湖北省咸宁市2025-2026学年高二下学期高中期末考试数学试卷-附解析

数学（本试卷共4页，时长120分钟，满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.组合数，则（）A.8 B.5 C.4 D.2或82.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.3.某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（）A.极差 B.45百分位数 C.平均数 D.众数4.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝A.5 B.6 C.7 D.85.某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，，从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（）A. B.2 C. D.6.已知变量和变量的一组成对样本数据为（），其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线斜率为3，则在新的回归直线条件下，时变量预测值为（）A. B. C. D.37.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是（）A. B. C. D.8.已知函数的定义域为，是的导函数，，对，有．则不等式的解集是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.下列结论正确的是（）A.B.若随机变量X，Y满足，则C.样本相关系数的值越小，则成对样本数据的线性相关程度就越弱D.一组样本数据，，，，，满足，，则这组数据的方差为10.甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（）A. B.C. D.11.先后掷一个均匀的骰子3次（骰子有六个面，对应点数分别为1，2，3，4，5，6），得到的点数依次为x，y，z，记事件为“”（），事件为“”，则（）A. B.事件与事件相互独立C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式的常数项为__________．13.已知函数有两个极值点与，若，则实数a＝____________.14.某文件被切分成n个独立分片上传云端，每个分片上传成功的概率为，且相互独立.当成功上传了m个分片时，文件可被成功恢复的概率为．为使文件最终成功恢复的概率不小于，正整数n的最小值为________.（参考数据：，）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（1）将编号分别为1~6的六个小球全部放入甲、乙两个盒子，每个盒子最多放4个，有多少种不同的放法？（结果用数字表示）（2）将编号分别为1~6的六个小球全部放入甲、乙、丙三个盒子，每个盒子非空，其中1号球不放入甲盒子，有多少种不同放法？（结果用数字表示）16.电视台为了了解观众是否喜欢观看某电视节目与性别是否有关，随机抽取了300名市民，调查他们是否喜欢观看这个电视节目．若从这300名市民中随机挑选一人，记事件为“该市民为女性”，事件为“该市民喜欢观看此节目”，且，，．

不喜欢看喜欢看人数总计男性

女性

人数总计

（1）请完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析观看此节目是否与性别有关？（2）从调查到喜欢观看此节目的市民中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人获得一等奖，其余的获得二等奖．记获得一等奖中女性的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：，（结果精确到0.001）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.函数．（1）求函数在区间上的极值点个数，（2）存在实数，对任意的，恒成立，求实数的最大值．18.某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立.（1）求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.（2）若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率.（3）使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由.19.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围；（3）若正项数列满足，，试比较与1的大小关系，并说明理由．

数学（本试卷共4页，时长120分钟，满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.组合数，则（）A.8 B.5 C.4 D.2或8答案：D解析：思路：利用组合数的性质即可求解.解答过程：由题意得：或.2.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求，利用导数的几何意义即可求解.解答过程：由题意得：，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.3.某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（）A.极差 B.45百分位数 C.平均数 D.众数答案：B解析：思路：根据题意将10个数据去掉最高分和最低分后45百分位数不变.解答过程：对A，若每个数据都不相同，则极差一定变化，故A错误；对B，由，所以将10个数据从小到大排列，45百分位数为第5个数据，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，，所以45百分位数为8个数据从小到大排列后第4个数据，即为原来的第5个数据．对C，去掉一个最高分一个最低分，平均数可能变化，故C错误；对D，去掉一个最高分一个最低分，众数可能变化，故D错误.故选：B.4.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝A.5 B.6 C.7 D.8答案：B解析：解答过程：试题分析：由题意可知,,,即,,解得．故B正确．考点：1二项式系数；2组合数的运算．5.某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，，从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（）A. B.2 C. D.答案：C解析：思路：由正态分布的对称性求得，进而得，再由二项分布的数学期望公式即可求解.解答过程：由，，所以，所以，所以，所以，所以.6.已知变量和变量的一组成对样本数据为（），其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线斜率为3，则在新的回归直线条件下，时变量预测值为（）A. B. C. D.3答案：A解析：解答过程：原回归直线过样本均值点，已知，则，故原样本均值为，加入新数据和后，样本容量为，新样本均值，，新回归直线斜率为3，设新回归方程为，则方程过样本均值点，故，解得，故新回归方程为，当时，预测值．7.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先计算“3位女生中有且只有2位女生相邻”的总排法，再减去“男生甲站两端且3位女生中有且只有2位女生相邻”的排法．解答过程：从3位女生中选2位捆绑为一个整体，内部有顺序，共种方法，3位男生全排列，共种，排好后形成4个空隙，把“2人女生组”和“单独女生”插入4个空隙，共种方法，总排法数为：种，若甲固定在队伍最左端，剩余2位男生全排列，共种方法，甲左侧无法插入女生，故3位男生仅形成3个可用空隙，插入两组女生共种方法，女生捆绑分组为6种方法，故甲在左端的排法为：种，同理，甲在右端的排法为：种，故甲在两端的总排法为：种，故“甲不在两端且女生恰有2位相邻”的排法为：种．8.已知函数的定义域为，是的导函数，，对，有．则不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由等价于，令，即，令，利用导数研究单调性，进而求解.解答过程：由，令，，所以，令，所以，令，令，令，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以，所以在单调递减，又，所以，解得，所以的解集为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.下列结论正确的是（）A.B.若随机变量X，Y满足，则C.样本相关系数的值越小，则成对样本数据的线性相关程度就越弱D.一组样本数据，，，，，满足，，则这组数据的方差为答案：ABD解析：解答过程：整理得，化简得，故A正确；由期望性质易知，故B正确；样本相关系数的绝对值越小，线性相关程度越弱；本身值小（如）不代表相关程度弱，故C错误；由题意得，样本均值，令，则，的方差，由方差性质，得，故D正确.10.甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：分别求出从乙袋子中取出2个红球、2个白球和1个红球和1个白球的概率，分析X的可能取值，求出各个概率，可判断A、B的正误，代入期望和方差公式，可判断C、D的正误.解答过程：设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则，从乙袋子中取出2个白球为事件B，则，从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则，由题意，X的可能取值为0和1，则，故A错误，B正确；所以，则，故C正确，D错误.11.先后掷一个均匀的骰子3次（骰子有六个面，对应点数分别为1，2，3，4，5，6），得到的点数依次为x，y，z，记事件为“”（），事件为“”，则（）A. B.事件与事件相互独立C. D.答案：ACD解析：思路：A选项，设，推出，分和两种情况，得到情况数，从而得到概率；B选项，计算出，，故，B错误；CD选项，利用条件概率公式进行求解.解答过程：A选项，设，则，事件：，当时，中间数，若，则有种情况，若，则有种情况，共有；当时，中间数，同理共有，故总共有种，掷一个均匀的骰子3次，共有种情况，所以，A正确；B选项，事件：，中间数，，当时，当时，两类有1种重复，即，所以总共种，所以，又，，故事件与事件不相互独立，B错误；C选项，事件：，事件：，中间数，，当时，当时，有1种重复，所以总共种，所以，又，所以，C正确.D选项，事件：，当时，中间数，共有；当时，中间数，共有；当时，中间数，共有，故总共有种，，又，所以，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式的常数项为__________．答案：解析：解答过程：的展开式中第项为令可得故展开式中的常数项为，13.已知函数有两个极值点与，若，则实数a＝____________.答案：4解析：思路：由得，所以，根据解方程即可求出结果．解答过程：因为函数有两个极值点与由，则有两根与所以，得因为，所以，又则，所以故答案为：14.某文件被切分成n个独立分片上传云端，每个分片上传成功的概率为，且相互独立.当成功上传了m个分片时，文件可被成功恢复的概率为．为使文件最终成功恢复的概率不小于，正整数n的最小值为________.（参考数据：，）答案：13解析：思路：根据全概率公式结合题意计算即可.解答过程：记文件最终成功恢复为事件，则由全概率公式，.根据二项式定理，因此有：，，所以.令，得，所以.所以的最小值为13.故答案为：13.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（1）将编号分别为1~6的六个小球全部放入甲、乙两个盒子，每个盒子最多放4个，有多少种不同的放法？（结果用数字表示）（2）将编号分别为1~6的六个小球全部放入甲、乙、丙三个盒子，每个盒子非空，其中1号球不放入甲盒子，有多少种不同放法？（结果用数字表示）答案：（1）50（2）360解析：思路：（1）根据每个盒子小球的情况，分类讨论，利用排列组合即可求解；（2）对甲盒子放1个，2个，3个，4个小球的情况，分类讨论，进而求解.解答过程：（1）因为每盒至多放4个，所以分两种情况：两盒都放3个：，一盒2个一盒4个：，所以，故一共有50种不同放法；（2）可以对甲盒放1个，2个，3个，4个球讨论，当甲盒放1个球时：种，当甲盒放2个球时：种，当甲盒放3个球时：种，当甲盒放4个球时：种，种.16.电视台为了了解观众是否喜欢观看某电视节目与性别是否有关，随机抽取了300名市民，调查他们是否喜欢观看这个电视节目．若从这300名市民中随机挑选一人，记事件为“该市民为女性”，事件为“该市民喜欢观看此节目”，且，，．

不喜欢看喜欢看人数总计男性

女性

人数总计

（1）请完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析观看此节目是否与性别有关？（2）从调查到喜欢观看此节目的市民中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人获得一等奖，其余的获得二等奖．记获得一等奖中女性的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：，（结果精确到0.001）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）

不喜欢看喜欢看人数总计男性25150175女性5075125人数总计75225300看此节目与性别有关（2）X012P解析：思路：（1）先根据题意完善列联表，然后计算，然后进行判断即可.（2）根据题意可知女性数服从超几何分布，然后列出分布列，求出期望.（1）零假设：假设观看此节目与性别无关，

不喜欢看喜欢看人数总计男性25150175女性5075125人数总计75225300，依据小概率值的独立性检验，假设错误，即观看此节目与性别有关；（2）根据分层抽样，抽取女性人，男性4人，的取值可以为0，1，2，，，，所以的分布列为：X012P.17.函数．（1）求函数在区间上的极值点个数，（2）存在实数，对任意的，恒成立，求实数的最大值．答案：（1）极值点个数为2个，分别为，（2）解析：思路：（1）先求导，利用导数研究极值即可求解；（2）由（1）求得的范围，将看作关于的一次函数，令，进而得，进而求解.（1）由题意得：，令，，列表得：x0-0+0+0-减极小值增不是极值点增极大值减由上可知：在区间上的极值点个数为2个，分别为，；（2）由（1）可知，在区间上单调递增，故，将看作关于的一次函数，令，因为，所以是增函数，所以，所以对任意的恒成立，即，所以，故实数b的最大值为．18.某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立.（1）求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.（2）若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率.（3）使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由.答案：（1）0.1（2）0.0486（3）应该引进该自动化检测系统，理由如下：设使用自动化检测系统时每日总支出（即总损失）为元.设备故障且被判为故障的概率为，设备正常却被判为故障的概率为，设备故障却被判为正常的概率为，则.因为，所以应该引进该系统.解析：思路：（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式