湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高一下学期卓越班期末学情调研数学试卷-附解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.3.已知幂函数在单调递增，则（）A. B.0 C.1 D.4.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.5.已知函数，则（）A.1 B. C.0 D.6.若，则（）A. B. C. D.7.设，则“”是“存在，使”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数，若，则（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.10.已知函数，则（）A.的最大值为1B.在上单调递增C.是图象的一条对称轴D.若在上恰有两个零点，则m的取值范围是11.定义在上的函数满足：，且为偶函数.当时，.则（）A.函数的一个周期为4B.函数是偶函数C.函数在区间上的所有零点之和为50D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：__________.13.设，若函数是单调函数，则的最小值为__________.14.设，若对任意，存在，使得.则的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.设集合，（1）若，求实数的取值范围.（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.16.设.（1）若，求的值：（2）若，且，求的值.17.已知函数.（1）若关于的方程在时有实数根，求实数的取值范围；（2）若函数在上有3个零点，（其中），求的值.18.设，已知函数.（1）若函数为奇函数，求的值：（2）若，求函数的最小值；（3）若关于的不等式的最小整数解为2，求的取值范围.19.已知函数的定义域为，若恰好存在个实数，使得（其中），则称函数为“级函数”.（1）判断函数是否为“级函数”？若是，求出的值：若不是，请说明理由；（2）设，记，其中.若函数是“4级函数”，且满足条件的分别为.①求的取值范围；②证明：.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：解不等式化简集合，根据交集的概念求解.解答过程：由，解得，所以，由，解得，所以.所以，故选：A.2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接判断即可.解答过程：命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以所求否定是.故选：C3.已知幂函数在单调递增，则（）A. B.0 C.1 D.答案：C解析：解答过程：因为幂函数在单调递增，所以，解得：4.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间.解答过程：由函数可知，函数的定义域为，又与在上单调递增，所以函数在上单调递增，因为，所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为.5.已知函数，则（）A.1 B. C.0 D.答案：D解析：思路：根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可.解答过程：.故选：D6.若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用三角函数的诱导公式进行计算.解答过程：.故选：B7.设，则“”是“存在，使”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据充分必要条件的定义判断即可.解答过程：或，所以“”是“存在，使”的必要不充分条件，故选：B.8.已知函数，若，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：先分析函数的奇偶性，单调性，再利用中间值比较大小即可.解答过程：函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为偶函数，函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，所以.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：解答过程：对于A，因为，则得，故A正确；对于B，若取，满足，此时，不满足，故B错误；对于C，由题意得，因为，所以，故C正确；对于D，由题意得，因为，所以，则，故D正确.10.已知函数，则（）A.的最大值为1B.在上单调递增C.是图象的一条对称轴D.若在上恰有两个零点，则m的取值范围是答案：ACD解析：思路：对于A，化简得，则当时，取得最大值1；对于B，利用复合函数单调性判断即可；对于C，判断是否成立即可；对于D，，即在上恰有两个零点，结合正弦函数图象及性质得到m的取值范围．解答过程：解：，当时，取得最大值1，故A正确；时，单调递增，此时，又在单调递减，所以在上单调递减，故B错误；，，是图象的一条对称轴，故C正确；，解得或（舍去），在上恰有两个零点，即在上恰有两个零点，，故D正确．11.定义在上的函数满足：，且为偶函数.当时，.则（）A.函数的一个周期为4B.函数是偶函数C.函数在区间上的所有零点之和为50D.答案：ABD解析：思路：由和，可得函数的图象关于对称，由为偶函数得函数的图象关于对称，从而得到函数的周期，即可判断A选项；结合周期有，化简可得，即可判断B选项；对于C，由解得或，结合指数的运算即可求解；对于D，已知得，代入计算即可求解.解答过程：由，得，又，则，即函数的图象关于对称，由为偶函数得，即函数的图象关于对称，所以周期为4，故A对；已知，结合上述周期有，所以，因此函数为偶函数，故B对；，即或，当时，在区间上的解为；当时，在区间上的解为，所有零点之和为，故C错误；由已知得，故D对.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：__________.答案：##解析：思路：根据指数运算性质和对数运算性质求解.解答过程：，故答案为：.13.设，若函数是单调函数，则的最小值为__________.答案：2解析：思路：根据分段函数的单调性，结合指数函数与对数函数的性质即可求解.解答过程：令,，分别作出这两个函数的图象如下：由已知函数是单调函数，则此函数仅能单调递增，故要满足题意需，由于时，，满足,结合图象可得的最小值为.故答案为：14.设，若对任意，存在，使得.则的取值范围为__________.答案：解析：思路：根据给定条件，求出原命题的否定为真时的范围，再求出其补集即可.解答过程：命题“对任意，存在，使得”，的否定为：存在，对任意，，解不等式，得，于是存在，，则两区间长度需要满足，解得，因此对任意，存在，使得成立时，，又，则，所以的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.设集合，（1）若，求实数的取值范围.（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据不等式对应方程的判别式可得满足即可，可求出实数的取值范围.（2）依题意可得是的真子集，再对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式即可求出实数的取值范围.（1），有解，因此可得，得，因此实数的取值范围为.（2）由题意可得是的真子集，，，当时，，符合题意；当，即时，（i）当时，，因此，此情况无解；（ii）当时，，所以，综上，的取值范围是.16.设.（1）若，求的值：（2）若，且，求的值.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用诱导公式及正余弦齐次式法求解.（2）由，结合的关系列式求解.（1）依题意，，由，得，解得，所以.（2）由，得，则，由，得，所以.17.已知函数.（1）若关于的方程在时有实数根，求实数的取值范围；（2）若函数在上有3个零点，（其中），求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过将方程转化为，结合求解范围，进而得到的取值范围；（2）利用余弦函数的对称性确定三个零点的关系，进而求出的值，再代入计算结果即可.（1）将方程变形为，即，因为，即当时，，则，因为，故，所以.（2）因为函数在上有3个零点，等价于方程在上有3个根，令，由，可得，则问题转化为在上有3个根.根据余弦函数的对称性可得，，则，故，即，所以.18.设，已知函数.（1）若函数为奇函数，求的值：（2）若，求函数的最小值；（3）若关于的不等式的最小整数解为2，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用奇函数的定义即可求解；（2）由题化简可得，，结合二次函数的图像与性质即可求解；（3）当时，由得，由函数在上单调递增，得，解不等式即可；当时，由得，由函数在上单调递增，结合单调性说明满足条件的不存在.（1）因为为奇函数，所以，即，，即，，化简得，所以；（2）当时，，故，所以，所以，设，则时取等，所以的最小值为；（3）①时，由得，因为函数在上单调递增，所以要满足题意需，即，化简得，即，所以解得，所以；②因为函数在上单调递增，当时，由得，因为增函数，该不等式的解集形如，不存在最小整数解，故此种情况不成立，综上所述，的取值范围是.19.已知函数的定义域为，若恰好存在个实数，使得（其中），则称函数为“级函数”.（1）判断函数是否为“级函数”？若是，求出的值：若不是，请说明理由；（2）设，记，其中.若函数是“4级函数”，且满足条件的分别为.①求的取值范围；②证明：.答案：（1）是，0；（2）①；②证明见解析.解析：思路：（1）利用“级函数”的定义，结合基本不等式求解判断.（2）①求出函数，令函数，结合指数函数、对勾函数性质探求函数的性质，再利用“4级函数”的定义，结合一元二次方程实根分布列式求出范围；②令函数，进而探求函数的性质并确定，再利用分析法，结合基本不等式推理得证.（1）由函数是级函数，得存在满足，即，即，而，当