吉林省吉林市毓文中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷-附解析

数学考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡．第Ⅰ卷主观题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件3.在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则的常数项为（）A. B.180 C. D.604.若将6张互不相同的优惠券分给3名消费者，每名消费者至少分得1张，则不同的分法种数为（）A.240 B.540 C.630 D.10805.已知，，，则A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.96.若函数为偶函数，则（）A. B. C. D.7.已知实数满足，则下列选项错误的是（）A.的最大值为 B.的最小值为C.若，则 D.若，则8.已知函数，，若，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点B.已知关于的经验回归方程为y^=0.3−0.7x，则样本点的残差为C.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则，的值分别是和4D.由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断，独立10.关于函数，下列说法正确的是（

）A.的单调递减区间为B.当时，的最小值为C.的极大值为D.在点处的切线方程为11.某科技企业通过一家代工厂为其加工某种零部件，加工后的零部件先由智能检测系统进行检测，智能检测系统能检测出不合格零部件，但会把的合格零部件判定为不合格，所以智能检测系统检测出的不合格零部件需要进行人工第二次检测，人工检测可以准确检测出合格与不合格的零部件，通过统计需要人工进行第二次检测的零部件中，零部件的合格率为，则（）A.该零部件的合格率为B.从该代工厂加工的零部件中任取100个，则取到的合格品个数的均值为96C.从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，若至少有1个为合格品，则第1次取到合格品的概率为D.从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，取到5件或6件合格品的概率最大第Ⅱ卷客观题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量X的分布列为，，则的值为____________．13.已知函数的定义域是，，，当时，，则________.14.当时，恒成立，则k的最大整数值为_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；16.下表提供了甲产品的产量（吨）与利润（万元）的几组对照数据．（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）计算相关指数的值，并判断线性模型拟合的效果．参考公式：，17.已知函数，函数（1）若函数在和上的单调性相反，求的解析式；（2）若，不等式在上恒成立，求的取值范围．18.莆田二中高二某实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为．（1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率；（2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望；（3）现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每位体测成绩“及格"的学生计3分，给每位“非及格”的学生计1分，求这10名学生的总得分的数学期望．19.已知函数．（1）求函数的最小值；（2）证明：对任意恒成立；（3）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称直线存在“伴侣切线”．特别地，当时，又称直线存在“中值伴侣切线”．试问：当时，对于函数图象上不同两点、，直线是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

数学考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡．第Ⅰ卷主观题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：求解集合，再由集合的并集求解即可.解答过程：因为，或，所以或.2.若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件答案：D解析：思路：由幂函数、奇偶性的性质，根据条件间的推出关系确定条件间的关系.解答过程：当，则，显然函数为非奇非偶函数，充分性成立，当幂函数，则，即，得或，若，即为非奇非偶函数，满足，若，即为奇函数，不满足，所以，故必要性成立，综上，p是q的充要条件.3.在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则的常数项为（）A. B.180 C. D.60答案：D解析：解答过程：因为在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，所以展开式共有7项.由，所以.设展开式的通项公式为：.由解得.所以展开式的常数项为.4.若将6张互不相同的优惠券分给3名消费者，每名消费者至少分得1张，则不同的分法种数为（）A.240 B.540 C.630 D.1080答案：B解析：思路：根据不同元素的分组分配问题求解，先分组，再分配.解答过程：先对6张互不相同的优惠券分组，再分配.按“”分组后再分配，不同的分法种数为；按“”分组后再分配，不同的分法种数为；按“”分组后再分配，不同的分法种数为.所以不同的分法种数为.5.已知，，，则A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9答案：D解析：解答过程：分析：根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．详解：由题意，

∵随机变量，，

∴故选D．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．6.若函数为偶函数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用偶函数的定义对定义域内所有x恒成立，求出参数a的值，再代入计算即可.解答过程：由得，所以函数的定义域关于原点对称，又函数为偶函数，则对任意，恒成立，即，整理得，该式对所有恒成立，故，，所以.7.已知实数满足，则下列选项错误的是（）A.的最大值为 B.的最小值为C.若，则 D.若，则答案：D解析：思路：利用基本不等式，结合一元二次不等式的解法逐项求解判断.解答过程：对于A，，则，当且仅当取等号，A正确；对于B，，则，当且仅当取等号，B正确；对于C，当时，，当且仅当取等号，则，因此，C正确；对于D，当时，，当且仅当取等号，则，D错误.8.已知函数，，若，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：结合题意构造函数，得到，化简，根据二次函数的性质求出的最小值.解答过程：因为，，，所以，令，所以在上单调递增，所以，即，所以，当且仅当时等号成立.故选：A方法提示：方法点睛：本题运用了构造函数法，根据已知条件的结构特点构造出合适的函数，然后利用函数的单调性来建立等式关系，再结合二次函数等知识求最值.这种构造函数的方法在解决函数综合性问题中经常使用，能够将复杂的问题转化为熟悉的函数问题进行求解。二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点B.已知关于的经验回归方程为y^=0.3−0.7x，则样本点的残差为C.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则，的值分别是和4D.由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断，独立答案：BC解析：思路：回归分析、残差计算、非线性回归转化及独立性检验的核心概念，结合各知识点逐一判断选项正误．解答过程：对于A，经验回归方程对应的经验回归直线经过样本中心，但不一定经过其样本数据点中的一个点，故A错误；对于B，已知关于的经验回归方程为y^=0.3−0.7x，则样本点的残差为，故B正确；对于C，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，则，即，故C正确；对于D，由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，故判断不独立，故D错误．10.关于函数，下列说法正确的是（

）A.的单调递减区间为B.当时，的最小值为C.的极大值为D.在点处的切线方程为答案：ACD解析：解答过程：函数，．由，得或，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，故A正确；当时，单调递增，的最小值为，故B错误；当时，函数取得极大值，故C正确；，，它在点处的切线方程为，故D正确．11.某科技企业通过一家代工厂为其加工某种零部件，加工后的零部件先由智能检测系统进行检测，智能检测系统能检测出不合格零部件，但会把的合格零部件判定为不合格，所以智能检测系统检测出的不合格零部件需要进行人工第二次检测，人工检测可以准确检测出合格与不合格的零部件，通过统计需要人工进行第二次检测的零部件中，零部件的合格率为，则（）A.该零部件的合格率为B.从该代工厂加工的零部件中任取100个，则取到的合格品个数的均值为96C.从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，若至少有1个为合格品，则第1次取到合格品的概率为D.从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，取到5件或6件合格品的概率最大答案：BCD解析：思路：设零部件的合格率为，由题意解方程，判断A；记取到的合格品个数为，则可判断B；根据条件概率公式判断C；记取到件合格品，则求概率的最大值判断D.解答过程：设零部件的合格率为，由题意可得，解得，故A错误；从该代工厂加工的零部件中任取100个，记取到的合格品个数为，则，故B正确；从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，至少有1个为合格品的概率为，所以所求概率为，故C正确；从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，记取到件合格品，则，所以当时，，当时，，当时，，所以或最大，故D正确.故选：BCD.方法提示：关键点点睛：D选项中根据求概率最大值.第Ⅱ卷客观题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量X的分布列为，，则的值为____________．答案：##0.4解析：思路：根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．解答过程：∵，，∴，∴，故答案为：．13.已知函数的定义域是，，，当时，，则________.答案：0解析：解答过程：由得：，又，，，，.14.当时，恒成立，则k的最大整数值为_____．答案：解析：思路：根据题意构造，利用导数，结合隐零点求出在给定区间上的最小值的取值范围，从而可求得k的最大整数值．解答过程：令，则，因为，令，则，当时，，即在上单调递增，因为，所以，使得，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，故在时有，且.又因为，由题意可知，且取最大整数，所以的最大整数值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；答案：（1）答案见解析（2）解析：思路：（1）求导可得，分和进行讨论即可得解；（2）根据题意参变分离可得恒成立，令，求出的最大值即可得解.（1）依题意，，当时，显然，所以在上单调递增；当时，令，得；令，；即在上单调递增，在上单调递减．（2）由题意得恒成立，等价于恒成立，令，即时成立．则，当时，，当时，，那么在上单调递增，在上单调递增减，所以，所以．16.下表提供了甲产品的产量（吨）与利润（万元）的几组对照数据．（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）计算相关指数的值，并判断线性模型拟合的效果．参考公式：，答案：（1）；（2）R2=0.98，拟合效果好解析：思路：（1）由题为算回归方程，可先由表中的数据，分步求出平均数，再根据公式算出所需的量，代入公式可得回归方程．（2）由题为计算相关指数的值，可运用所给的公式分步计算所需的值得出，因为越大拟合的效果较好，可下结论．解答过程：（1），∴，，∴，∴，∴关于的线性回归方程.（2）,预测值如下表：故∴，∴线性模型拟合的效果较好.17.已知函数，函数（1）若函数在和上的单调性相反，求的解析式；（2）若，不等式在上恒成立，求的取值范围．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解；（2）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可.（1）因为函数在和上的单调性相反，所以函数为二次函数且对称轴为，即，所以.（2）由题意得：即，即在上恒成立，由在上单调递减，所以问题转化为在上恒成立，即在上恒成立，等价于求在上的最大值，令，由，则，则，由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下，所以在上单调递减，所以，所以，又，所以的取值范围是．18.莆田二中高二某实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为．（1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率；（2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望；（3）现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每位体测成绩“及格"的学生计3分，给每位“非及格”的学生计1分，求这10名学生的总得分的数学期望．答案：（1）（2）随机变量的分布列为0123（3）解析：思路：（1）根据题意，设出事件，结合全概率公式，即可求解；（2）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用超几何分布的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；（3）设表示“合格”学生人数，表示“总得分”，得到，且，结合期望的性质，即可求解.（1）解：设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生