吉林省长春市外国语学校2025-2026学年高一下学期第三学程考试数学试卷-附解析

数学一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.i是虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.2.设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（）A.0.02 B. C.0.2 D.0.43.已知向量，，则与的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.4.设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（）A.，，则 B.，，C.，，则 D.，，则5.如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（）A.50m B.100m C.150m D.200m6.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（）A. B. C. D.7.在中，，，，则（）A.30° B.45° C.135° D.45°或135°8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分）9.下列说法正确的是（）A.的第60百分位数是6B.已知一组数据的平均数为5，则这组数据的方差是C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若，，…，的平均值为2，则，，…，的平均值是710.抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，观察落地时朝上的面的点数，记随机事件“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数小于3”，“点数大于3”，则（）A.与互为对立事件 B.与互斥C.是必然事件 D.与相互独立11.在棱长为1的正方体中，连接线段，下列说法正确的是（）A.正方体的棱所在直线有6条与直线异面B.直线与平面所成角的正弦值为C.直线平面D.点到平面的距离为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若向量为单位向量，且，，则向量的坐标是_____．13.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表：组别人数1343368根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是______．14.在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的表面积为_______________．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知平面向量.（1）若与共线，求；（2）若与的夹角为钝角，求的取值范围.16.为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示．（1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数；（2）估计样本中成绩的上四分位数；（3）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差．17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．18.在中，，其中角的对边分别为．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．19.如图，在三棱锥中，，，，．是的中点，是的中点，．（1）求证：平面；（2）若是的中点，在上，平面．（ⅰ）求的长；（ⅱ）求二面角的正切值．

数学一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.i是虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先根据题意进行复数的除法运算求得，再求其共轭复数即可.解答过程：，，2.设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（）A.0.02 B. C.0.2 D.0.4答案：D解析：思路：通过极差确定，再根据方差的线性变换性质，即可求解.解答过程：设原样本数据的最大值为，最小值为，则，所以数据的极差为，所以，根据方差的线性变换性质可知，数据的方差为.3.已知向量，，则与的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用夹角公式求解即可.解答过程：因为,，所以.4.设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（）A.，，则 B.，，C.，，则 D.，，则答案：B解析：解答过程：对于A，若，，则与平面平行或或相交，故A错误；对于B，因为，，故，而，故，故B正确；对于C，，，则或，故C错误；对于D，若，，则与平面的位置关系不确定（可能平行、相交或在平面内），故D错误.5.如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（）A.50m B.100m C.150m D.200m答案：B解析：解答过程：已知，，，由正弦定理得.由无人机的仰角、俯角可得，，因此.根据正弦定理，代入得.在中，，因此.6.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先根据球的体积公式求出外接球半径，再利用三角形中的勾股定理列出方程即可求解.解答过程：设正四面体的外接球半径为，则由可得，设正四面体的高为，棱长为，由于正四面体的底面为正三角形，因此底面外接圆的半径，又外接球球心到底面的距离为，故由勾股定理可得，，代入，解得正四面体的高.7.在中，，，，则（）A.30° B.45° C.135° D.45°或135°答案：B解析：思路：利用正弦定理求出sinB的值，再结合大边对大角的性质排除不符合题意的解，即可得到角B的大小.解答过程：在中，，，，由正弦定理得,所以，得，因为，所以，故，所以.8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果.解答过程：和表示、方向的单位向量，则在的角平分线上，又，所以的角平分线与边垂直，所以是等腰三角形，且.取的中点，连接，则.由题意知，，，所以.以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，故，设（），则，即..所以，当时，取得最小值，为.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分）9.下列说法正确的是（）A.的第60百分位数是6B.已知一组数据的平均数为5，则这组数据的方差是C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若，，…，的平均值为2，则，，…，的平均值是7答案：BD解析：思路：根据百分位数的概念判断A，根据平均数和方差的概念判断B，根据抽样的等可能性判断C，根据平均值的运算判断D.解答过程：对A：的第60百分位数是：，故A错误；对B：因为，所以这组数据的方差为：，故B正确；对C：分层抽样，每个个体被抽到的概率相等，故C错误；对D：的平均值为2，所以的平均值为，故D正确.10.抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，观察落地时朝上的面的点数，记随机事件“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数小于3”，“点数大于3”，则（）A.与互为对立事件 B.与互斥C.是必然事件 D.与相互独立答案：BCD解析：思路：由古典概型的概率公式得到各个事件的概率，利用对立事件的性质判断A，利用互斥事件的性质判断B，利用必然事件的性质判断C，利用独立事件的性质判断D即可.解答过程：由题意得抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，共有6种等可能情况，由已知随机事件“点数为奇数”，可得，“点数为偶数”，可得，“点数小于3”，可得，而“点数大于3”，可得，对于A，而，则与不互为对立事件，故A错误，对于B，由已知事件是不可能事件，结合互斥事件的定义可得与互斥，故B正确，对于C，由题意得，则，可得是必然事件，故C正确，对于D，由题意得，满足，由独立事件的性质得与相互独立，故D正确.11.在棱长为1的正方体中，连接线段，下列说法正确的是（）A.正方体的棱所在直线有6条与直线异面B.直线与平面所成角的正弦值为C.直线平面D.点到平面的距离为答案：ACD解析：思路：A.通过分类统计正方体12条棱与体对角线的位置关系，排除相交、平行的棱，直接数出异面棱数量；B.依据线面角定义确定对应夹角，在直角三角形中求出正弦值；C.利用线面垂直判定定理，证明直线垂直于平面内两条相交直线，即可证线面垂直；D.采用几何等体积法，求解点到平面的距离.解答过程：体对角线，底面对角线，侧面棱；正四面体各棱长均为.A.正方体共12条棱，分三类判断：与相交的棱（6条）：过点的棱；过点的棱，其中相交：共6条；与平行的棱：无，正方体棱均不平行于体对角线；异面棱：剩余6条：，因此有6条棱与异面，A正确；B.在正方体中底面，故为直线与平面所成的角，在直角中，，，B错误；C.底面正方形中，又，，得面，面，故，连接，正方形中；面，得，，故面，面，故，，平面，因此平面，C正确；D.三棱锥，底面是直角三角形，，高，，为边长的正三角形，面积，设点到平面距离为，则，因为，所以，解得，D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若向量为单位向量，且，，则向量的坐标是_____．答案：或解析：解答过程：设，由为单位向量且，则有，解得或，所以或.13.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表：组别人数1343368根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是______．答案：0.44##解析：思路：由频率估计概率，得出所求概率.解答过程：因为身高高于170cm的频率为，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是0.44.故答案为：0.4414.在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的表面积为_______________．答案：解析：思路：求出上、下底面外接圆半径，设正四棱台上、下底面的中心分别为

、，外接球的球心为，半径为，则点在直线上，又，利用勾股定理求出，即可求出，从而得解.解答过程：正四棱台中，，∴上、下底面外接圆半径分别为，设正四棱台上、下底面的中心分别为

、，外接球的球心为，半径为.

则

必在​

上，高，设，则.由得，解得，∴.正四棱台的外接球的表面积为四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知平面向量.（1）若与共线，求；（2）若与的夹角为钝角，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：（1）向量与共线，，解得..，..（2）与的夹角为钝角，且与不共线，即；，即的取值范围为.16.为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示．（1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数；（2）估计样本中成绩的上四分位数；（3）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差．答案：（1），90（2）86（3）平均数为91，方差为22．解析：思路：（1）根据频率分布直方图的特征求的值，再利用频率估计总体即可；（2）根据百分位数的求解方式求解即可；（3）根据分层抽样的方差公式求解．（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，则，解得，估计样本中成绩不低于60分的人数为．（2）前四个小矩形的面积之和为，前五个小矩形的面积之和为，所以成绩的上四分位数落在内，设其为，则，解得，即估计样本中成绩的上四分位数为86．（3）样本中成绩在内占成绩在内的比例为，样本中成绩在内占成绩在内的比例为．设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为，由分层随机抽样的平均数公式可得，由分层随机抽样的方差公式可得，故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22．17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明：取的中点，连接，因为点、分别是、的中点，所以且，又因为且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）根据平行四边形的判定及性质，线面平行的判定即可证明；（2）根据线面夹角的定义得出即为直线与平面所成角的平面角，即可求解．（1）略．（2）过点作的垂线，设垂足为，连接，因为平面，平面，所以，因为底面是正方形，所以，因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，因为，且，平面，所以平面，即为直线与平面所成角的平面角，设，在中，即，由（1）可知，，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．18.在中，，其中角的对边分别为．（1）求角的大小；（2）若为