吉林省吉林市省部分校2025-2026学年高二下学期7月期末联考数学试卷-附解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则的元素个数为（）A.16 B.12 C.8 D.42.已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.3.超市的某商品从甲、乙两个工厂进货的数量分别占总数的，，且甲、乙两工厂此产品的优品率分别为，．若小明同学从该超市购买一件该商品，则该商品是优品的概率为（）A. B.C. D.4.若曲线在处的切线方程为，则（）A.1 B.2 C.3 D.45.已知变量y与变量x线性相关，y与x的样本相关系数为，且样本数据的平均数分别为，，则y关于x的经验回归方程可能是（）A. B.C. D.6.除以7的余数为（）A.1 B.2 C.3 D.47.若，，且，则（）A.， B.，C.， D.，8.已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，为两个随机事件，且，，，则（）A.B.C.D.与相互独立10.若，则（）A. B.C. D.11.设关于X，Y，Z的三元方程的正整数解的组数为，其中a，b，c均为常数，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若随机变量，且，，则_______．13.已知函数的导函数，且，则在上的最小值为_______．14.在的展开式中，只有第25项的二项式系数最大，则_______，在的展开式中，含项的系数为_______（结果用数字作答）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层．该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积冰（不合格）的情况，整理得到如下列联表：防冰涂层类型积冰情况合计无积冰有积冰

电热防冰涂层7030100疏水防冰涂层8515100合计15545200（1）分别求两种防冰涂层的合格率；（2）依据的独立性检验，能否认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联？参考公式：，其中．参考数据：0.050.013.8416.63516.吉林雾凇是中国四大自然奇观之一，冬季江水不冻，水汽遇低温凝华在树枝上形成洁白蓬松的雾凇，冰清玉洁，仪态万千．某文创店推出的雾凇盲盒销售火爆，货架上仅存6个盲盒，其中4个盲盒中各有1个雾凇冰箱贴，另外2个盲盒中各有1个雾凇冰晶挂件．（1）若甲先购买1个盲盒，乙再购买1个盲盒，求甲买到雾凇冰箱贴且乙买到雾凇冰晶挂件的概率；（2）若甲一次性购买4个盲盒，甲买到的雾凇冰箱贴数量为，雾凇冰晶挂件数量为，记，求的分布列与期望．17.已知三对夫妻坐成一排照相．（1）求不同的排列数；（2）求每对夫妻两人均相邻的排列数；（3）求同性别的人均不相邻的排列数．18.某同学进行投篮训练，投中1次记1分，未投中1次记分，n次投篮后累计得分为X，当或时，训练结束．设该同学每次投中的概率均为，各次投中与否相互独立．（1）当时，求；（2）求时训练结束的概率；（3）记该同学恰好经过m次投篮后训练结束，证明：．19.（1）证明：函数在上单调递增．（2）已知函数有两个不同的零点，．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则的元素个数为（）A.16 B.12 C.8 D.4答案：A解析：解答过程：，，则，则的元素个数为16.2.已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据导函数的图象判断其在区间上的符号，进而确定原函数的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小.解答过程：由的图象可知，当时，的图象位于

轴下方，即在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递减，因为，所以，故D正确.3.超市的某商品从甲、乙两个工厂进货的数量分别占总数的，，且甲、乙两工厂此产品的优品率分别为，．若小明同学从该超市购买一件该商品，则该商品是优品的概率为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：记事件“任意购买一件买到优品”，事件“买到甲工厂的产品”，事件“买到乙工厂的产品”，则，，所以买到优品的概率．4.若曲线在处的切线方程为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合已知求出即可.解答过程：由，求导得，由曲线在处的切线方程为，得，解得，当时，，所以.5.已知变量y与变量x线性相关，y与x的样本相关系数为，且样本数据的平均数分别为，，则y关于x的经验回归方程可能是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据相关系数的性质以及经验回归方程过样本中心点逐项分析判断.解答过程：因为x与y的样本相关系数为，可知x与y为负相关，故C，D错误；又因为经验回归方程过样本中心点，对于A项，，则，故A错误；对于B项，，则，故B正确．6.除以7的余数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解析：解答过程：因为，所以除以7的余数为1.7.若，，且，则（）A.， B.，C.， D.，答案：B解析：思路：利用二项分布的期望和方差公式，结合已知条件判断.解答过程：已知，，因此，，由题设，得，即，排除C、D选项，，，作差得：，由题设，所以，，因此，即，综上，且.8.已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据导数与极值点的关系，结合诱导公式及三角函数性质求解即可..解答过程：.令，则，即.令，当时，，则问题可转化为在上有两个不同的解，即与在上有两个交点.易知在上单调递减，在单调递增.又当时，；当时，，当时，，简图如下：所以.故的取值范围为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，为两个随机事件，且，，，则（）A.B.C.D.与相互独立答案：ACD解析：解答过程：,选项A,,A正确;选项B,在发生的条件下，与对立,,B错误;选项C,,C正确;选项D,,故相互独立，D正确10.若，则（）A. B.C. D.答案：BC解析：解答过程：令，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，因此，D错误.11.设关于X，Y，Z的三元方程的正整数解的组数为，其中a，b，c均为常数，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：利用隔板法可判断A；分类讨论法分别计算对应三元方程的正整数解组数，再逐一验证其余选项的正误.解答过程：选项A，由题意知，即的正整数解的组数，由隔板法，正整数解组数为，故A错误.选项B：，即的正整数解的组数，由，得，对分类：

当时，，共6组；当时，，共4组；当时，，共3组；当时，，共1组，总和为，，即的正整数解的组数，由，得，对分类：当时，，共6组；当时，，共4组；当时，，共3组；当时，，共1组，总和为，两者相等，故B正确.选项C：，即的正整数解的组数，由，，得，故，对每个，的正整数解组数为，总组数为：

，C正确.选项D：，即的正整数解的组数，得，（），总组数为，，即的正整数解的组数，同理计算得总组数为，显然，即，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若随机变量，且，，则_______．答案：##解析：解答过程：已知随机变量，全体事件的概率和为，根据概率性质：

，由已知条件计算：，，代入得：

13.已知函数的导函数，且，则在上的最小值为_______．答案：0解析：思路：利用导数研究函数单调性及闭区间上函数最值的求解，首先由条件求出，再得出在上的单调性，即可求解最小值.解答过程：已知函数的导函数，所以（为常数），由代入求出，故，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.又，，，因此在上的最小值为0.14.在的展开式中，只有第25项的二项式系数最大，则_______，在的展开式中，含项的系数为_______（结果用数字作答）．答案：①.48②.19600解析：思路：根据二项式定理及组合数的性质求解即可.解答过程：只有第25项的二项式系数最大，则展开式共有项，所以.根据二项式定理，中项的系数为，所以在的展开式中，含项的系数为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层．该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积冰（不合格）的情况，整理得到如下列联表：防冰涂层类型积冰情况合计无积冰有积冰

电热防冰涂层7030100疏水防冰涂层8515100合计15545200（1）分别求两种防冰涂层的合格率；（2）依据的独立性检验，能否认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联？参考公式：，其中．参考数据：0.050.013.8416.635答案：（1）电热防冰涂层合格率为，疏水防冰涂层合格率为.（2）在的独立性检验下，可以认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联．解析：（1）由列联表可知，电热防冰涂层总数量100，合格数量70，故电热防冰涂层的合格率为，疏水防冰涂层总数量100，合格数量85，故疏水防冰涂层的合格率为．（2）零假设为：防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰无关，根据列联表中的数据，计算得到，根据的独立性检验，我们推断不成立，即认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关．16.吉林雾凇是中国四大自然奇观之一，冬季江水不冻，水汽遇低温凝华在树枝上形成洁白蓬松的雾凇，冰清玉洁，仪态万千．某文创店推出的雾凇盲盒销售火爆，货架上仅存6个盲盒，其中4个盲盒中各有1个雾凇冰箱贴，另外2个盲盒中各有1个雾凇冰晶挂件．（1）若甲先购买1个盲盒，乙再购买1个盲盒，求甲买到雾凇冰箱贴且乙买到雾凇冰晶挂件的概率；（2）若甲一次性购买4个盲盒，甲买到的雾凇冰箱贴数量为，雾凇冰晶挂件数量为，记，求的分布列与期望．答案：（1）（2）的分布列为024．解析：（1）甲买到雾凇冰箱贴且乙买到雾凇冰晶挂件的概率为．（2）当,当,当,的所有可能取值为0，2，4．，，，则的分布列为024故．17.已知三对夫妻坐成一排照相．（1）求不同的排列数；（2）求每对夫妻两人均相邻的排列数；（3）求同性别的人均不相邻的排列数．答案：（1）（2）（3）解析：思路：根据题设要求，选择捆绑法，插空法，特殊位置优先法，以及分步乘法，分类加法计数原理求解即得.（1）6人坐成一排，不同的排列数为；（2）要求每对夫妻均相邻，使用捆绑法，将每对夫妻看作1个整体，共得到3个整体，则不同的排列数为；（3）要求同性别的人均不相邻，仅存在两种性别排列方式：男女男女男女；女男女男女男，则不同的排列数为.18.某同学进行投篮训练，投中1次记1分，未投中1次记分，n次投篮后累计得分为X，当或时，训练结束．设该同学每次投中的概率均为，各次投中与否相互独立．（1）当时，求；（2）求时训练结束的概率；（3）记该同学恰好经过m次投篮后训练结束，证明：．答案：（1）（2）（3）因为该同学恰好经过m次投篮后训练结束，所以为偶数，故的可能取值为，；；；.则，两边同乘以得，，两式作差得，即.解析：思路：（1）2次投篮得分，说明1次投中，1次没有投中；（2）时训练结束，说明前2次得分为0，第3、第4次得分为0，后两次得分为2或；（3）先求时的概率，再利用期望的计算公式求出的值判断.（1）2次投篮得分，说明1次投中，1次没有投中，因此.（2）时训练结束，说明前2次投篮为投中1次，未投中1次，得分．第3次、第4次投篮为投中1次，未投中1次，得分．第5次、第6次投篮为连续2次投中，或连续2次未投中，得分或．故时训练结束的概率为．（3）略19.（1）证明：函数在上单调递增．（2）已知函数有两个不同的零点，．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．答案：（1）函数的定义域为，，令，则．当时，，所以在单调递减，