2025-2026年湖南省部编版高二数学第6章函数练习题

2025-2026年湖南省部编版高二数学第6章函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)的定义域为________。A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-1,0)∪(0,+∞)D.(-∞,-1]∪[1,+∞)解析：函数f(x)=ln(x+1)的定义域需满足x+1>0，即x>-1，故定义域为(-1,+∞)。选项A正确，其他选项均不符合定义域条件。函数ln(x)的定义域为x>0，但ln(x+1)将定义域左移1个单位，需特别注意。2.若函数f(x)=x^2-2ax+3在x=1处取得最小值，则a的值为________。A.1B.-1C.2D.-2解析：f(x)为二次函数，开口向上，最小值出现在对称轴x=a处。由题意x=1处取得最小值，故a=1。将a=1代入f(x)得f(x)=(x-1)^2+2，最小值为2，验证正确。对称轴公式为x=-b/2a，此处b=-2a，2a=2→a=1。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为________。A.1B.3C.0D.-1解析：绝对值函数表示数轴上两点距离，f(x)=|x-1|+|x+2|表示x到-2和1的距离之和。当x在[-2,1]区间内时，f(x)取得最小值，最小值为1-(-2)=3。数轴最短路径原理：|a-b|+|b-c|≥|a-c|，当且仅当b在a和c之间时取等号。4.函数f(x)=2^x-1与g(x)=log_2(x+1)的图像关于________对称。A.x轴B.y轴C.原点D.y=x解析：f(x)=2^x-1与g(x)=log_2(x+1)互为反函数，反函数图像关于y=x对称。验证：f(g(x))=2^(log_2(x+1))-1=x，g(f(x))=log_2((2^x-1)+1)=x，满足互为反函数条件。5.函数f(x)=sin(2x)+√3cos(2x)的最小正周期为________。A.πB.2πC.π/2D.4π解析：f(x)=sin(2x)+√3cos(2x)=2sin(2x+π/3)，周期T=2π/ω=2π/2=π。三角函数周期公式T=2π/k，此处k=2。注意系数影响周期，sin(kx)周期为2π/k。6.函数f(x)=x/(x-1)在区间(1,+∞)上的单调性为________。A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.非单调解析：f(x)在(1,+∞)上定义，求导f'(x)=(x-1-x)/(x-1)^2=-1/(x-1)^2<0，故单调递减。分式函数单调性需先求导，注意分母不为0。7.函数f(x)=x^3-3x+1的极值点为________。A.x=1B.x=-1C.x=0D.无极值点解析：f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)=0得x=±1。f''(1)=-6<0，x=1为极大值点；f''(-1)=6>0，x=-1为极小值点。三阶导数不改变极值点位置。8.函数f(x)=e^x-1/x在x→0时的极限为________。A.0B.1C.eD.不存在解析：lim(x→0)(e^x-1/x)=lim(x→0)e^x/1=1。使用洛必达法则：lim(x→0)(e^x-1/x)=lim(x→0)(e^x-0)/(-1/x)=lim(x→0)-x•e^x=0。此处e^x在x→0时≈1+x，故极限为1。9.函数f(x)=sin^2x+cos^2x的值域为________。A.[0,1]B.[-1,1]C.[1,2]D.R解析：f(x)=sin^2x+cos^2x=1为恒等式，值域为{1}。三角恒等式sin^2x+cos^2x=1是基础考点，需注意题目是否允许取等。10.函数f(x)=|x-2|+|x+1|在x=-3时的值为________。A.1B.3C.5D.7解析：f(-3)=|-3-2|+|-3+1|=5+2=7。绝对值函数分段处理：当x<-1时，f(x)=-x+2-x=-2x+1；当-1≤x≤2时，f(x)=-x+2+x=2；当x>2时，f(x)=x-2+x=2x-1。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=√(x^2-4x+3)的定义域为________。参考答案：(−∞,1]∪[3,+∞)解析：需满足x^2-4x+3≥0，解得(x-1)(x-3)≥0，x≤1或x≥3。根式函数需满足被开方数非负，分式函数需分母不为0。2.函数f(x)=2^x在区间(-1,1)上的值域为________。参考答案：(1/2,2)解析：f(-1)=1/2，f(1)=2，指数函数在R上单调递增，故值域为(1/2,2)。注意开区间因x≠-1且x≠1。3.函数f(x)=sin(π/2-x)的图像可由y=sinx的图像________得到。参考答案：向右平移π/2个单位解析：sin(π/2-x)=cosx，cosx图像可由sinx图像向右平移π/2得到。相位变换公式：y=sin(ωx+φ)图像为y=sinx图像的伸缩变换和平移。4.函数f(x)=x^3-3x的拐点坐标为________。参考答案：(0,0)解析：f''(x)=6x，令f''(x)=0得x=0。f(0)=0，拐点为(0,0)。二阶导变号处为拐点，需验证f''(x)在x=0两侧异号。5.函数f(x)=ln(x+1)-x在x→+∞时的极限为________。参考答案：-1解析：lim(x→+∞)[ln(x+1)-x]=lim(x→+∞)ln(x+1)/x-lim(x→+∞)x/x=0-1=-1。使用洛必达法则：lim(x→+∞)ln(x+1)/x=lim(x→+∞)1/(x+1)/1=0。6.函数f(x)=e^x+e^-x的最小值为________。参考答案：2解析：f(x)=e^x+e^-x≥2√(e^x•e^-x)=2，当且仅当e^x=e^-x即x=0时取等。均值不等式a+b≥2√ab，此处a=e^x，b=e^-x。7.函数f(x)=sinx-cosx的周期为________。参考答案：2π解析：f(x)=√2sin(x-π/4)，周期T=2π/1=2π。三角函数周期由ω决定，sin(kx)周期为2π/k。8.函数f(x)=x/(x^2+1)在x=1时的导数为________。参考答案：1/2解析：f'(x)=[(x^2+1)•1-x•2x]/(x^2+1)^2=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(-x^2+1)/(x^2+1)^2，f'(1)=0/4=0。9.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像关于________对称。参考答案：x=-1.5解析：图像为两段折线，交点为x=-1.5。绝对值函数|f(x)|图像关于y轴对称，|f(x)|+|g(x)|图像关于中点对称。10.函数f(x)=sin^2x-cos^2x的值域为________。参考答案：[-1,1]解析：f(x)=-cos(2x)，周期为π，值域为[-1,1]。二倍角公式sin^2x=1-cos^2x，故f(x)=-cos(2x)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^2在R上单调递增。参考答案：×解析：f'(x)=2x，在x>0时单调递增，在x<0时单调递减，故f(x)=x^2在R上非单调。2.函数f(x)=sinx+cosx的值域为[-√2,√2]。参考答案：√解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，值域为[-√2,√2]。两函数相加需先合并为单个三角函数。3.函数f(x)=e^x是偶函数。参考答案：×解析：f(-x)=e^-x≠e^x，故f(x)=e^x为非奇非偶函数。指数函数e^x为奇函数。4.函数f(x)=ln(x^2)与g(x)=2lnx在(0,+∞)上单调性相同。参考答案：√解析：f(x)=2ln|x|在(0,+∞)上单调递增，g(x)=2lnx在(0,+∞)上单调递增，故单调性相同。5.函数f(x)=|x|在x=0处取得极小值。参考答案：√解析：f'(x)={1,x>0;-1,x<0}，x=0处导数不存在但f(x)取得最小值0。绝对值函数在x=0处为拐点。6.函数f(x)=sinx-cosx在x=π/4处取得极值。参考答案：√解析：f'(x)=cosx+sinx，f'(π/4)=√2/2+√2/2=√2≠0，故π/4非极值点。此处计算错误，正确答案为×。7.函数f(x)=x^3-3x+1在(-∞,+∞)上存在唯一零点。参考答案：√解析：f'(x)=3x^2-3，f(-1)=-1,f(1)=-1,f(0)=1，由介值定理存在零点，且f'(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，故唯一零点在(-1,0)内。8.函数f(x)=ln(1+x)-x在x→0时的极限为1。参考答案：×解析：lim(x→0)[ln(1+x)-x]=0。泰勒展开：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)，故极限为0。9.函数f(x)=sinx+cosx的图像可由y=sinx图像向左平移π/4得到。参考答案：√解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，相当于y=sinx图像向左平移π/4。相位变换公式：y=sin(ωx+φ)图像为y=sinx图像的平移。10.函数f(x)=x^2lnx在x=1时的导数为0。参考答案：√解析：f'(x)=2xlnx+x/x=2xlnx+1，f'(1)=0+1=1≠0。此处计算错误，正确答案为×。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=ln(x+1)+√(x-1)的定义域。参考答案：[1,+∞)解析：需满足x+1>0且x-1≥0，解得x≥1。对数函数需真数大于0，根式函数需被开方数非负。2.判断函数f(x)=x^3-3x^2+2的单调区间。参考答案：(-∞,0)递增，(0,2)递减，(2,+∞)递增解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0,2。列表分析：x|(-∞,0)|0|(0,2)|2|(2,+∞)f'(x)|+|0|-|0|+f(x)|↗|极大|↘|极小|↗3.求函数f(x)=sin^2x-cos^2x在[0,π/2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值1，最小值-1解析：f(x)=-cos(2x)，在[0,π/2]上2x∈[0,π]，-cos(2x)取值范围为[-1,1]。f(π/4)=-cos(π/2)=0，f(0)=-cos(0)=-1，f(π/2)=-cos(π)=1，故最大值1，最小值-1。4.证明函数f(x)=e^x-x-1在R上单调递增。证明：f'(x)=e^x-1，当x>0时e^x>1，f'(x)>0；当x<0时e^x<1，f'(x)<0；当x=0时f'(x)=0。综上f'(x)≥0，故f(x)单调递增。5.求函数f(x)=x/(x^2+1)的极值点。参考答案：x=1解析：f'(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(-x^2+1)/(x^2+1)^2，令f'(x)=0得x=±1。f''(1)=-2<0，x=1为极大值点；f''(-1)=-2>0，x=-1为极小值点。6.求函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期。参考答案：π解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/2=π。三角函数周期由ω决定，sin(kx)周期为2π/k。7.求函数f(x)=ln(x+1)-x在x→+∞时的渐近线。参考答案：y=x-1解析：lim(x→+∞)[ln(x+1)-x]=lim(x→+∞)[ln(x+1)/x-x/x]=0-1=-1。渐近线方程为y=f(x)-[lim(x→+∞)f(x)]x=-1。8.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的解析式。参考答案：f(x)={3,x<-2-x-1,-2≤x≤1x+1,x>1}解析：分段处理：x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1=-3；-2≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；x>1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=100+2x+0.01x^2（万元），需求函数为p=10-0.01x（万元/件），求边际利润函数。解：收益函数R(x)=px=(10-0.01x)x=10x-0.01x^2，利润函数L(x)=R(x)-C(x)=10x-0.01x^2-(100+2x+0.01x^2)=8x-0.02x^2-100，边际利润函数L'(x)=8-0.04x。2.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1附近的线性近似表达式。解：f(1)=0，f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=-3，线性近似L(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=-3(x-1)=-3x+3。3.求函数f(x)=sin^2x+cos^2x在x=π/4处的切线方程。解：f(π/4)=1，f'(x)=2sinx•cosx-sinx=√2/2，切线方程y-1=√2/2(x-π/4)，即y=√2/2x+1-√2/8。4.某物体做直线运动，位移函数为s(t)=t^3-3t^2+5，求速度和加速度函数。解：速度v(t)=s'(t)=3t^2-6t，加速度a(t)=v'(t)=6t-6。5.求函数f(x)=e^x+e^-x在x=0处的二阶泰勒展开式。解：f(0)=2，f'(x)=e^x-e^-x，f'(0)=0，f''(x)=e^x+e^-x，f''(0)=2，泰勒展开T(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2=2+x^2。6.某商场销售某种商品，售价为p元时，需求量q=120-10p，求收入函数及边际收入函数。解：收入函数R(p)=pq=(120-10p)p=-10p^2+120p，边际收入函数R'(p)=-20p+120。7.求函数f(x)=x/(x^2+1)在x=1处的二阶泰勒展开式。解：f(1)=1/2，f'(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=-x^2+1)/(x^2+1)^2，f'(1)=0，f''(x)=2x(x^2-3)/(x^2+1)^3，f''(1)=-1/2，泰勒展开T(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+f''(1)(x-1)^2/2=1/2-x^2/4。8.某公司生产某种产品，固定成本为10万元，可变成本为每件10元，售价为每件20元，求盈亏平衡点。解：总成本C(q)=10+10q，总收益R(q)=20q，盈亏平衡点：R(q)=C(q)→20q=10+10q→q=10，即销售10件时盈亏平衡。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.B4.D5.A6.B7.A8.B9.A10.D解析：2.定义域需x+1>0→x>-1，故A正确。3.对称轴x=a，最小值点x=1→a=1。4.数轴距离最小值在x=-1.5处取得，值为3。5.反函数关系，图像关于y=x对称。6.周期T=2π/2=π。7.导数f'(x)=-1/(x-1)^2<0，单调递减。8.极值点由f'(x)=0且f''(x)变号确定。9.洛必达法则或泰勒展开均得1。10.三角恒等式sin^2x+cos^2x=1，值域为{1}。11.分段计算：f(-3)=|-3-2|+|-3+1|=5+2=7。二、填空题1.(−∞,1]∪[3,+∞)12.(1/2,2)13.向右平移π/2个单位2.(0,0)15.-116.217.2π18.1/219.x=-1.520.[-1,1]解析：3.解不等式x^2-4x+3≥0→(x-1)(x-3)≥0，解得x≤1或x≥3。4.指数函数在(-1,1)上单调递增，f(-1)=1/2，f(1)=2，值域为(1/2,2)。5.sin(π/2-x)=cosx，相当于y=sinx图像向右平移π/2。6.f''(x)=6x，f''(0)=0，且f''(x)在x=0两侧变号，故(0,0)为拐点。7.洛必达法则：lim(x→+∞)ln(x+1)/x=0。8.均值不等式：e^x+e^-x≥2√(e^x•e^-x)=2。9.周期T=2π/1=2π。10.f'(x)=(-x^2+1)/(x^2+1)^2，f'(1)=0/4=0。11.两段折线交点为x=-1.5，图像关于x=-1.5对称。12.f(x)=-cos(2x)，周期为π，值域为[-1,1]。三、判断题1.×22.√23.×24.√25.√26.×27.√28.×29.√30.×解析：2.f'(x)=2x，在x<0时单调递减，故非单调。3.f(x)=√2sin(x+π/4)，值域为[-√2,√2]。4.f(-x)=e^-x≠e^x，非奇非偶。5.f'(x)=2lnx+1，在(0,+∞)上单调递增。6.f'(x)在x=0处不存在但f(x)取得最小值0。7.f'(π/4)=√2≠0，π/4非极值点。8.f'(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，故唯一零点在(-1,0)内。9.lim(x→0)[ln(1+x)-x]=0。10.f(x)=√2sin(x+π/4)，相当于y=sinx图像向左平移π/4。11.f'(1)=1+1=2≠0。四、简答题1.解：需满足x+1>0且x-1≥0，解得x≥1，定义域为[1,+∞)。2.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0,2。列表分析：x|(-∞,0)|0|(0,2)|2|(2,+∞)f'(x)|+|0|-|0|+f(x)|↗|极大|↘|极小|↗故单调增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调减区间为(0,2)。3.解：f(x)=-cos(2x)，在[0,π/2]上2x∈[0,π]，-cos(2x)取值范围为[-1,1]。f(π/4)=-cos(π/2)=0，f(0)=-cos(0)=-1，f(π/2)=-cos(π)=1，故最大值1，最小值-1。4.证明：f'(x)=e^x-1，当x>0时e^x>1，f'(x)>0；当x<0时e^x<1，f'(x)<0；当x=0时f'(x)=0。综上f'(x)≥0，故f(x)单调递增。5.解：f'(x)=(-x^2+1)/(x^2+1)^2，令f'(x)=0得x=±1。f''(1)=-2<0，x=1为极大值点；f''(-1)=-2>0，x=-1为极小值点。故极值点为x=±1。6.解：f(x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/2=π。三角函数周期由ω决定，sin(kx)周期为2π/k。7.解：lim(x→+∞)[ln(x+1)-x]=lim(x→+∞)[