湖南省株洲市第十三中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷-附解析

湖南株洲市第十三中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．复数z满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，，，则的面积为（

）A． B． C． D．3．若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4．如图，已知抛物线，过作直线交抛物线于，连接，将绕轴旋转一周得到旋转体，则的体积最小值为（）A． B．C． D．5．已知向量满足，且与的夹角为，则（

）A．6 B．10 C．15 D．216．已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（

）A．0.6 B．0.8 C．0.75 D．0.57．如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，若，则（

）A．1 B． C． D．28．2024年，我国彩电、智能手机、计算机等产量继续排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从“跟随”到“引领”的转变，开启了高质量发展的新时代.如图是2024年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图（单位：万台，%），则关于这10个月的统计数据，下列说法正确的是（注：同比，即和去年同期相比）（

）

A．这10个月我国彩电月度产量的中位数为1726万台B．这10个月我国彩电月度平均产量不超过1600万台C．自2024年9月起，各月我国彩电月度产量均同比下降D．这10个月我国彩电月度产量同比增长率的极差不超过0.4二、多选题9．已知，则下列结论正确的是（）A．的取值范围为B．若，则的取值范围为C．若且，则最大值为D．若，则的最小值为10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（

）A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件11．在棱长为2的正方体中，点，分别是棱、的中点，则（

）

A．B．直线与直线相交C．三棱锥外接球的表面积为D．平面截正方体所得的截面面积为三、填空题12．已知是关于的方程的一个根，则______．13．在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则___________.14．若满足，，的恰有一个，则实数k的取值范围是______．四、解答题15．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组.第2组.第3组.第4组.第5组.

(1)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；(2)若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.16．已知向量，，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．17．如图所示，四棱锥中，底面与交于点且，点为线段上靠近的三等分点.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.18．如图，在中，，，在平面内以线段为斜边作等腰直角（点和点在线段两侧）．记，．(1)证明：；(2)当角在变化时，（ⅰ）求边上高的取值范围；（ⅱ）若，，三点不共线，求正切值的取值范围．19．已知，存在，使得成立，且的最小值为.(1)求的值；(2)若函数，(i)求函数的值域；(ii)若函数，求的最小值.参考答案1．D解析：，则，故的虚部为.故选：D.2．D解析：由，得，∴，解得，．∴．故选：D.3．B解析：由，得与相交或或，故A错误；由，得，故B正确；由，得或，故C错误；由，得或相交或异面，故D错误.故选：B4．D解析：设，，，设直线：，m显然存在，则，可得，则：，，设M、N关于y轴的对称点分别为、，记以等腰梯形绕y轴旋转一周得到圆台体积为，以为底面直径，O为顶点的圆锥体积为，以为底面直径，O为顶点的圆锥体积为，则所求旋转体体积为：.当且仅当，即时等号成立，此时所求旋转体体积的最小值为．故选：D.5．C解析：由，且与的夹角为，，，故C正确.故选：C6．C解析：记甲击中目标为事件，记乙击中目标为事件，则，，记击中目标为事件，则，所以，又，所以.7．C解析：如图，取的中点D，由外心的性质可知，所以.由可得.对两边同时点乘，得，所以，由，知，所以，由正弦定理得，所以.在中，，所以，又，所以，所以，解得.8．D解析：将这10个月我国彩电月度产量（单位：万台）按从小到大排列依次为1513，1540，1553，1650，1727，1783，1802，1846，1926，2097，中位数为第5个数与第6个数的平均数，即，A错误；这10个月我国彩电月度平均产量为万台，B错误；自2024年9月起，我国彩电月度产量虽然逐月减少，但同比是与去年同月相比，由同比增长率可知，9月、10月、11月的同比增长率均为正数，故月度产量同比有所增长，C错误；由题图可知，这10个月产量的同比增长率的最大值与最小值分别为25.6%与-8.3%，故其极差为，故D正确.故选：D.9．ABD解析：当、、能围成三角形，且、、时，有，则，当、、共线且同向时，有，故，故的取值范围为，故A正确；若，则，则当与反向时，取最大值，，当与同向时，取最小值，，故取值范围为，故B正确；，即，则可设，，则，其中，故最大值为，故C错误；，由，则，则，故，故的最小值为.10．BCD解析：设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，故A错；，故B对；而，故C对；两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.故选：BCD.11．CD解析：对于选项A：连接，，，

因为，且，可知为平行四边形，则，，又因为为正方形，则，且平面，平面，则，又因为，平面，可得平面，且平面，所以与不垂直，故A错误；对于选项B：因为平面，平面，，可知直线与直线异面，故B错误；对于选项C：设，，的中点分别为，，，

可知为长方体，且，，则三棱锥外接球即为长方体外接球，可知外接球半径，外接球的表面积为，故C正确；对于选项D：连接，，，

因为分别为的中点，则，，且，，可得，，可知平面截正方体所得的截面为梯形，则，，可知等腰梯形的高，所以截面面积为，故D正确.12．解析：因为是关于的方程的一个根，所以，整理得，所以，解得，故，故答案为：．13．1解析：以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则，，，，有，由得：，而的取值范围为，于是得，而m为正数，解得：，所以.故答案为：114．解析：已知，则由正弦定理，则，又，当时，有两解；当或时，有唯一解，故．故答案为：15．(1)，150(2)解析：（1）由频率分布直方图知：，可得，所以估计500名志愿者中年龄在的人数为.（2）由题设，第2组.第4组和第5组的频率之比为，则6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，则抽取两人的基本事件有，，共15个，而2名志愿者中恰好来自同一组的基本事件有：，共4个，所以抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.16．(1)(2)．解析：（1）因为，，由，可得，解得．（2）依题意，若，则有，解得，所以，．17．(1)连接，由于，所以，且，所以，又点为线段上靠近的三等分点，所以，所以.又平面平面，所以平面.(2)解析：（1）略（2）由题知且，，得，，又，所以由余弦定理得：，所以，所以，所以.面，所以面，因为面，所以.又知，设到面的距离为，所以，即，解得，即点到平面的距离为.18．(1)在中，由余弦定理得，所以．又因为，由余弦定理得．由正弦定理得，所以．因为，所以，从而．(2)（ⅰ）；（ⅱ）解析：（1）略（2）以点为原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，则，．因为，且，所以点在点的左上方，故．令，，则．设为的中点，则．因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且．又，把逆时针旋转得到向量．由于点和点在线段两侧，应取，所以．（ⅰ）设边上的高为．由于在轴上，所以等于点的纵坐标，即．当时，．因为，所以．因此．（ⅱ）设．由点的坐标得，．因为，边上的高为，所以．又，所以．另