湖北省孝感市楚天教科研协作体2025-2026学年高一下学期6月期末数学试卷-附解析

数学一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若（为虚数单位），则复数的虚部是（）A. B. C. D.2.已知角的终边过点，则（）A. B. C. D.3.已知平面，和直线，下列结论正确的是（）A.，则B.，则C.，则D.若与是异面直线，，，则4.孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶.泡茶时讲究高冲低斟､均分茶汤.茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶分多杯是工夫茶“分茶奉幸､礼敬宾朋”的习俗.如图，一把圆台形茶壶，上口半径，下口半径，高；配套圆柱形品茗杯，底面半径，高.装满一壶茶水，最多能倒满（）杯.A. B. C. D.5.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，那么在上的投影向量是（）A. B. C. D.6.已知，在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则的值为（）A. B. C. D.7.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，他选取了与该楼底部在同一水平面内三个共线的测量基点，分别测得塔顶点的仰角为，且，示意图如图，则该楼高（）A. B. C. D.8.已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.有三种个体按的比例分层随机抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为B.数据的极差与众数之和为6C.一组数据，在这组数据中插入一个数5，方差变大D.数据的上四分位数是10.在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，，则有两解C.若，则是锐角三角形D.若，则一定是等边三角形11.已知正三棱柱的高为4，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则（）A.B.平面平面C.截面是等腰梯形D.该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，则原四边形的面积为__________.13.已知函数，是奇函数且在上单调递减，则__________.14.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知中，角所对的边分别为，且，则__________.若点为的费马点，，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者.竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按，，，，分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值，并估计考核得分的第70百分位数；（2）已知落在内的平均成绩是85分，方差是6，内的平均成绩是97分，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为､､；､､，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差.16.在复平面内，是坐标原点，向量、对应的复数分别为，.（1）的对应点在第四象限，求实数的取值范围；（2）当时，以、分别为正四棱柱底面棱长和侧棱长，、分别是、的中点，求异面直线与所成角的余弦值.17.行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为.已知函数.（1）当时，求的单调递增区间；（2）若对任意的，都有解，求实数的取值范围.18.在中，角所对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若是线段的中点，且，，求；（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.19.如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，其中，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）为上的动点，以为直径作球，设，若球被平面截得的截面圆的面积为，求的最小值.

数学一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若（为虚数单位），则复数的虚部是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出复数后利用虚部定义即可得.解答过程：，故复数的虚部是.2.已知角的终边过点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据三角函数的定义求出角α的正弦、余弦值，再利用二倍角正弦公式计算即可.解答过程：因角α的终边经过点，点P到原点的距离为，则，，故.

3.已知平面，和直线，下列结论正确的是（）A.，则B.，则C.，则D.若与是异面直线，，，则答案：B解析：解答过程：，只有当直线垂直于两个平面交线时，，当前条件无法推出线面垂直，故A错误；设，由面面垂直性质，内存在直线垂直于，直线与平行，且，故，B正确；，两个平面可以相交，如两个相交平面内各取一条互相平行的直线，满足条件但平面不平行，故C错误；异面直线分别在两个平面内，两个平面可以相交，故D错误．4.孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶.泡茶时讲究高冲低斟､均分茶汤.茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶分多杯是工夫茶“分茶奉幸､礼敬宾朋”的习俗.如图，一把圆台形茶壶，上口半径，下口半径，高；配套圆柱形品茗杯，底面半径，高.装满一壶茶水，最多能倒满（）杯.A. B. C. D.答案：C解析：思路：分别利用圆台和圆柱的体积公式计算出茶壶和茶杯的容积，求商即可求得结果.解答过程：设圆台形茶壶的上口半径为，下口半径为，高为，圆柱形品茗杯的底面半径为，高为，则，根据圆台的体积公式，可得茶壶的容积.根据圆柱的体积公式，可得品茗杯容积，则最多能倒满的杯数为.故最多能倒满15杯.5.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，那么在上的投影向量是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用平行四边形性质求出、，再利用投影向量定义计算即可得解.解答过程：由题意可得，，则，故在上的投影向量是.6.已知，在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先联立两个三角函数解析式求交点坐标，取距离最短的两交点利用两点间距离公式计算即得的值.解答过程：令，整理得，，因此，解得交点横坐标为，对应的纵坐标，取相邻的两交点，当时，交点为，当时，交点为.由，，因，所以.7.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，他选取了与该楼底部在同一水平面内三个共线的测量基点，分别测得塔顶点的仰角为，且，示意图如图，则该楼高（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设楼高

，在三个直角三角形中分别用

表示出

的长度，然后利用余弦定理和等腰三角形性质建立方程求解.解答过程：设楼高

m，因为

平面

，所以

均为直角三角形.在Rt

中，，所以

.在Rt

中，，即，所以.在Rt

中，，所以.因为

，所以

为等腰三角形.又

三点共线，且

，所以

.取

的中点，连接

.因为

，所以

.在Rt

中，，.在

中，由余弦定理得：

，

即

，整理得，解得

，即

.故该楼高

为

m.8.已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：以为原点，建立平面直角坐标系。利用坐标结合基本不等式求向量数量积的最大值.解答过程：因为，所以可以为原点，建立如图平面直角坐标系：因为，所以点坐标为，因为，所以，，所以，，所以，因为，所以，当且仅当即时取等号.所以.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.有三种个体按的比例分层随机抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为B.数据的极差与众数之和为6C.一组数据，在这组数据中插入一个数5，方差变大D.数据的上四分位数是答案：BD解析：解答过程：分层抽样比例，个体数为9，设每份为，则，故，总样本量为，故A错误；数据的极差为，众数为2，两数之和为，故B正确；数据均值，方差，插入数字5，均值仍为5，方差，方差变小，故C错误；数据升序排列为，共8个数据，上四分位的位置，为第6、7个数的平均值：，故D正确．10.在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，，则有两解C.若，则是锐角三角形D.若，则一定是等边三角形答案：ACD解析：思路：结合三角形边角关系，利用正弦定理、余弦定理、三角函数性质对各选项逐一分析判断.解答过程：选项A：因为在中，由可得，由正弦定理（为外接圆半径），得，，因此，即，A正确；选项B：由正弦定理，得，则无解，B错误；选项C：由可知为最大边，故为最大角，假设，由余弦定理，，两边同乘以，得，因为所以，，则，这与矛盾，假设不成立，即是锐角三角形，C正确；选项D：由和正弦定理，可得，即，因为，所以，D正确.11.已知正三棱柱的高为4，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则（）A.B.平面平面C.截面是等腰梯形D.该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为答案：BCD解析：思路：根据内切球半径，可求正三棱柱底面边长，判断A的真假；利用面面垂直的判定定理，可判断B的真假；作出截面，可判断C的真假；利用台体和柱体的体积公式求体积，可判断D的真假.解答过程：如图：设正三棱柱中，下底的中心为，上底的中心为，直线交直线于，直线交于，则，分别为，的中点.因为正三棱柱的高为4，且有内切球，所以内切球半径为.对A：因为正三棱柱内切球半径为，所以内切圆的半径也为2，即，所以，所以，故A错误；对B：在中，，，所以.同理，，所以，即.又，，平面，，所以平面，又平面，所以.平面，，所以平面.又平面，所以平面平面，故B正确；对C：延长交于点，则为中点，过作，分别交，于点，则等腰梯形即为截面，故C正确；对D：平面截三棱柱成两部分，台体与几何体.因为，设的面积为，则的面积为.所以，，所以.所以该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，则原四边形的面积为__________.答案：解析：解答过程：在直角梯形中，为等腰直角三角形，，则，四边形是梯形，下底边长，上底边长，高，所以四边形的面积.13.已知函数，是奇函数且在上单调递减，则__________.答案：解析：思路：根据函数为奇函数得出或，然后对或进行分类讨论，分析可知，由可得，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得的值.解答过程：因为函数是奇函数，则，因为，所以或.因为，若，则为常值函数，不符合题意，所以，（1）若，则，当时，，因为正弦函数在上单调递增，故函数在上不可能单调递减，不符合题意；（2）若，则，当时，，因为函数在上单调递减，且函数在上单调递减，则，所以，解得，因为，所以，符合题意.综上所述，.14.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知中，角所对的边分别为，且，则__________.若点为的费马点，，则__________.答案：①.②.解析：思路：利用二倍角公式和正弦定理边化角可求得；根据费马点定义和向量数量积定义可化简所求式子为，利用面积桥可构造方程求得，代入所求式子即可.解答过程：，，由正弦定理得：，；为直角三角形，为的费马点，，设，，，则；，，，.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者.竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按，，，，分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值，并估计考核得分的第70百分位数；（2）已知落在内的平均成绩是85分，方差是6，内的平均成绩是97分，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为､､；､､，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差.答案：（1），第百分位数为；（2）平均数，方差.解析：思路：（1）根据频率分布直方图求出及计算样本数据的第百分位数.（2）先求出总体平均数，再利用分层抽样的方差公式求解即可.（1）由频率分布直方图,得，因此；成绩在的频率为，成绩在的频率为，因此考核得分的第70百分位数，由，解得，所以考核得分的第70百分位数为.（2）依题意，成绩落在的频率为，成绩落在的频率为，所以，.16.在复平面内，是坐标原点，向量、对应的复数分别为，.（1）的对应点在第四象限，求实数的取值范围；（2）当时，以、分别为正四棱柱底面棱长和侧棱长，、分别是、的中点，求异面直线与所成角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用复数的除法化简复数，根据复数的几何意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（2）求出向量、的坐标，由题意得出可求出的值，进而可求得、的值，连接、、，根据异面直线所成角的定义可知异面直线与所成角为或其补角，求出的三边边长，结合余弦定理求解即可.（1）由题意可得，因为的对应点在第四象限，则，解得，故实数的取值范围是.（2）由复数的几何意义可得，，因为，则，解得，则，所以，，故正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，连接、、，如下图所示：因为、分别为、的中点，所以，在正四棱柱中，，，则得，所以，故，所以异面直线与所成角为或其补角，因为平面，平面，所以，则，同理可得，，由余弦定理可得，因此异面直线与所成角的余弦值为.17.行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为.已知函数.（1）当时，求的单调递增区间；（2）若对任意的，都有解，求实数的取值范围.答案：（1）单调递增区间为和（2）的取值范围为解析：思路：先根据二阶行列式运算法则化简为正弦型函数，第一问结合正弦函数单调性和定义域求递增区间；第二问将方程有解转化为求二次函数在值域上的取值范围。

解答过程：(1)正弦函数的单调递增区间满足，令，则：

解得，结合：当时，得区间；当时，得区间,故的单调递增区间为和;(2)方程有解等价于，即的取值范围为函数在值域上的取值范围：当时，，故，因此,令，则，该二次函数开口向上，对称轴为：当时，取最小值；当时，取最大值，即,故的取值范围为。18.在中，角所对边分别