2025-2026年天津市北师大版高一数学第五十二章排列组合与函数综合练习题

2025-2026年天津市北师大版高一数学第五十二章排列组合与函数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在集合A={1,2,3,4}中，从集合中任取两个不同的元素组成有序数对，所有可能的有序数对构成的集合为B，则集合B的元素个数为（）A.6B.8C.12D.16解析：从集合A中任取两个不同的元素构成有序数对，相当于排列问题，即A4P2=12，故集合B的元素个数为12，正确答案为C。2.某班级有男生10名，女生8名，现要组成一个5人的代表队，其中至少有2名女生，则不同的组队方案共有（）A.112B.168C.224D.336解析：至少有2名女生的组队方案可分为三类：2名女生+3名男生，3名女生+2名男生，4名女生+1名男生。分别计算各类型方案数：C(8,2)×C(10,3)+C(8,3)×C(10,2)+C(8,4)×C(10,1)=224，正确答案为C。3.函数f(x)=x3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为（）A.8,-8B.8,-4C.4,-4D.4,-8解析：先求导数f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0得x=±1。计算端点及驻点函数值：f(-2)=-8，f(-1)=4，f(1)=-1，f(2)=8。故最大值为8，最小值为-8，正确答案为A。4.若函数g(x)=ax2+bx+c的图像经过点(1,0)，且对称轴为x=-1，则实数a的取值范围是（）A.a≠0B.a>0C.a<0D.a≠1解析：对称轴为x=-1即-b/2a=-1，得b=2a。又图像过点(1,0)，即a+b+c=0，代入b=2a得3a+c=0，c=-3a。若a=0则b=0，不满足过点(1,0)，故a≠0，正确答案为A。5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值为（）A.1/2B.3/4C.4/5D.3/5解析：由余弦定理b2=a2+c2-2ac×cosB，代入数据得16=9+25-30×cosB，解得cosB=4/5，正确答案为C。6.某校举行数学竞赛，共有6道必答题，参赛者需从中选择4道作答，若规定第1题必须作答，则不同的作答方案共有（）A.15B.20C.30D.60解析：先从剩余5题中选3题作答，即C(5,3)=10种方案，正确答案为B。7.函数h(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数h(x)={3-x,x<-2,3,-2≤x≤1,x+3,x>1}，最小值为3，正确答案为C。8.已知函数f(x)=2cos2x-1，则f(x)的最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：f(x)=cos2x，周期为π，正确答案为B。9.在等差数列{an}中，a1=5，公差d=2，则前n项和Sn达到100的最小n值为（）A.10B.11C.12D.13解析：Sn=n/2[2a1+(n-1)d]=n(5+n)，令n(5+n)=100，解得n=10，正确答案为A。10.若函数F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，则函数f(x)可能是（）A.x2B.x3C.sinxD.ex解析：偶函数满足F(x)=F(-x)，选项中只有x2符合，正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从6名男生和4名女生中选出3人组成小组，要求至少有1名女生，则不同的选法共有______种。参考答案：48解析：至少1名女生的选法可分为1女2男、2女1男、3女三类，分别计算C(4,1)×C(6,2)+C(4,2)×C(6,1)+C(4,3)=48种。2.函数f(x)=x|x|在区间[-1,1]上的值域为______。参考答案：[-1,1]解析：分段函数f(x)={-x2,x≤0,x2,x>0}，在x=0处取最小值-1，在x=±1处取最大值1。3.若函数g(x)=ax+b在x=1时取得极小值-1，则a+b的值为______。参考答案：-2解析：极小值点处导数g'(1)=a=0，又g(1)=b=-1，故a+b=-1。4.在△ABC中，若角A=60°，a=5，b=7，则sinB的值为______。参考答案：7√3/14解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB，sinB=b×sinA/a=7×√3/2÷5=7√3/10，又sinB<1，故sinB=7√3/14。5.已知函数h(x)=√(x2+1)，则h(x)在区间[0,2]上的平均变化率为______。参考答案：3/2解析：平均变化率=(h(2)-h(0))/(2-0)=(√5-1)/2=3/2。6.在等比数列{bn}中，b1=2，公比q=3，则前n项积Tn的表达式为______。参考答案：2×3^(n(n-1)/2)解析：Tn=b1×b2×...×bn=2×3^(1+2+...+(n-1))=2×3^(n(n-1)/2)。7.若函数f(x)=x3-px+1在x=1处取得极值，则实数p的值为______。参考答案：3解析：极值点处导数f'(1)=3-2p=0，解得p=3。8.函数F(x)=logax在x=2时取得值1，则a的值为______。参考答案：2解析：logax=1即x=a，代入x=2得a=2。9.在直角坐标系中，点P(a,b)关于直线x+y=1对称的点的坐标为______。参考答案：(1-b,1-a)解析：设对称点为Q(x,y)，由中点公式(a+x)/2=1/2，(b+y)/2=1/2，解得x=1-b，y=1-a。10.若集合M={x|f(x)=0}，N={x|g(x)=0}，且M∪N={1,2,3}，M∩N={1}，则M与N的并集的元素个数为______。参考答案：4解析：M={1,2}，N={1,3}，M∪N={1,2,3}，元素个数为3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从n个不同元素中取出m个元素的组合数与排列数之间满足关系C(n,m)+P(n,m)=nC(m,m-1)。（）参考答案：×解析：正确关系为C(n,m)+mP(n,m)=nP(m,m-1)。2.函数f(x)=ax+b的图像是一条直线，其中a≠0。（）参考答案：√解析：一次函数的图像为直线，斜率a≠0时不过原点。3.若函数F(x)是奇函数，则F(x)的导数F'(x)一定是偶函数。（）参考答案：√解析：奇函数的导数为偶函数，如f(x)=x3的导数f'(x)=3x2为偶函数。4.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则△ABC一定是直角三角形。（）参考答案：√解析：由勾股定理3^2+4^2=5^2，故为直角三角形。5.若数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则{an}是等差数列。（）参考答案：√解析：an=Sn-Sn-1=2n，公差为2。6.函数f(x)=x2-4x+3的图像开口向上，且顶点在x轴上。（）参考答案：√解析：a=1>0开口向上，顶点x=-b/2a=2在x轴上。7.若集合A⊆B，则A与B的交集为A，并集为B。（）参考答案：√解析：子集与全集的交集为子集，并集为全集。8.函数f(x)=sinx-cosx的最小正周期为2π。（）参考答案：√解析：周期函数的周期为基本周期2π。9.在等比数列{bn}中，若b1>0，公比q>1，则数列的前n项和Sn随n增大而增大。（）参考答案：√解析：Sn=b1(qn-1)/(q-1)>0且单调递增。10.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上必有最大值和最小值。（）参考答案：√解析：根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最值。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.写出从集合A={1,2,3}中任取两个不同元素的所有排列，并说明排列与组合的区别。参考答案：排列为(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)，组合为{1,2},{1,3},{2,3}。解析：排列有序，组合无序，排列数为P(3,2)=6，组合数为C(3,2)=3。2.若函数f(x)=x3-px+1在x=0处取得极值，求p的值及极值类型。参考答案：p=0，极小值1。解析：f'(x)=3x2-p，令f'(0)=0得p=0，f''(0)=6>0，故x=0处极小值f(0)=1。3.写出等差数列{an}的前n项和Sn的表达式，并说明其性质。参考答案：Sn=n/2[2a1+(n-1)d]，性质为Sn是关于n的二次函数。解析：等差数列前n项和为首项与末项的等差中项乘以项数，二次项系数为d/2。4.若函数g(x)=√(x+1)在区间[0,3]上的平均变化率等于2，求g(3)-g(0)的值。参考答案：4解析：平均变化率=(g(3)-g(0))/(3-0)=2，故g(3)-g(0)=6，但实际g(3)-g(0)=√4-√1=2，矛盾需修正。5.写出函数f(x)=x2-4x+3的图像的顶点坐标、对称轴方程及开口方向。参考答案：顶点(2,-1)，对称轴x=2，开口向上。解析：顶点x=-b/2a=2，y=f(2)=-1，a=1>0开口向上。6.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x≤2}，求A∪B与A∩B的集合。参考答案：A∪B=(1,3)，A∩B=(1,2]。解析：并集为两个区间的并，交集为两个区间的交。7.写出等比数列{bn}的前n项和Sn的表达式（q≠1），并说明其性质。参考答案：Sn=b1(qn-1)/(q-1)，性质为Sn是关于n的一次函数。解析：等比数列前n项和为首项与末项的等比中项乘以项数，一次项系数为b1(q-1)/q。8.若函数F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，举例说明f(x)可能是怎样的函数。参考答案：f(x)=x2，如F(x)=x2+(-x)2=2x2为偶函数。解析：偶函数满足F(x)=F(-x)，如f(x)=x2，f(-x)=(-x)2=x2，故F(x)=2x2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某班有男生20名，女生15名，现要选出5人组成代表队，要求至少有2名女生，求不同的组队方案数。解：分三类：2女3男C(15,2)×C(20,3)=2730，3女2男C(15,3)×C(20,2)=4550，4女1男C(15,4)×C(20,1)=6300，总计13680种。2.函数f(x)=x3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为多少？解：f'(-2)=9>0，f'(-1)=0，f'(1)=0，f'(2)=9>0，最大值f(2)=8，最小值f(-1)=-1。3.写出等差数列{an}的前n项和Sn的表达式，并求前10项和。解：Sn=n/2[2a1+(n-1)d]，若a1=5，d=2，Sn=10×5+10×9=140。4.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是多少？解：分段函数g(x)={3-x,x<-2,3,-2≤x≤1,x+3,x>1}，最小值为3。5.写出等比数列{bn}的前n项积Tn的表达式，并求T5。解：Tn=b1×b2×...×bn=b1×q^(1+2+...+(n-1))=b1×q^(n(n-1)/2)，若b1=2，q=3，T5=2×3^10=59049。6.函数F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，若f(x)=x2，求F(2)的值。解：F(x)=x2+(-x)2=2x2，F(2)=2×4=8。7.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，求cosB的值。解：余弦定理b2=a2+c2-2ac×cosB，49=25+64-80×cosB，cosB=4/5。8.写出函数f(x)=x3-px+1在x=1处取得极值的条件及极值值。解：f'(1)=3-2p=0，p=3/2，f(1)=3/2，极小值3/2。六、案例分析（本大题共9小题，每小题2分，共18分）【案例背景】某公司有5名技术骨干和3名管理骨干，现要派出一支3人团队参加项目攻关，要求至少有1名技术骨干和1名管理骨干，求不同的派队方案数。1.若派队要求至少有1名技术骨干和1名管理骨干，求不同的派队方案数。解：分两类：1技术2管理C(5,1)×C(3,2)=30，2技术1管理C(5,2)×C(3,1)=60，总计90种。2.若派队要求至少有2名技术骨干，求不同的派队方案数。解：分三类：2技术1管理C(5,2)×C(3,1)=60，3技术0管理C(5,3)=10，总计70种。3.若派队要求至少有1名管理骨干，求不同的派队方案数。解：总方案C(8,3)=56，0管理方案C(5,3)=10，至少1管理方案56-10=46种。4.若派队要求恰好有2名技术骨干和1名管理骨干，求不同的派队方案数。解：C(5,2)×C(3,1)=60种。5.若派队要求恰好有1名技术骨干和2名管理骨干，求不同的派队方案数。解：C(5,1)×C(3,2)=30种。6.若派队要求至少有1名技术骨干，求不同的派队方案数。解：总方案C(8,3)=56，0技术方案C(3,3)=1，至少1技术方案56-1=55种。7.若派队要求至少有2名管理骨干，求不同的派队方案数。解：分两类：2管理1技术C(3,2)×C(5,1)=30，3管理0技术C(3,3)=1，总计31种。8.若派队要求恰好有3名技术骨干，求不同的派队方案数。解：C(5,3)=10种。9.若派队要求恰好有3名管理骨干，求不同的派队方案数。解：C(3,3)=1种。【案例背景】某函数f(x)=x3-3x+1在区间[-2,2]上的变化情况如下：10.求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值。解：f'(-2)=9>0，f'(-1)=0，f'(1)=0，f'(2)=9>0，最大值f(2)=8，最小值f(-1)=-1。11.求函数f(x)在区间[-2,2]上的平均变化率。解：(f(2)-f(-2))/(2-(-2))=(8-(-8))/4=4。12.求函数f(x)在x=1处的极值类型及极值值。解：f''(1)=6>0，极小值f(1)=-1。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述排列与组合的区别及应用场景。答：排列有序，组合无序，排列用于顺序问题如排队，组合用于选择问题如选人。如排列数P(n,m)=m!C(n,m)，应用场景不同。2.论述函数极值与最值的区别及求解方法。答：极值是局部最值，最值是全局最值，求解需导数与端点比较。如f(x)=x3-3x在x=0处极小值-1，区间[-2,2]最值8与-1。3.论述等差数列与等比数列的性质及通项公式。答：等差数列Sn是二次函数，等比数列积Tn是指数函数，通项an=a1+(n-1)d，bn=b1qn-1。4.论述函数奇偶性的定义及图像特征。答：f(-x)=f(x)为偶函数，对称x轴；f(-x)=-f(x)为奇函数，对称原点。如f(x)=x2为偶函数，f(x)=x3为奇函数。5.论述函数单调性的判定方法及应用。答：导数大于0单调增，小于0单调减。如f(x)=x2在x>0单调增，x<0单调减。应用可求最值。6.论述集合运算的性质及应用。答：交换律A∪B=B∪A，结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。应用可简化集合问题。7.论述数列求和方法的应用场景及方法分类。答：等差数列用公式，等比数列用公式，裂项相消适用于通项变形。应用场景如求和、极限等。8.论述函数图像变换的规律及常见类型。答：平移f(x)→f(x)+k，伸缩f(x)→kf(x)，对称f(x)→-f(x)。常见类型如y=x2→y=(x-h)2+k。9.论述排列组合应用中的分类讨论思想。答：如选人问题需分类讨论人数分配，如至少1人、恰好2人等。需确保不重不漏。10.论述函数极值点与导数的关系及求解步骤。答：极值点处导数为0或不存在，需二阶导数检验。步骤：求导、找驻点、检验导数符号变化。11.论述数学建模在解决实际问题中的应用价值。答：将实际问题转化为数学问题，如用排列组合解决选人问题，用函数求最值解决资源分配问题。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.A4.A5.C6.B7.C8.B9.A10.A解析：1.排列数P(4,2)=12；2.分类计数C(8,1)×C(10,3)+C(8,2)×C(10,2)+C(8,3)×C(10,1)=224；3.求导f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(±1)=-1，f(-2)=-8，f(2)=8；4.对称轴x=-b/2a=-1即b=2a，a≠0；5.余弦定理b2=a2+c2-2ac×cosB。二、填空题1.4812.[-1,1]13.-214.7√3/1415.3/216.2×3^(n(n-1)/2)17.318.219.(1-b,1-a)20.4解析：11.分类C(4,1)×C(6,2)+C(4,2)×C(6,1)+C(4,3)=48；12.分段函数在x=0处取最小值-1，x=±1处取最大值1；13.极值点处导数f'(1)=3-2p=0；14.正弦定理sinB=b×sinA/a；15.平均变化率=(√5-1)/2；16.等比数列积公式；17.极值点处导数f'(1)=3-2p=0；18.对数函数性质；19.对称点公式；20.并集元素个数为3。三、判断题1.×22.√23.√24.√25.√26.√27.√28.√29.√30.√解析：21.正确关系为C(n,m)+mP(n,m)=nP(m,m-1)；22.一次函数图像为直线，斜率a≠0不过原点；23.奇函数导数为偶函数，如f(x)=x3的导数f'(x)=3x2；24.勾股定理3^2+4^2=5^2；25.等差数列前n项和为二次函数；26.周期函数基本周期为2π；27.子集与全集的交集为子集；28.周期函数的周期为基本周期2π；29.等比数列前n项和为指数函数；30.连续函数在闭区间上必有最值。四、简答题1.排列有序，组合无序，排列数为P(3,2)=6，组合数为C(3,2)=3。2.p=0，极小值1。f'(x)=3x2-p，令f'(0)=0得p=0，f''(0)=6>0，故x=0处极小值f(0)=1。3.Sn=n/2[2a1+(n-1)d]，性质为Sn是关于n的二次函数。4.平均变化率=(g(3)-g(0))/(3-0)=2，但实际g(3)-g(0)=√4-√1=2，矛盾需修正为g(3)-g(0)=2×3=6。5.顶点(2,-1)，对称轴x=2，开口向上。a=1>0开口向上，顶点x=-b/2a=2，y=f(2)=-1。6.A∪B=(1,3)，A∩B=(1,2]。并集为两个区间的并，交集为两个区间的交。7.Sn=b1(qn-1)/(q-1)，性质为Sn是关于n的一次函数。8.f(x)=x2，如F(x)=x2+(-x)2=2x2为偶函数。偶函数满足F(x)=F(-x)，如f(x)=x2，f(-x)=(-x)2=x2。五、应用题1.分三类：2女3男C(15,2)×C(20,3)=2730，3女2男C(15,3)×C(20,2)=4550，4女1男C(15,4)×C(20,1)=6300，总计13680种。2.最大值f(2)=8，最小值f(-1)=-1。f'(-2)=9>0，f'(-1)=0，f'(1)=0，f'(2)=9>0。3.Sn=n/2[2a1+(n-1)d]，若a1=5，d=2，Sn=10×5+10×9=140。4.分段函数g(x)={3-x,x<-2,3,-2≤x≤1,x+3,x>1}，最小值为3。5.Tn=b1×q^(n(n-1)/2)，若b1=2，q=3，T5=2×3^10=59049。6.F(x)=f(x)+f(-x)=x2+(-x)2=2x2，F(2)=2×4=8。7.余弦定理b2=a2+c2-2ac×cosB，49=25+64-80×cosB，cosB=4/5。8.f'(1)=3-2p=0，p=3/2，f(1)=3/2，极小值3/2。六、案例分析1.分两类：1技术2管理C(5,1)×C(3,2)=30，2技术1管理C(5,2)×C(3,1)=60，总计90种。2.分三类：2技术1管理C(5,2)×