湖南省郴州市2025-2026学年高二下学期期末数学质量监测数学试卷-附解析

数学满分150分.考试时间120分钟．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.已知，且，则（）A. B. C. D.5.若双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离之和为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.已知直线与：交于，两点，当面积为时，（）A. B. C.或 D.或7.“米斗”古时候常作为一种称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈，米行及地主家里必备的用具，有一种米斗，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为10，下底面边长为4，该米斗盛满米可盛一斗米，现往该米斗里加米，当米的高度是米斗高度的时，米的体积为（）A.斗 B.斗 C.斗 D.斗8.已知及其导函数的定义域均为，为偶函数，的图象关于点对称，则（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知一组大小不全相等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（）A.标准差为B.极差为C.平均数为D.方差为10.在中，角，，所对的边长分别为，，且，，，则（）A.B.的面积C.的外接圆半径D.是钝角三角形11.在棱长为的正方体中，点是上靠近点的三等分点，点是的中点，是四边形内一点（不包括边界），且满足，则下列选项中正确的是（）A.过点、、的平面截正方体的截面为四边形B.平面与平面所成二面角的平面角的正切值为C.点的轨迹长度为D.的取值范围为三、填空题（本题共小题，每小题分，共分．）12.的展开式中的系数为________．13.已知等差数列中，，公差为，若该数列的前项和仅在时取得最大值，则公差的取值范围是________．14.已知，，过点的直线与单位圆交于，两点，为的中点，则的最大值为________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列的前项和，数列是公比为2的等比数列，且．（1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；（2）求集合中元素的个数，并求所有元素的和．16.如图，在四棱锥中，底面为正方形．是正三角形，且平面平面．（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值．17.已知函数，．（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）若在上恒成立，求的取值范围．18.已知椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）求直线在轴截距的取值范围；（2）求点的轨迹方程；（3）线段的垂直平分线交轴于点，当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？19.航空航天零件的合格率是衡量制造质量的重要指标，典型影响因素包括材料纯度、加工精度、检测标准等．通过改善生产工艺、加强过程质量检测、优化生产流程，可以有效提升一次性加工合格率，降低返工与报废风险，推动高质量发展．（1）某航空制造企业为鼓励生产车间积极优化生产流程，提升零件一次性加工合格率，开展“精益生产，质量为先”活动．下表为开展活动后近5个季度高精度零件的合格情况统计：季度12345一次性加工合格批次数142186229275313若该高精度零件一次性加工合格批次数与季度变量（季度变量依次为1，2，3，4，5，）具有较好的线性相关关系，请根据表中数据建立关于的线性回归方程，并预测第6季度该高精度零件一次性加工合格批次数？（保留整数）（2）企业将参加生产流程优化的车间分成了甲、乙、丙三组进行质量挑战，其规则：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，．假设挑战权在各组的转移只取决于当前拥有挑战权的组，与之前的挑战结果无关．（ⅰ）经过3次挑战后，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望；（ⅱ）经过次挑战后，求挑战权在甲组的概率．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

数学满分150分.考试时间120分钟．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：根据题意结合复数的几何意义分析求解.解答过程：由题意可知：复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B.2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：令，则，又因为，所以，∴.3.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：.4.已知，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：变形得到，对等式两边同时平方，利用向量模长与数量积公式展开，代入模长数值即可求出，再由夹角余弦公式计算结果.解答过程：由，移项得：平方得：已知，所以，即所以.5.若双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离之和为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：渐近线为，焦点为，其中，则焦点到渐近线的距离为，则，故该双曲线的离心率为.6.已知直线与：交于，两点，当面积为时，（）A. B. C.或 D.或答案：D解析：思路：利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长公式表示出的面积，建立方程求解参数.解答过程：由圆的方程，得圆心，半径.设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得.由弦长公式，得弦长.∵的面积为，∴.将上式两边平方得：，令，则，整理得，解得或.①当时，，即，展开化简得，解得或，均符合题意.②当时，，即，展开化简得，其判别式，无实根.综上，的值为或.7.“米斗”古时候常作为一种称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈，米行及地主家里必备的用具，有一种米斗，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为10，下底面边长为4，该米斗盛满米可盛一斗米，现往该米斗里加米，当米的高度是米斗高度的时，米的体积为（）A.斗 B.斗 C.斗 D.斗答案：C解析：思路：利用截面边长随高度线性变化，先求出米面所在截面的边长；再分别用棱台体积公式表示出米斗总体积和米的体积，两者相除即得比例即可求解,解答过程：如图，由已知正四棱台下底面边长为，上底面边长为，将棱台补成完整的棱锥，连接，交平面于点，设，,由与相似，可得，因为，所以，解得，如图，米面正方形为，当米的高度为总高的时，即，所以米面到顶点的距离，原上底面（边长为）到顶点的距离为，因为与相似可得，因为，所以，所以米面正方形边长为，米斗的体积为：米面与棱台下底面所成的棱台的两底面边长为4和8，高为，其体积为：．所以，因为盛满米斗恰为斗，所以此时米的体积为斗.8.已知及其导函数的定义域均为，为偶函数，的图象关于点对称，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据函数的奇偶性可得，利用导数运算得，结合对称性可得，从而与等差数列建立了联系，利用等差数列的求和公式计算即可.解答过程：由为偶函数，得，则．两边取导数，得①．由的图象关于点对称，得②．联立①②得，所以，则数列中所有奇数项是公差为4的等差数列，所有偶数项是公差为4的等差数列．在中，令，得．在中，令，得．在中，令，得，所以，所以数列是以0为首项，2为公差的等差数列，所以，则，A正确.二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知一组大小不全相等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（）A.标准差为B.极差为C.平均数为D.方差为答案：CD解析：解答过程：由题意得，平均数为，方差为，标准差为，极差为，故AB错误；CD正确.10.在中，角，，所对的边长分别为，，且，，，则（）A.B.的面积C.的外接圆半径D.是钝角三角形答案：AB解析：思路：A.由及正弦定理得，结合余弦定理代入边关系解出；B.由已求边长与得，利用面积公式计算；C.用正弦定理求外接圆半径；D.判断最大边对应的角是否为钝角，用余弦定理看其符号.解答过程：选项A：已知，由正弦定理和二倍角公式，约去得.再由余弦定理，代入，联立得，化简整理得，解得或（舍去），故A正确；选项B：由得.由​，得.的面积，故B正确；选项C：由正弦定理，代入​​得，故C错误；选项D：最大边为，对应最大角，由余弦定理，故为锐角，是锐角三角形，故D错误.11.在棱长为的正方体中，点是上靠近点的三等分点，点是的中点，是四边形内一点（不包括边界），且满足，则下列选项中正确的是（）A.过点、、的平面截正方体的截面为四边形B.平面与平面所成二面角的平面角的正切值为C.点的轨迹长度为D.的取值范围为答案：BCD解析：思路：A选项：采用几何延展法，通过延长平面内已知线段找到平面与正方体各棱的交点，根据交点数量判断截面形状；B选项：建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量夹角的三角函数值推导二面角的正切值；C选项：将角相等的条件转化为正切值相等，得到动点满足的距离关系，识别为阿波罗尼斯圆轨迹，计算其在正方形内部的圆弧长度；D选项：结合点与圆的位置关系，计算定点到阿氏圆圆心的距离，结合半径推导圆上动点到的距离范围，注意不包含边界的限制。解答过程：选项A：三个点确定唯一平面，通过找平面与正方体棱的交点判断截面形状：1.延长交棱的延长线于点E：∵是上靠近的三等分点，，，且，∴，相似比为.设，则，解得，即在的延长线上，.2.连接，交棱于点F：∵在延长线上，是中点，，且，∴，得，即是中点，位于棱上.3.找平面与其余棱的交点：继续延长交于点，连接交于点H，此时平面与正方体的交点依次为，共5个点，顺次连接得五边形截面，故截面不是四边形，A错误.以D为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为6，各点坐标为：.选项B：平面的法向量为，平面的两方向向量，，设平面的法向量，则，令解得，即.设二面角平面角为，则，，∴，B正确.选项C：设，，∵，且平面，平面，∴，，∴，即，平方整理得，即Q的轨迹为圆心，半径的圆在面内的部分.该圆与（）交于，与（）交于，两点对应的圆心角为，∴轨迹长度为，C正确.选项D：到圆心的距离为，∴的最小值为，轨迹端点到的距离为，另一端点到的距离小于，又不包含边界，故取不到，∴的取值范围为，D正确.方法提示：方法归纳：1.空间截面问题可通过延长线段找平面与棱的交点，交点数即为截面边数；2.角相等的动点问题可通过正切值转化为距离关系，识别阿氏圆模型简化计算.三、填空题（本题共小题，每小题分，共分．）12.的展开式中的系数为________．答案：10解析：解答过程：展开式的通项公式为，令的次数，此时的次数为，符合要求.故的系数为.13.已知等差数列中，，公差为，若该数列的前项和仅在时取得最大值，则公差的取值范围是________．答案：解析：解答过程：由题意可知，即，∴，即.14.已知，，过点的直线与单位圆交于，两点，为的中点，则的最大值为________．答案：##解析：思路：先利用垂径定理确定动点D的圆的轨迹方程及其取值，再通过向量分解将问题转化为求固定向量与旋转向量的数量积的最大值即可.解答过程：因为是圆的一条弦，且为的中点，所以，即，则点始终在以为直径的圆上运动，设的中点为，，该圆的半径，则该圆的方程为，即，由于直线必须与单位圆交于两点，圆心到直线的距离即，即，即，因为在圆上，则，综上，，由题意得，，其中，则，其中，，其中，因为在圆上，所以，因此，当与同向时，即，取最大值，则，当与同向时，单位向量为，此时，则，以下验证，因为，所以，则，若，即，同时平方得，该不等式恒成立，综上的最大值为.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列的前项和，数列是公比为2的等比数列，且．（1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；（2）求集合中元素的个数，并求所有元素的和．答案：（1），是等差数列（2）9，63解析：思路：（1）由前n项和公式求通项，利用

得到通项表达式，再验证首项是否满足，最后通过相邻项差为常数判断是否为等差数列；（2）将两个数列的通项代入条件

，转化为关于

的幂等式，结合

的范围确定的取值区间，从而求出集合元素个数及和.（1）当时，有，当时，有，又因为，所以时也成立，因此数列的通项公式为．因为，所以是等差数列．（2）由（1）知，，由，得，由题知，所以，所以，4，5，6，7，8，9，10，11共9个数，即集合中元素的个数为9，所有元素的和为63．16.如图，在四棱锥中，底面为正方形．是正三角形，且平面平面．（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值．答案：（1）取的中点，连接是正三角形，又平面平面，且平面平面，平面，平面．平面，又四边形是正方形，，，平面，且，平面．又平面．平面平面．（2）解析：思路：（1）利用两平面垂直的性质先证平面PCD，再证平面PAD，最后由面面垂直的判定即可得证.（2）由（1）建立空间直角坐标系，分别求出平面PAB与平面PBC的法向量，再由法向量夹角求二面角即可求解.（1）略（2）由（1）知平面平面，可建立如图所示的空间直角坐标系，，．，，，．则，，，．设平面的法向量为．平面的法向量为，则，即，取，则，．又由，即，取，则，．，所以平面与平面所成角的正弦值为．17.已知函数，．（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）若在上恒成立，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先求导得到切线的斜率，再根据点斜式写切线方程即可；（2）先分离参数，构造新函数，再通过导数找出的最大值，从而得到的取值范围.（1）依题意，时，函数，且的定义域为，则，，所以切线方程为，即．（2）因为在上恒成立，即在上恒成立，即时，恒成立，则．令，则，令，所以，因为，所以恒成立，即恒成立，所以函数在上单调递减，所以，则在上恒成立，即函数在上单调递减，所以函数的最大值为，所以，即a的取值范围为．18.已知椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）求直线在轴截距的取值范围；（2）求点的轨迹方程；（3）线段的垂直平分线交轴于点，当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？答案：（1）（2）（3）当时，三角形的面积有最大值，最大值为解析：思路：（1）直线与椭圆交于，两点，联立方程组则，即可得到m的取值范围为.（2）设直线与椭圆的交点，，并设，由韦达定理得到，因为点M在直线上，得到，消去m，再确定的范围即可求解.（3）先利用弦长公式得到，再由两点间的距离公式得到，则三角形的面积，可知当，三角形的面积有最大值.（1）设这组平行直线的方程为，把代入椭圆方程，得，这个方程的根的判别式．由，得，所以的取值范围为．（2）设直线与椭圆的交点，，并设，则，，因为点在直线上，所以，与联立，消去，得，又由（1）可知，所以，所以M的轨迹方程为．（3）由韦达定理，，，则，由（2）知，，所以线段的垂直平分线的方程为，所以点的坐标为，则，三角形的面积，当且仅当，即时等号成立，所以当，即时，的面积有最大值，最大值为.19.航空航天零件的合格率是衡量制造质量的重要指标，典型影响因素包括材料纯度、加工精度、检测标准等．通过改善生产工艺、加强过程质量检测、优化生产流程，可以有效提升一次性加工合格率，降低返工与报废风险，推动高质量发展．（1）某航空制造企业为鼓励生产车间积极优化生产流程，提升零件一次性加工合格率，开展“精益生产，质量为先”活动．下表为开展活动后近5个季度高精度零件的合格情况统计：季度12345一次性加工合格批次数142186229275313若该高精度零件一次性加工合格批次数与季度变量（季度变量依次为1，2，3，4，5，）具有较好的线性相关