x1所以fx在0,故选：D．【题型9抽象函数的性质】33．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）已知函数fx，对任意的x,y∈R，恒有fx+y+fx−y=2fA．f0=0 B．fx为奇函数 C．fx【答案】C【解题思路】通过赋值法确定f0【解答过程】令x=0，y=0，则f0+0即2f0=2f(0)2，得若f0=0，令y=0，则即2fx=0，与f1令x=0，则f0+y+f0−y得f−y=fy令y=1，则fx+1+fx−1由此得fx+2fx+3fx+6=−fx+3f2025故选：C.34．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数fx对任意的x，y∈R，都有fx+y=fx+fy，且当x>0时，A．−2,3 B．−C．2,3 D．−【答案】C【解题思路】先判断函数fx【解答过程】令x=y=0，则f0=2f0令y=−x，则f0=fx所以函数fx设x1,x2∈由题意知，当x>0时，fx<0，所以因为fx2=f即fx2<fx1不等式ft根据单调性可得t2化简得t2解得t∈2,3故选：C.35．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数fx的定义域为R，且fx+y=fA．f0=1 B．C．f2025=2025 D．【答案】D【解题思路】根据题意，利用抽象函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A：令x=y=0，可得f0对于B：令x=x1,y=x2可得fx若x>0时，fx>−1时，fx若x>0时，fx<−1时，fx所以函数fx对于C：令y=1，可得fx+1=fx所以f2−f1=1，f3各式相加得f2025−f1对于D：令y=−x，可得f0=fx即f−x+1=−f故选：D.36．（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知定义在R上的函数fx的图象是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数x，y，都有fx+y=fx+fy+2xy，fA．f0=2 B．C．fx在0,+∞上单调递增 【答案】C【解题思路】令x=y=0，求得f0=0，可判定A错误；令y=−x，得到fx+f−x=2x2，根据奇偶性的定义，可判定B错误；任取【解答过程】对于任意的实数x,y，都有fx+y=fx且当x>0时，fx对于A，令x=y=0，可得f0=f0对于B，令y=−x，可得fx−x所以fx+f−x所以函数fx不满足f−x=−f对于C，任取0<x1<x2则fx所以fx因为x>0时，fx>0，所以fx所以fx2−f所以fx在0,+对于D，取函数fx=x2，此时函数且当x>0时，fx>0，满足则f1−x所以f1−x故选：C.【题型10函数新定义】37．（2026·福建宁德·二模）设fx是定义在R上的函数，若∀x1,x2∈R，当x1<x2A．fx=x+sinC．fx=1【答案】C【解题思路】对于ABD：举反例说明即可；对于C：分析可知fx为偶函数，在0,+【解答过程】对于选项A：例如f−π=−即0<−π对于选项B：例如f−1=1即12<−对于选项C：令gx=12x且gx即gx=−g−x又因为y=2x+1在定义域R内单调递增，则gx在定义域当x<0时，gx>0；当x≥0时，则f−x=g−x=当x≥0时，fx=−gx若x1<x2，即0≤x对于选项D：f−3=−4即2<−3，但故选：C.38．（25-26高三下·上海浦东新·期中）定义在R上的非常值函数y=fx，若存在一个非零常数T，使得对任意x∈R，都有fx+T=T⋅fx成立，那么称函数y=fxA．存在函数y=kx+bk≠0为TB．若函数y=fx为T函数，且当T>1时函数在0,T上是严格增函数，则函数y=fx在C．若函数y=fx为T函数，且在x=0处取得最小值，则D．若函数y=fx为T函数，且fx≤1【答案】D【解题思路】利用定义计算可得A；举出反例可得B、C；利用定义计算可得fx+nT=Tnfx，【解答过程】对A：存在一个非零常数T，使得对任意x∈R，都有fx+T则kx+T+b=Tkx+b则有k=kT且kT+b=Tb恒成立，由k≠0，则由k=kT可得T=1，此时有k+b=b，则k=0，矛盾，故不存在这样的非零常数T，故A错误；对B：假设T=2，当x∈0,2时，f且函数y=fx为定义在R上的T函数，则y=fx在但f2=f0+2对C：假设T=2，当x∈0,2时，f且函数y=fx为定义在R上的T函数，则f当x=2kk∈Z时，f即对任意整数k，都有f2k当x=2k+t,k∈Z,t∈0,2f2k+t故当x≠2kk∈Z时，f故满足y=fx在x=0处取得最小值，但T=2对D：由题意可得fx+nTfx−nT因为fx为非常值函数，所以存在x0使得由fx≤1恒成立，可得Tnfx若T>1或T<1，则当故必有T=1，即T=1或T=−1若T=1，则fx+1=fx，则y=f若T=−1，则fx−1=−fx则y=fx为周期函数，且周期为2综上可得y=fx故选：D.39．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）若函数y=fx满足：对任意的x1，x2∈D，x1+x2≠0(1)设函数fx=2x，gx=x3+3x(2)设函数fx=ln1+x1−x+ax，若(3)已知函数fx具有性质P，且图象是一条连续曲线，若y=fx在R上单调递增，求证：【答案】(1)函数fx在R上不具有性质P；gx在R上具有性质(2)a≥−2(3)证明见解析【解题思路】（1）证明函数不具有性质P时，可通过举反例的方式快速验证；证明函数具有性质P时，需对目标表达式进行代数变形，通过配方等方式证明其恒正.（2）首先根据性质P的定义转化出对应不等式，再结合函数的奇偶性，将不等式转化为函数单调递增的判定条件，最后通过导数恒非负求解参数a的取值范围.（3）围绕奇函数定义f(−x0)=−f(x0)，构造辅助函数h(x)=f(x)+f(x【解答过程】（1）函数fx=2x在R上不具有性质P，gx一方面：对于函数fx=2x，取x1故函数fx=2x在另一方面：对任意的x1，x2∈Rgx故函数gx=x3+3x（2）函数fx的定义域为−1,1，由fx具有性质对任意的x1，x2∈−1,1，x因为f−x=ln1−x1+x−ax=−ln从而fx在−1,1上单调递增，故f即f′x=11+x∵0≤x2<1,−1≤从而a≥−2．(3)证明：函数fx的定义域为R要证fx是奇函数，只要证：对任意的实数x0，对任意实数x0，由函数fx具有性质当x+x0≠0时，设hx当x+x0>0，即x>−即当x∈−x0,+当x+x0<0，即x<−即当x∈−∞,−x由曲线y=hx的连续性，可知hx在R上存在零点x，即由于函数fx在R上单调递增，故y=hx在由②得x≤−x0，由③得x代入④得，h−故fx为奇函数．40．（25-26高一下·上海·期末）对于定义域在R上的函数y=fx，定义gx=fx−f0x．设区间I=−∞,0∪0,+∞，对于区间I上的任意给定的两个自变量的值(1)求证：函数y=−2x不存在“(2)若非常值函数y=sx，x∈R是奇函数，求证：y=sx存在“T函数”的充要条件是存在常数k，使得(3)若函数fx=m⋅2x−99x与函数hx=−m⋅【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)m=0【解题思路】（1）先写出gx的表达式，然后取x1=−2<（2）先证明gx（3）先写出fx,hx的解析式，然后说明gf(x)【解答过程】(1)由题意，f(x)=−2x，则f(0)=−1，因此：取x1=−2<xg−2>g−1因此函数y=−2x不存在“(2)因为s(x)是定义域为R的奇函数，故s(0)=0，因此g(x)=s(x)−s(0)且g(−x)=s(−x)−x=充分性：若s(x)=kx（k≠0，非常值），此时g(x)=kxx=k对任意x1、x2，当x1<x必要性：若s(x)存在“T函数”即g(x)在(−∞由s(x)是奇函数得：g(−x)=s(−x)−x=若gx不为常数函数，对任意两个正数a<b，则g但此时−b<a，g−b=gb因此gx恒为常数k，此时s综上，原命题得证.（3）对f(x)=m⋅2x−99x，f(0)=m对h(x)=−m⋅2−x+x，h(0)=−m因为f(x),h(x)都存在“T函数”，故gf(x)单调不减，即gf(−x)单调不减，等价于gf(x)单调不增，即：m(2x−1)指数函数恒等于一次函数+常数，仅当指数项系数为0，即m=0.验证：m=0时，gf(x)=−99（常数），gh故m=0.一、单选题1．（2026·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在0,1上严格减的函数是（

）A．y=−x B．y=−x C．y=x2【答案】B【解题思路】根据基本初等函数的奇偶性、单调性逐项判断ACD，利用奇偶性定义及一次函数的单调性判断B即可.【解答过程】对于A，y=−x为奇函数，不是偶函数，在0,1上严格减，故A错误；对于B，fx=−x定义域为R，关于原点对称，且f当x∈0,1时，y=−x=−x对于C，由幂函数性质知，y=x2为偶函数，在对于D，由指数函数性质知，y=2故选：B.2．（2026·广东深圳·模拟预测）若函数f(x)=xeaxex−1的图象关于A．−12 B．12 C．【答案】B【解题思路】根据题意得到f(−x)=f(x)，从而得到方程，变形化简得到2ax−x=0，求出a=1【解答过程】f(x)=xeaxex即−xe−axe即xe要想上式恒成立，则eax−x−1eax所以a=1故选：B.3．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数fx=x−2ax+b为偶函数，且f−2A．{x|0<x<4} B．{x|x<0或x>4}C．{xx>2或x<−2} D．【答案】A【解题思路】由奇偶性结合单调性求得函数解析式，然后解不等式.【解答过程】因为f(x)=(x−2)(ax+b)=ax所以b−2a=0，即b=2a，所以f(x)=ax因为f(2)=f(−2)，f(−2)>f(3)，所以f(2)>f(3)，因此f(x)在(0,+∞所以a<0，由f(x)=ax2−4a>0，得x所以f(2−x)>0时，−2<2−x<2，解得0<x<4，即f(2−x)>0的解集为{x|0<x<4}.故选：A.4．（2026·四川成都·一模）已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等式(x−3A．(−3,0)∪(3,3) C．(−∞,−3)∪(0,3) 【答案】A【解题思路】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集.【解答过程】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)图象关于原点对称，故得函数的图象如下：且f(−3)=−f(3)=0.由图象可知，要使(x−3)f(x)>0，当x>3时，f(x)>0当x<3时，f(x)<0，得−3<x<0当x=3综上，不等式(x−3)f(x)>0的解集为故选：A.5．（2026·安徽·模拟预测）“函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称”是“函数y=f(x+2)为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【解题思路】根据对称和偶函数定义判断.【解答过程】若函数y=fx的图象关于直线x=2对称，则f令gx=fx+2，则g−x=f所以函数fx+2所以“函数y=fx的图象关于直线x=2对称”是“函数f若函数fx+2是偶函数，令gx=f所以g−x=gx，又g即f2+x=f2−x，所以f所以“函数y=fx的图象关于直线x=2对称”是“函数f综上可知，“函数y=fx的图象关于直线x=2对称”是“函数f故选：C.6．（2026·广东·模拟预测）已知fx是定义域为R的奇函数，当x<0时，fx=x+1x+1，则当A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解题思路】由奇函数性质求出当x>0时，fx【解答过程】当x>0时，得−x<0，由函数fx是定义域为R得fx即当x>0时，fx=x+1则当x>0时，fx故选：A.7．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在R上的函数fx满足fx+1+fx−1=f2，fx+1A．−1 B．−9 C．1 D．9【答案】D【解题思路】根据条件结合赋值法计算可得fx+1+fx−1=0，即可得该函数周期，再利用【解答过程】因为fx+1是奇函数，所以f由fx+1+fx−1=f2，令x=1由f−x+1=−fx+1，令x=1所以fx+1+fx−1所以fx+4=−fx+2由f12=1，则ff72=ff112=ff152=f所以k=1+5×f=1×1+2×=9.故选：D.8．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知函数fx定义域为R，且满足：fx=f2−x，∀x1,x2∈1,+A．1<x<100 B．1C．10<x<100 D．1<x<10【答案】A【解题思路】根据函数的对称性和单调性求解.【解答过程】因为fx=f2−x，所以f又∀x1,x2所以fx在(−∞,1]又f2=f0，所以0<所以实数x的取值范围为1<x<100.故选：A.二、填空题9．（2026·安徽安庆·模拟预测）设fx是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，fx=−x1−x【答案】1【解题思路】根据函数的奇偶性及周期性求解即可.【解答过程】因为fx是周期为4的奇函数，所以f又当0≤x≤1时，fx=−x1−x所以f−故答案为：1410．（2026·河北保定·三模）已知定义在R上的函数fx满足1−fx⋅1+fx+2=2，且【答案】−3【解题思路】利用条件1−fx⋅1+fx+2=2可得fx+4=−1f(x)【解答过程】由1−fx⋅1+f所以fx+4所以fx+8所以fx是周期为8的函数，所以f又f2=1+f故答案为：−3.11．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知定义在R上的奇函数fx满足f3−x=fx，且当x∈0,1时，【答案】−2【解题思路】根据奇函数的性质及f3−x=fx【解答过程】由题设f−x用x代替−x，则fx=−f3+x所以fx=fx+6所以f2026故答案为：−2.12．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知fx是定义在R上的连续函数，gx=fx+1−3．若gx为奇函数，g【答案】−3【解题思路】根据函数的奇偶性得出周期，利用周期性求解即可.【解答过程】因为gx为定义在R上的奇函数，所以g因为gx+1为偶函数，所以g则gx所以g2+x则gx+4所以函数gx则g0=g4所以g1因为g0所以g2=0，所以g1则i=12026故答案为：−3.一、单选题1．（2026·湖北武汉·三模）已知函数fx的定义域为0，+∞，对任意的x,y>0，均有A．f2<0 C．f(4)f(3)+f(3)【答案】C【解题思路】令x=y=1，即可判断A；令y=1，可得fx+1<xf(x+1)，令x=2，可判断B；令x=3，可判断D；由题意可得fx+1>f(x)x，结合【解答过程】解：对于A，令x=y=1，则有0<f(2)，即f(2)>0，故A错误；对于B，令y=1，则有f(x)−f(1)x又因为f1=−1，所以fx令x=2，则有2f3对于C，因为fx+1<xf(x+1)，所以fx+1令x=2，则有f3>f(2)2，令由B可知2f3所以f3所以f4同理可得f3所以f(4)f(3)对于D，由B可知fx令x=3，则有3f4故选：C．2．（2026·宁夏吴忠·二模）定义在R上的函数fx满足f−1+x+f−1−x=0，且f1+x+f1−x=0，当x∈−1,0时，A．−6 B．−4 C．−3 D．−2【答案】D【解题思路】由题，可得fx的周期为4，由f−1=f1=0求得a=【解答过程】由f−1+x+f−1−x=0，即f−x由f1+x+f1−x=0，即f−x∴fx+2=fx−2易知f−1=f1=0，所以e−1所以fx在−1,1上的值域为−2,1−又fx的图象关于点1,0对称，所以当x∈1,3时，即fx在一个周期内的值域为−2,2，所以fx的最小值为故选：D．3．（2026·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为R的函数f(x)，g(x)满足f2−x+fx=2，g4−x=gxA．f(x)的图象关于y轴对称 B．−8为f(x)的一个周期C．f2023=−1 【答案】C【解题思路】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项.【解答过程】因为fx=g2+x+4，所以f−x=g2−x+4，又因为g4−x又因为f2−x+fx=2，所以f−x所以f4+x=f2+在fx+f2−x=2中，令x=1，得因为g2=3，所以f0=g2+4=7，所以故k=122故选：C.4．（2026·上海杨浦·一模）函数y=fx的定义域、值域均为R，定义集合Ma=tt=fx−fa,x≥a.给出如下两个结论：①存在函数y=fx，使得对任意实数a均有MaA．①正确，②正确 B．①正确，②错误C．①错误，②正确 D．①错误，②错误【答案】B【解题思路】对于①，根据定义找到满足条件的一个函数进行说明即可；对于②，假设f(x)=0,x=01x【解答过程】假设f(x)=x，f(x)在R上单调递增函数，对于任意实数a，t=fx∵x≥a，∴fx≥fa，∴t≥0设f(x)=0,x=01x,x≠0，当b=0时，此时取a=2，则Ma=t当b>0时，Mb=t−fb因为a>b>0，所以fa<fb此时Mb⊇M当b<0时，Mb取a=2，则Ma=t综上，不存在实数b，使得对任意a∈R均有M故选：B.二、解答题5．（2026·安徽·一模）已知函数fx(1)当a=0时，求函数fx(2)当a>0时，讨论函数fx(3)若函数fx的图象关于点0,t中心对称，求实数t【答案】(1)−2(2)当a∈(0,1)时，f(x)在(−∞,0),(−ln当a=1时，f(x)在R上单调递增；当a∈(1,+∞)时，f(x)在(−∞(3)−1【解题思路】（1）先化简，再求导分析单调性，进而求出最大值；（2）先对函数求导，再根据导数确定函数的单调性；（3）利用中心对称的性质得出关于t的等式，进而求出实数t．【解答过程】（1）当a=0时，fx=−1∵当x<0时，f′x>0，函数fx单调递增；当x>0时，∴函数fx在x=0时取得最大值，即f（2）∵fx=ae令f'x=0，解得x=0当a∈0,1时，令f'x>0，解得x<0或x>−ln∴fx在−∞,0当a=1时，f'x≥0，f当a∈1,+∞时，令f′x>0，解得x<−lna∴fx在−∞,−∴当a∈0,1时，fx在−∞当a=1时，fx在R当a∈1,+∞时，fx在−（3）∵函数fx的图像关于点0,t∴函数y=fx−t的定义域为R，且关于点∴f0−t=0，即∴y=fx∴f−x∴aex−①代入②得a−1ex+∵1ex+ex∴a−1=0，即a=1，∴t=1−2=−1．6．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数y=fx与实数x0(1)若fx=x(2)若fx=kx3−x，k>0，且对任意实数x(3)是否存在定义域为R的图像连续的函数y=fx，使得S【答案】(1)a|0<a<(2)0,(3)见解析，不存在【解题思路】（1）根据集合定义，结合fx=x（2）法一：根据集合定义，结合fx=kx3−x得到9x04−3a2+6x02+a2−12>−1k2（3）考虑构造满足条件的函数，通过反证法证明不存在.【解答过程】（1）由题意得f1+a即1+a2即a2+2aa因为a>0，所以0<a<5（2）法一：由题意得fx即k2即9x当x02=而34所以−3>−1k2因为k>0，所以k∈0,法二：由题意得f(x+a)−f(x)=k3af(x−a)−f(x)=k−3a[f(x+a)−f(x)][f(x−a)−f(x)]==k即k2整理为关于t=x2≥0该二次函数开口向上（9k2>0要对所有t≥0恒正，需判别式Δ<0可得Δ=化简得−3k令u=a2>0该二次函数开口向上，对称轴u=2>0，最小值在u=2处3结合k>0，解得0<k<3（3）当a≥1时，[f(a)−f(0)][f(−a)−f(0)]≥a故fa−f0取a=1得[f(1)−f(0)][f(−1)−f(0)]≥1>0，不妨设f1>f0由连续性与零点定理可证，对任意a≥1,当a≥1时，[f(1+a)−f(1)][f(1−a)−f(1)]≥a取a=1得[f(2)−f(1)][f(0)−f(1)]≥1>0，因f0−f1同理可证：对任意t≤0,f(t)<f(1)，即对任意记C=f1−f0结合[f(a)−f(0)][f(−a)−f(0)]≥a得f(a)−f(0)>a对任意b≥2，令a=b−1≥1，代入S1的不等式得[f(b)−f(1)][f(2−b)−f(1)]≥因2−b≤0，故0<f1结合fb−f1结合①②，对任意b≥2有f(1)−C+b化简得2b当b→+∞时趋向+因此不存在满足条件的函数.7．（2026·上海·模拟预测）设函数fx的定义域为R，若对任意实数x，恒有ffx(1)若一次函数fx=ax+b具有性质Ω，其中a>0，求实数a，(2)若函数fx具有性质Ω，且fx在R上严格增，证明：(3)若具有性质Ω的函数fx满足：存在常数M>0，使得对任意x∈R，都有fx【答案】(1)a=1，b=0；(2)证明见解析；(3)证明见解析【解题思路】（1）由函数新定义列出方程，利用对应系数相等即可求出a,b；（2）由反证法结合严格增函数的性质推导，分ft>t与（3）利用函数的递推，求证与gx【解答过程】（1）因一次函数fx=ax+b具有性质则ff则可得：a2+a=2ab+2b=0，解得a=1因为a>0，所以a=1，b=0.(2)假设存在实数t，使得ft若ft>t，结合函数严格增，可得再由fft=2t−ft，代入得2t−ft若ft<t，因为fx结合fft=2t−ft，代入得2t−ft综上可知，假设不成立，即对任意的x∈R，都有f(3)已知fx−x≤M对所有x∈R成立，令gx则ff代入ffx+f化简得：gx+g对任意x0∈R，构造数列{由gx+gx=−2g则数列{g(xn)}所以gxn=则当n→+∞时，2ngx0即对任意的x∈R，gx=08．（2026·上海·三模）设s,t∈R，对于定义域为D的函数y=fx与y=gx，hx=sfx+tgx，若函数y=hx是区间D(1)设D=2,+∞，fx=x2，gx=x，若y=fx(2)设s>0，D=0,1，fx=x，gx=−32x．若y=fx与(3)设D=R，若对任意s、t，函数y=fx与y=gx在R上都满足“性质Ms,t”．求证：存在不全为零的实数A、【答案】(1)t≥−4；(2)−∞(3)证明见解析【解题思路】（1）先求出hx（2）依据单调性定义可得2s+3tx1x2≥0在（3）利用性质Ms,t对任意s、t成立，先取1,0和0,1知fx与gx均单调，假设不存在不全为零的实数A、B使得函数y=Afx+Bgx为常值函数，则存在两点使fx与gx的增量比值不同，从而可构造【解答过程】（1）因为fx=x2，gx故hx=x因为hx为开口向上的抛物线，对称轴为x=−t2，故−（2）由题设有hx=sx−3t设任意x1,x则hx因为x1,x2∈0,1，而hx为0,1故2sx1x2+3t≥0在0,1而0<x1x2<1，s>0，故3t≥0或2s+3t≤0(3)若函数y=fx为常值函数，取A,B同理，若函数y=gx是常值函数，取A,B因此，以下考虑函数y=fx与y=g分别取s,t=1,0和0,1，可以得到函数y=fx不妨设函数y=fx与y=gx都是增函数（否则，若函数y=fx为减函数，将−fx替换为fx因此存在x1<x2，使得令gx2−g首先证明：对任意x3>x反证法：假设存在x3>x1使得gx不妨设n>m，取s=−m+n2，t=1，对于函数则hxhx因此hx2<hx1同理可以证明对任意x3≤x因此，对任意x∈R，g所以hx取A,B=−m,1，则A、B不全为零，且一、单选题1．（2026·北京·高考真题）下列函数fx是奇函数且在定义域上单调递增的是（

A．fx=1C．fx=2【答案】D【解题思路】根据题意，逐项判断即可.【解答过程】A，在fx=1x2B，在fx=sin方法一：C，在fx=2−x−f′D，在fx=ln5+x5−xfx=lnf′法二：C，在fx=2−x−∵y=2−x和∴函数fxD，在fx=ln5+x5−xfx=ln∵y=ln5+x和y=−ln∴函数fx故选D.2．（2026·全国二卷·高考真题）已知fx是定义域为R的偶函数，fx+fx−2=0，且当x∈A．a=−2，b=−3 B．a=−2，b=3C．a=−4，b=−3 D．a=−4，b=3【答案】D【解题思路】根据f(x)+f(x−2)=0推出周期性T=4，分析可得f(1.5)=f(2.5)，得到a，再由f(−1)=0可得b.【解答过程】f(x)+f(x−2)=0，则f(x+2)+f(x)=0，f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即f(x)的周期为4，结合奇偶性，周期性，故f(1.5)=f(−2.5)=f(2.5)，在[1.5,3]上满足f(1.5)=f(2.5)，说明f(x)=x2+ax+b则−a2=2又根据f(x)+f(x−2)=0知f(1)+f(−1)=0，而f(1)=f(−1)，则f(−1)=0，于是f(3)=f(−1)=0，即f(3)=9+3a+b=9−12+b=0，解得b=3，故选D.3．（2026·上海·高考真题）对于函数y=fx，x∈D，设Af=x,y|y≥fx,x∈D.对于点集M，若存在x0,y0∈M，使得任取A．若y=fx和y=gx都有最小值，则B．若Af∩Ag有最低点，则C．若y=fx或y=gx有最小值，则D．若Af∪Ag有最低点，则【答案】D【解题思路】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得x0,y【解答过程】对于A项，取fx=x，x∈[0,1]，取gx则fxmin=0，g对于B项，取fx=x，x∈(0,3]，取gx则fx无最小值，gxmin=2；而对于C项，取fx=−x2，x∈R，取则fx无最小值，g因为fx=−x2的函数值可趋向于负无穷大，所以对于D项，因为Af∪Ag有最低点，不妨设x0,y0为Af所以x0,y若x0,y0∈Af，则y若x0,y所以若Af∪Ag有最低点，则故选：D.4．（2025·天津·高考真题）已知函数y=fx的图象如下，则fx的解析式可能为（A．f(x)=x1−|x| B．f(x)=x|x|−1 C．【答案】D【解题思路】先由函数奇偶性排除AB，再由x∈0,1【解答过程】由图可知函数为偶函数，而函数fx=x又当x∈0,1时1−x2由图可知当x∈0,1时，f故选：D.5．（2025·全国一卷·高考真题）已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5−2x，则f−34A．−12 B．−14 C．【答案】A【解题思路】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2,3]的范围中求解.【解答过程】由题知f(x)=f(−x),f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立，于是f(−3故选：A.6．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（

）A．y=ex−x2ex+x【答案】B【解题思路】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【解答过程】对A，设fx=ex−x2ex对B，设gx=cos且g−x=cos对C，设hx=eh−1≠h1对D，设φx=sin因为φ−x=sin则φx故选：B.二、填空题7．（2026·上海·高考真题）已知函数fx是偶函数，当x≥0时，fx=x−a，若【答案】−1【解题思路】根据偶函数的性质求解.【解答过程】因为函数fx是偶函数，当x≥0时，f所以f−4=f4故答案为：−1．8．（2024·上海·高考真题）若函数f(x)=x3+a(x∈R【答案】0【解题思路】根据奇函数的定义求解．【解答过程】f(x)是奇函数，则f(−x)=−f(x)恒成立，所以−x3故答案为：0．三、解答题9．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数fx的定义域为R，且当x<0时，fx=2x(1)若当x≥0时，fx=1−x，求(2)若fx是奇函数，fx1≤fx(3)设fx满足：①若fx1≤fx2，则（i）证明：f(0)≥1；（ii）证明：f(x)在区间0,+∞【答案】(1)D−1（2）证明见解析；（3）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解题思路】（1）求出f−1，写出fx表达式，即可求出（2）求出fx表达式，化简集合Dx0并得出表达式，利用x1x2≠0（3）（i）法一：假设f0<1，则存在t∈−1,0，使得ft≥f0，取法二：假设f0<1，则存在t∈0,2，使得f−t=2−t≥f0（ii）将证明转化为证∀x0>0，d>0，都有fx0+d>fx0，先证明：当x>0时，fx≤0【解答过程】（1）由题意，在fx中，fx=在DxD−1∴f−1+d当−1+d<0时，2−1+d>12=当−1+d≥0时，1−−1+d>1∴0<d<3∴D−1(2)由题意证明如下：在fx中，fx是奇函数，当x<0时，∴f0=0，当x>0时，∴f在集合Dx当x0<0时，当x0=0时，当x0>0时，∴Dx∵x1∴x1≠0且x2≠0，即∵fx∴①当fx1≤fDx1=此时Dx②当fx1<0<fDx1=此时Dx③当0<fx1≤fDx1=此时Dx综上，Dx(3)（i）由题意证明如下，法一：若f0<1，则存在t∈−1,0条件①：若fx1≤f∴f0≤ft取d0=−t2，则∵d0=−t2∈但d0∴f(0)≥1法二：假设f0<1，则存在t∈0,2从而d1=t但t2∵根据条件又有ft∴假设不成立，f0（ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下，在集合Dx要证fx在0,+即需证∀x0>0，d>0即需证∀x0>0，d>0①先证明：当x>0时，fx假设∃x0>0∵当x<0时，fx∴∃x1<0∴Dx而当x1<0时，否则∃d<0，使得d∈Dx1，fx∴Dx∴−x∴f0由（3）（i）得，f0则fx由条件②：当0<x<1时，fx则x0否则x0<1时，fx∴若∃x0>0，使得fx0∴∃x2<则Dx令d=x0−此时d∈Dx3，则d∈Dx∴fx∵x3∴易取x3，x2满足x0−x根据（*）可得，此时u≥1，与u∈0,1∴当x>0时，fx②证明：对∀x0>0，d>0∵∀x0>0，x∴Dx对任意给定的d>0，取x4<−d，则fx4+d∴对∀x0>0，d>0∴fx在0,+10．（2026·上海·高考真题）已知i,j,k是1，2，3的一个排列，若函数f1x，f2x，f3x，对任意x∈I，都有f1x≤fix且f1x+f2x≤fi(1)已知I=3,+∞，f1x=x，f2x(2)对I=0,+∞，f1x=x−1，f2x(3)对x∈0,+∞，且对任意x∈0,+∞，0<Fx<1，令I=a,+∞，f1x=Fx，f2x=【答案】(1)是I排列；(2)−1≤m≤−1(3)证明见解析【解题思路】（1）根据I排列的定义判断即可；（2）分析得1，2，3的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可；（3）第一个结论分f1(x)≤f【解答过程】（1）由题意得i=3,j=1，则当I=[3,+∞)，则f1f1则f1故(3,1,2)是为I排列.（2）若nI①(i,j,k)=(1,2,3)，则有：f1②(i,j,k)=(1,3,2)，则有：f1(x)≤f③(i,j,k)=(2,1,3)，则有：f1(x)≤f④(i,j,k)=(2,3,1)，则有：f1(x)≤f⑤(i,j,k)=(3,1,2)，则有：f1⑥(i,j,k)=(3,2,1)，则有：f1(x)≤f则上述不等式均要成立，取它们的交集有f1即f1(x)≤f2(x)≤分离参数得m≥−1m≤x2−x，因为当所以−1≤m