吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第三高级中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷-附解析

数学满分150分，考试时间90分钟。第Ⅰ卷（选择题58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在等差数列中，，，则公差为（）A. B. C. D.2.下列求导运算结果错误的是（）A. B.C. D.3.五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为()A.12 B.24 C.48 D.1204.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（）A. B. C. D.5.等比数列中，，是方程的两根，则等于（）A. B.4 C. D.以上都不对6.某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表：耕种深度2356每公顷产量m578发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（）A.4 B.6 C.8 D.107.函数的单调递增区间为（）A. B.C.， D.，8.展开式中的常数项为（）A.8 B.9 C.10 D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.下列关于数列的说法正确的是（）A.等差数列的前项和一定是二次函数B.等比数列的公比不能为0C.若首项不等于零的数列满足，则是等比数列D.等差数列中，若，则10.若函数的导函数的图象如下图所示，则以下正确的是（）A.B.是函数的极大值点C.不是函数的极大值点D.函数在处的切线斜率大于011.一个袋子中有10个大小相同的球，其中4个黄球，6个白球，从中随机有放回的取4次，每次取1球，记取到黄球的个数为，则下述正确的是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在一个关于AI智能助手的准确率测试中，有三种不同的AI模型，，．模型的准确率为，模型的准确率为，模型的准确率为．已知选择模型，，的概率分别为，，．现随机选取一个模型进行测试，则准确率为______．13.过曲线C：y=上点（1，）处的切线方程为____．14.已知变量，且，则__________.四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共77分）15.已知数列的前项和为，数列是等差数列，且．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．16.已知函数在时取得极值．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值；（3）若有两个零点，求的值．17.某地区为了评估新课改对学生成绩的影响，对两个程度相近的学校的高一年级的学生进行为期一个学期的实验．甲校高一年级采用新课改教学方法，乙校高一年级采用传统教学方法．学期末，在甲、乙两个学校的高一年级学生中各随机抽取200名，统计其期末考试成绩，成绩分为优秀（550分及以上）和非优秀（550分以下）两个命级，以下是样本统计结果的列联表：学校成绩合计优秀非优秀甲校200乙校80合计130（1）请根据以上信息，将列联表补充完整；（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为推广新课改与成绩是否优秀有关？附：，其中．0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87918.甲､乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题和，乙同学做试题，已知甲同学做对试题的概率为，做对试题的概率为，同时做对试题和的概率为；乙同学做对试题的概率为，且甲､乙两名同学做题结果互相不受影响.（1）求甲同学做对试题没有做对试题的概率；（2）求甲同学在没有做对试题的条件下做对试题的概率；（3）若甲､乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的值．

数学满分150分，考试时间90分钟。第Ⅰ卷（选择题58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在等差数列中，，，则公差为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：在等差数列中，由，，可得，，即，，所以该数列的公差为.2.下列求导运算结果错误的是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：因为，，，，故ABC正确，D错误.3.五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为()A.12 B.24 C.48 D.120答案：C解析：思路：借助捆绑法把相邻的甲乙打包，分单元内部排序、整体全排列两步相乘求解排列总数.解答过程：将甲、乙捆绑合并为1个单元，单元内部的站位排列数为，剩余3人与该单元构成4个独立元素，4个元素全排列的排列数为.可得总站法种数.4.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：依题意，，所以．5.等比数列中，，是方程的两根，则等于（）A. B.4 C. D.以上都不对答案：A解析：思路：利用韦达定理得到的值，根据的值的正负判断出的符号，利用等比数列的通项公式结合的符号得到的符号，利用等比数列的性质求出.解答过程：，是方程的两根，，，同号，，同负，，，同号，，等比数列，，，故选：A.6.某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表：耕种深度2356每公顷产量m578发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（）A.4 B.6 C.8 D.10答案：A解析：思路：将代入经验回归方程计算即可得.解答过程：，，则，解得.7.函数的单调递增区间为（）A. B.C.， D.，答案：C解析：解答过程：由题设，且，若，则或，所以函数的单调递增区间为，.8.展开式中的常数项为（）A.8 B.9 C.10 D.答案：A解析：思路：求出原式第二个因式中项的系数，与第一个因式中的的系数之积，再加上的展开式中常数项与的积，即为所求的常数项.解答过程：由题意，，又的通项公式为，令，解得，所以，令，解得，所以，所以展开式中的常数项为.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.下列关于数列的说法正确的是（）A.等差数列的前项和一定是二次函数B.等比数列的公比不能为0C.若首项不等于零的数列满足，则是等比数列D.等差数列中，若，则答案：BC解析：思路：根据等差数列和等比数列的性质判断即可.解答过程：对于A，因为公差为0时是正比例函数，故A错误；根据等比数列的第一年可知BC在正确；对于D，当数列是常数列时，结论不正确，故D错误.故选：BC.10.若函数的导函数的图象如下图所示，则以下正确的是（）A.B.是函数的极大值点C.不是函数的极大值点D.函数在处的切线斜率大于0答案：CD解析：解答过程：根据导函数的图象可知时，，时，，时，，选项A：在上单调递增，因此可得，A错误；选项B：极值点要求导函数在该点两侧变号，左右两侧都为正，因此不是极值点，B错误；选项C：左侧，右侧，导函数符号不变，因此不是极值点，C正确；选项D：函数在某点的切线斜率等于该点的导数值，处，因此切线斜率大于，D正确.11.一个袋子中有10个大小相同的球，其中4个黄球，6个白球，从中随机有放回的取4次，每次取1球，记取到黄球的个数为，则下述正确的是（）A. B.C. D.答案：BC解析：解答过程：对于A，有放回的取4次，每次取到黄球的概率为，每次取球相互独立，因此取到黄球的个数服从的二项分布，即，故A错误；对于B，由二项分布概率公式得，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，，故D错误.第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在一个关于AI智能助手的准确率测试中，有三种不同的AI模型，，．模型的准确率为，模型的准确率为，模型的准确率为．已知选择模型，，的概率分别为，，．现随机选取一个模型进行测试，则准确率为______．答案：解析：思路：利用全概率公式，将选择各模型的概率与对应模型的准确率相乘后求和，即可得到最终准确率.解答过程：设事件为选取模型，为选取模型，为选取模型，事件为测试结果准确，由题意可得：，，，条件概率，，，根据全概率公式可得：.13.过曲线C：y=上点（1，）处的切线方程为____．答案：y=x-1.解析：解答过程：分析：求出曲线C上点的坐标为，通过导函数可求得斜率，进而通过点斜式求出切线方程．详解：曲线C上的点坐标为求导函数，所以过的斜率所以切线方程为点睛：本题考查了导数及其切线方程的求法．此类题目关键是区分点是否在曲线上：若点在曲线上，则通过导函数求得斜率和点的坐标求得切线方程；若点不在曲线上，需设出切点，通过斜率和点在曲线上建立方程组求得交点和切线方程．14.已知变量，且，则__________.答案：##解析：思路：由正态分布曲线的对称性求解即可.解答过程：因为，，所以，所以.故答案为：四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共77分）15.已知数列的前项和为，数列是等差数列，且．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1），（2）解析：（1）当时，，当时，，经检验，时符合上式，所以，．由上可知，，设的公差为，则，所以，，即．（2）由(1)得，则数列的前项和为：，，，，所以，数列的前项和．16.已知函数在时取得极值．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值；（3）若有两个零点，求的值．答案：（1）递增区间是，递减区间是；（2）（3）或解析：思路：（1）先求导，由可求出的值，进而确定导数，由导数正负即可得解.（2）由（1）可知函数单调性，根据单调性求出最低的端点值和极小值进行比较即可得解.（3）将函数零问题转化成图像交点问题结合函数单调性和极值情况即可求解.（1）由题得，且定义域为.由函数在时取得极值，得，解得，此时，显然是的变号零点，即是极值点，因此，所以当或时，，当时，，所以函数的递增区间是，递减区间是.（2）由（1）知，函数，且在上单调递增，在上单调递减，又所以函数在区间上的最小值是.（3）因为，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，所以有极小值为，极大值为，由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点，故或，所以或.17.某地区为了评估新课改对学生成绩的影响，对两个程度相近的学校的高一年级的学生进行为期一个学期的实验．甲校高一年级采用新课改教学方法，乙校高一年级采用传统教学方法．学期末，在甲、乙两个学校的高一年级学生中各随机抽取200名，统计其期末考试成绩，成绩分为优秀（550分及以上）和非优秀（550分以下）两个命级，以下是样本统计结果的列联表：学校成绩合计优秀非优秀甲校200乙校80合计130（1）请根据以上信息，将列联表补充完整；（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为推广新课改与成绩是否优秀有关？附：，其中．0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879答案：（1）列联表：学校成绩合计优秀非优秀甲校15050200乙校12080200合计270130400（2）可以解析：思路：（1）根据题意，结合题设中的数据，补充完整的列联表（2）由列联表中的数据，求得，根据，即可得出结论.（1）解：根据题意，补充完整的列联表如下：学校成绩合计优秀非优秀甲校15050200乙校12080200合计270130400（2）解：零假设为：推广新课改与成绩是否优秀无关．由列联表中的数据，可得，因为，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以推广新课改与成绩是否优秀有关．18.甲､乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题和，乙同学做试题，已知甲同学做对试题的概率为，做对试题的概率为，同时做对试题和的概率为；乙同学做对试题的概率为，且甲､乙两名同学做题结果互相不受影响.（1）求甲同学做对试题没有做对试题的概率；（2）求甲同学在没有做对试题的条件下做对试题的概率；（3）若甲､乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列.答案：（1）（2）（3）01230.150.350.350.15解析：思路：（1）利用事件拆分原理，把做对试题拆分为做对且做对、做对且做错两个互斥事件，用做对的总概率减去两题都做对的概率，直接求出做对却做错的概率.（2）先由互斥事件概率公式求出做错且做对的概率，再算出做错试题的对立事件概率，代入条件概率公式，用交集概率除以条件事件概率算出对应条件概率值.（3）先逐一算出甲做对题、题、题的概率，确定随机变量的所有取值，再结合乙做题的固定概率，分类枚举甲乙答对题目数量的组合情况，分别算出每个取值对应的概率，进而列出分布列.（1）设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件.由题设可知，所以，所以甲同学做对试题没有做对试题的概率为（2）由题设可知.又，所以.故.（3）根据题意甲做对题概率为.甲做对一题的概率为分析可得（甲乙）（甲乙或甲乙）（甲乙或甲乙）（甲乙）可得的分布列为01230.150.3