2026秋新教材人教版九年级上册数学第三十章《直线与圆的位置关系》教案

第第页2026秋新教材人教版九年级上册数学第三十章《直线与圆的位置关系》教案课题：30.1.1直线与圆相离、相切、相交教学目标1.理解直线与圆的三种位置关系的定义；2.掌握用数量关系判断直线与圆的位置关系的方法；3.通过运动的观点探究直线与圆的三种位置关系,培养学生观察、发现和分析问题的能力.重点难点探索并掌握直线与圆的三种位置关系.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入问题:1.点与圆有哪几种位置关系?怎样判断点与圆的位置关系?2.怎样过直线外一点作已知直线的垂线段?师生活动:学生进行抢答,教师做好评价与总结.点与圆的位置关系的判定方法有观察图形、比较点到圆心的距离d和圆的半径r之间的数量关系等.教师强调d所表示的意义.思考：图30-1-5你看过日出吗?你知道在太阳升起的过程中,太阳和地平线会有几种不同的位置关系吗?师生活动:教师利用多媒体演示太阳升起的过程,指导学生观察太阳与地平线的公共点的情况,并倾听学生交流,引导学生进行探究.二、合作探究【探究】直线与圆的位置关系的判定一、用定义判断直线与圆的位置关系思考:如图30-1-6,在纸上画一条直线l,把钥匙环看作一个圆,在纸上移动钥匙环.在移动钥匙环的过程中,圆与直线l会有几种位置关系?它们的公共点个数又是如何变化的?图30-1-6师生活动:学生进行操作后,小组内合作、交流,表述自己的观点,教师进行鼓励与评价,最后归纳出结论.教师出示直线与圆的三种位置关系的定义,并引导学生总结直线与圆不同位置的公共点的个数情况.判断:1.直线与圆最多有两个公共点. (√)2.若直线与圆相交,则直线上的点都在圆上. (×)3.若A是☉O上一点,B是☉O外一点,则直线AB与☉O相切. (×)4.若C是☉O外一点,则过点C的直线与☉O相交或相离. (×)5.若直线a和☉O有公共点,则直线a与☉O相交. (×)二、用数量关系判断直线与圆的位置关系思考:“直线与圆的位置关系”能否像“点与圆的位置关系”一样进行数量分析?如图30-1-7,设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.在直线与圆的三种位置关系中，d与r具有怎样的大小关系?反过来,你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?图30-1-7教师提出问题,根据发现和认识,指导学生填表:直线与圆的位置关系公共点的个数公共点的名称直线的名称圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系师生活动:学生通过对直线与圆的位置关系的概念理解填空,根据学生的回答,教师出示相关答案.教师利用课件演示直线与圆的位置关系,引导学生观察圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系,学生合作交流,讨论出不同位置关系时的d和r的数量关系.教师根据学生回答,教师引导学生总结直线与圆的位置关系及判断方法,适时总结并板书.教师板书:直线与圆的位置关系:直线与圆相离:没有公共点,d>r;直线与圆相切:只有一个公共点,d=r;直线与圆相交:有两个公共点,d<r.判断直线与圆位置关系的方法:①利用圆心到直线的距离d和半径r的大小关系;②利用直线与圆的公共点个数.即时小练:已知☉O的半径为5cm,点O到直线l的距离为d,当d=4cm时,直线l与☉O相交;当d=5cm时,直线l与☉O相切;当d=6cm时,直线l与☉O相离.

三、例题讲解例1如图30-1-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12.以边AB的中点D为圆心,以r为半径作☉D.若r=2.5,分别判断AC,BC与☉D的位置关系.图30-1-8解:如图30-1-9,过圆心D分别作AC,BC的垂线,垂足分别为E,F,则DE,DF的长分别为圆心D到AC,BC的距离.图30-1-9连接CD,由D为AB的中点,得CD=AD=BD,因而E,F分别为AC,BC的中点,∴DE=12BC,DF=12∵BC=12,AC=5,r=2.5,∴DE>r,DF=r,∴AC与☉D相离,BC与☉D相切.例2如图30-1-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.若以点C为圆心,r为半径作圆.(1)当直线AB与☉C相切时,求r的取值范围;(2)当直线AB与☉C相离时,求r的取值范围;(3)当直线AB与☉C相交时,求r的取值范围.图30-1-10答案:(1)r=125(2)0<r<125(3)r>12四、课堂总结课堂练习1.已知圆的直径为13cm,设圆心到直线的距离为d.(1)若d=4.5cm,则直线与圆相交,直线与圆有2个公共点;

(2)若d=6.5cm,则直线与圆相切,直线与圆有1个公共点;

(3)若d=8cm,则直线与圆相离,直线与圆有0个公共点.

2.已知☉O的半径为5cm,圆心O与直线AB的距离为dcm,根据条件填写d的值或取值范围:(1)若直线AB与☉O相离,则d>5;

(2)若直线AB与☉O相切,则d=5;

(3)若直线AB与☉O相交,则0≤d<5.

板书设计：作业内容：教学反思课题：30.1.2圆的切线（1）教学目标1.使学生掌握圆的切线的性质和切线的判定定理；2.能够运用切线的判定定理证明直线是圆的切线；3.综合运用切线的判定定理和性质解决问题,培养学生的逻辑推理能力.重点难点圆的切线的性质与判定.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入问题:1.直线与圆有哪几种位置关系?你有哪些判断方法?2.什么叫作圆的切线?怎样判断一条直线是不是圆的切线?师生活动:学生回答问题,教师引导学生进行复习并及时总结.思考：转动雨伞时飞出的雨滴、在砂轮上打磨工件时产生的火星都是沿着什么方向飞出的?图30-1-19都是沿圆的切线方向飞出的.二、合作探究【探究1】切线的性质思考:如图30-1-20,直线l与☉O相切于点A,连接OA,那么☉O的半径OA与过点A的切线l有什么关系?图30-1-20如图30-1-21,设P为直线l上不同于点A的点.因为直线l与☉O只有一个公共点A,所以点P在☉O外,从而OP>OA,即半径OA是圆心O与直线l上的点的最短连线.因此,半径OA图30-1-21与直线l垂直(可以用反证法证明),由此得到切线的性质.师生活动:教师引导学生小组内进行分析.师生共同总结:切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.符号语言:∵直线l与☉O相切于点A,∴直线l⊥OA.【探究2】切线的判定定理图30-1-22思考:按上述性质,若☉O的切线l经过半径OA的外端点A,那么l⊥OA.反过来,如图30-1-22,若直线l过半径OA的外端点A,且l⊥OA,那么直线l是☉O的切线吗?可以看出,这时圆心O到直线l的距离就是☉O的半径,因而直线l就是☉O的切线.由此可得到切线的判定定理.教师引导学生对切线的判定定理进行概括,并发表意见.师生共同总结,教师板书:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、例题讲解例1如图30-1-23,A为☉O上一点,PB为☉O的切线,切点为B,PB=4,PA=2,求☉O的半径长.图30-1-23解:如图30-1-24,连接OB.图30-1-24∵PB为☉O的切线,∴OB⊥PB,即∠OBP=90°.设☉O的半径长为r,则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.在Rt△OBP中,由勾股定理,得OB2+PB2=OP2,即r2+42=(2+r)2,解得r=3,∴☉O的半径长为3.例2如图30-1-25,AB是☉O的弦,PA是☉O的切线,PA=PB.求证:PB是☉O的切线.图30-1-25证明:如图30-1-26,连接OA,OB,OP.图30-1-26∵PA与☉O相切于点A,∴PA⊥OA,即∠PAO=90°.∵PA=PB,OA=OB,OP=OP,∴△PAO≌△PBO,∴∠PBO=∠PAO=90°,∴PB⊥OB.这样,PB经过☉O的半径OB的外端点B,并且垂直于半径OB,∴PB是☉O的切线.四、课堂总结课堂练习课本152页板书设计：作业内容：教学反思课题：30.1.2圆的切线（2）教学目标1.掌握切线长的定义及切线长定理,并利用切线长定理进行有关的计算；2.了解切线长定理的探索和证明、过圆外一点作圆的切线的尺规作图.重点难点与切线长定理有关的计算和证明.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入问题1:直线与圆有哪几种位置关系?切线的性质和判定定理的内容分别是什么?师生活动:教师引导学生进行解答,并适时补充和讲解.教师总结:①直线与圆有3种位置关系:相交、相切、相离.②切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径;切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.问题2:过圆上一点可以作圆的切线吗?如果能,可以作几条?能,过圆上一点只能作圆的一条切线.二、合作探究【探究1】尺规作图——过圆外一点作圆的切线图30-1-461.过圆外一点可以作圆的几条切线?(2条)2.如图30-1-46,过☉O外一点P,你能用直尺和圆规作出☉O的切线吗?P是☉O外一点,要过点P作☉O的切线.因为两点确定一条直线,并且所求作的直线过点P且与☉O相切,所以需在☉O上确定一点A,满足OA⊥AP,即∠OAP=90°.由此可知,点O,P,A可以确定一个圆,OP是这个圆的直径.因此以OP为直径作圆,该圆与☉O的交点即所要确定的点.根据上面的想法,可以用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线.图30-1-47作法:如图30-1-47.(1)连接OP,作线段OP的垂直平分线MN,与OP交于点C;(2)以点C为圆心,CO为半径作圆,与☉O相交于A,B两点;(3)作直线PA,PB,即所求作的切线.3.切线长的概念:把经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫作这点到圆的切线长.如图30-1-48,线段PA,PB的长就是点P到☉O的切线长.图30-1-484.切线长和切线的区别:切线是直线,切线长是切线上一部分线段的长.图30-1-49【探究2】切线长定理如图30-1-50,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B,过点O,P作直线OP.线段PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系?图30-1-50猜测:PA=PB,∠APO=∠BPO.说明:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的依据.问题:你能运用所学知识进行证明吗?师生活动:学生小组内讨论、交流,教师引导学生作辅助线证明三角形全等即可,学生写出证明过程,教师巡视、指导.图30-1-51证明:如图30-1-51,连接OA,OB.∵PA和PB是☉O的两条切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB.又OA=OB,OP=OP,∴Rt△POA≌Rt△POB,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.由此得到切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如何根据图形,用符号语言描述切线长定理呢?师生活动:学生根据定理的题设和结论,结合图形,进行回答,教师板书并补充.符号语言:∵PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.拓展归纳:如图30-1-52,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,直线OP交☉O于点D,交AB于点C.图30-1-52(1)图中所有的垂直关系:OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP.(2)图中与∠OAC和∠AOC相等的角:∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC,∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC.(3)图中所有相等的线段:PA=PB,AC=BC,OA=OB=OD.(4)图中所有的全等三角形:△AOP≌△BOP,△AOC≌△BOC,△ACP≌△BCP.(5)图中所有的等腰三角形:△ABP,△AOB.三、例题讲解例1如图30-1-53,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点,连接AB,若∠APO=30°,OP=2,求△PAB的周长.图30-1-53解:如图30-1-54,连接OA.图30-1-54∵PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点,∴PA=PB,∠APO=∠BPO,OA⊥PA.又∠APO=30°,∴∠APB=60°,∴△PAB是等边三角形,∴AB=PA=PB.又在Rt△POA中,∠APO=30°,OP=2,∴OA=1,PA=OP∴△PAB的周长为33.四、课堂总结课堂练习课本154页板书设计：作业内容：教学反思课题：30.2三角形的内切圆教学目标1.学会作三角形的内切圆,理解三角形的内切圆的有关概念,掌握三角形的内心的性质和有关计算；2.自主探究三角形的内切圆的作法及三角形内切圆的半径与三角形三边长的关系,培养学生动手和解决问题的能力.重点难点掌握三角形的内切圆的作法、性质与有关计算.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入1.作圆的关键是确定圆的圆心与半径.

2.角的平分线上的点到角两边的距离相等.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

3.切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径;

切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

4.如图30-2-4,△ABC是☉O的内接三角形,☉O是△ABC的外接圆,点O叫作△ABC的外心,它是三角形三条边的垂直平分线的交点.

图30-2-4思考：图30-2-5是一块三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形用料,并且所截的圆与三角形的三条边都相切?二、合作探究【探究】三角形的内切圆活动一1.图30-2-6是李明针对[课堂引入]的题做出的几种设计,请同学们帮他确定一下哪一个符合要求.图30-2-6(答案:图①)2.如何确定这个圆的圆心和半径呢?教师给出提示:(1)与边AB,AC都相切的圆的圆心在哪里?(2)与三角形三边都相切的圆的圆心在哪里?师生活动:学生根据提示思考解答问题,教师做好引导与点拨,最后进行总结.因为三角形的三条角平分线交于一点,并且这个点到三条边的距离相等,所以只需作出三角形两个内角的平分线,它们的交点即这个圆的圆心,圆心到任意一边的距离即这个圆的半径.3.你能用直尺和圆规作出与三角形三条边都相切的圆吗?如图30-2-7,分别作∠B,∠C的平分线BM,CN,设它们相交于点I,那么点I到AB,BC,CA的距离都相等.过点I作BC的垂线,垂足为D.以点I为圆心,ID为半径作圆,则☉I与△ABC的三条边都相切,☉I即所求作的圆.图30-2-7归纳:与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫作三角形的内心,这个三角形叫作圆的外切三角形.活动二想一想,三角形的外心和内心有何区别?名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形两边的垂直平分线的交点1.OA=OB=OC;2.外心不一定在三角形的内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形两条角平分线的交点1.内心O到三角形三边的距离相等;2.内心在三角形的内部判断:1.三角形的内心到三角形各边的距离相等. (√)2.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. (√)3.三角形的内心不一定在三角形的内部. (×)4.一个三角形只有一个内切圆;一个圆也只有一个外接三角形. (×)直角三角形外接圆及内切圆的半径公式:外接圆的半径公式:R=c2,内切圆的半径公式:r=a+b-c2(a,b三、例题讲解例如图30-2-8,△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9,BC=14,CA=13.求AF,BD,CE的长.图30-2-8解:设AF=x,则AE=x.则BD=BF=AB-AF=9-x,CD=CE=AC-AE=13-x.由BD+CD=BC,可得(9-x)+(13-x)=14,解得x=4.因此AF=4,BD=5,CE=9.四、课堂总结课堂练习如图30-2-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,I是△ABC的内心,∠BIC=120°,AC=2,求AB的长.解:∵I是△ABC的内心,∴BI,CI分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠IBC=12∠ABC,∠ICB=12∠∵∠BIC=120°,∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-120°=60°,∴∠IBC=60°-∠ICB=60°-45°=15°,∴∠ABC=2∠IBC=30°,∴AB=2AC=4.答:AB的长为4.板书设计：作业内容：教学反思课题：30.3正多边形与圆（1）教学目标1.了解正多边形和圆的关系,掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；2.掌握圆内接正多边形的相关计算及运用；3.经历正多边形的形成过程,增强分析、解决问题的能力.重点难点掌握圆内接正多边形的相关计算与运用.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、课堂引入各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.日常生活中,我们经常能看到正多边形形状的物体,以及利用正多边形构造的美丽图案(图30-3-2).你还能举出一些这样的例子吗?图30-3-2二、合作探究【探究】与正多边形有关的计算问题1:怎样把一个圆进行四等分?依次连接各等分点,得到一个什么图形?解:如图30-3-3,得到一个正方形.图30-3-3教师归纳:正多边形和圆的关系非常密切.只要把一个圆分成相等的一些弧,以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆;经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形,这个圆就是这个正多边形的内切圆.例如,图30-3-4①中的多边形是☉O的内接正九边形,图②中的多边形是☉O的外切正六边形.图30-3-4问题2:将一个圆五等分,依次连接各等分点得到一个五边形,这个五边形一定是正多边形吗?如果是,请你证明这个结论.证明:如图30-3-5,把☉O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到五边形ABCDE.图30-3-5∵AB=∴AB=BC=CD=DE=EA,BCE=3AB=∴∠A=∠B.同理∠B=∠C=∠D=∠E.又五边形ABCDE的顶点都在☉O上,∴五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,☉O是正五边形ABCDE的外接圆.问题3:如果将圆n等分,依次连接各等分点得到一个n边形,这个n边形一定是正n边形吗?师生活动:学生思考,小组内交流、讨论,教师根据学生回答进行总结.教师重点关注:学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.问题4:各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角相等的圆内接多边形呢?请说明理由.师生活动:学生讨论,思考回答,教师进行总结讲解.教师重点关注:学生能否利用正多边形的定义进行判断;学生能否由圆内接正多边形各边相等得到弦相等及弦所对的弧相等;学生能否列举反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形.图30-3-6概况新知:把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心,外接圆的半径叫作正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距(图30-3-6).思考:正n边形的一个内角的度数是多少?外角呢?中心角呢?正多边形的中心角与外角的大小有什么关系?正n边形的一个内角的度数是(n-2)×180°n,外角是360°n,中心角是360°n,图30-3-7教师提出问题:(1)正n边形的中心角怎么计算?(2)边长a,半径R,边心距r之间有什么关系?(3)正n边形的面积如何计算?师生活动:学生在教师的引导下,结合图形,得到结论.教师引导分析:(1)正方形的中心角为360°4=90°;正六边形的中心角为360°6=60°;正n边形的中心角为(2)边长a,半径R和边心距r之间的关系为a22+r2=R2.(3)正n边形的面积为12nar三、例题讲解例1(1)若正三角形的边长为a,则半径为

33a(2)要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片,选用的圆形铁片的半径至少是

22a.例2延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征,它是一个八角九层楼阁式砖塔,其塔基的形状是半径为6m的正八边形(图30-3-8).求塔基的面积(结果保留小数点后一位).图30-3-8图30-3-9解:如图30-3-9,连接OA,OB,作AP⊥OB,垂足为P.∵八边形ABCDEFGH是半径为6m的正八边形,∴OA=OB=6,∠AOB=360°8又△APO为直角三角形,∴∠OAP=∠AOB,∴AP=OP.在Rt△APO中,由勾股定理,得AP2+OP2=OA2,∴AP=22OA=32因此,塔基的面积S=8×12×OB×AP=8×12×6×32=722≈101.8(m四、课堂总结课堂练习1.一元钱硬币的直径约为24mm,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过 (A)A.12mm B.24mm C.6mm D.4mm2.圆内接正六边形一边所对的圆周角是 (D)A.30° B.60° C.150° D.30°或150°3.若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍,则该正多边形的边数是 (C)A.4 B.6 C.8板书设计：作业内容：教学反思课题：30.3正多边形与圆（2）教学目标1.了解正多边形和圆的关系,能用等分圆周的方法画正多边形,并能借助圆设计美丽的图案；2.丰富学生对正多边形的认识,通过设计图案,发展学生的形象思维能力；3.学会等分圆周的方法构造正多边形,并学会设计图案,发展学生的实践能力和创新能力.重点难点用等分圆周的方法画正多边形.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入1.若正六边形的边长为1,则正六边形的中心角是60°,半径是1,边心距是

32,它的每一个内角是120°.2.有一个边长为1.5cm的正六边形,如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形,那么这张圆形纸片的最小半径为1.5cm.

思考：图30-3-12实际生活中,我们经常遇到画正多边形的问题,比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等,这些问题都与等分圆周有关.要制造如图30-3-12中的零件,也需要等分圆周.本节课我们就来研究一下具体的解决方法.教师出示课题.二、合作探究【探究】与正多边形有关的作图方法一已知☉O的半径为R,求作☉O的内接正六边形.分析:1.正六边形每条边所对的圆心角为多少度?[答案:60°]2.正六边形的边长与圆的半径有什么关系?[答案:相等]图30-3-13作法:如图30-3-13.(1)在☉O上任意取一点A;(2)用量角器量出∠AOB=60°,得到AB;(3)在圆上依次截取与这条弧相等的弧,就得到☉O的六个等分点A,B,C,D,E,F;(4)连接AB,BC,CD,DE,EF