2026秋新教材人教版九年级上册数学第二十五章《一元二次方程》教案

第第页2026秋新教材人教版九年级上册数学第二十五章《一元二次方程》教案一、单元教材分析本章是初中数学整式方程体系的收官内容，承接七年级一元一次方程、八年级因式分解、整式运算等知识，是学生从“一次方程”向“二次方程”进阶的关键内容，也是初中代数核心模块之一。同时本章是后续学习二次函数、圆的综合计算、高中一元二次不等式、二次曲线的重要基础，是初高中数学衔接的核心枢纽，在整个初中数学知识体系中起到承上启下的关键作用。教材编排遵循“情境建模—概念生成—方法探究—规律总结—实际应用”的逻辑顺序。首先通过面积、增长率、传播问题等生活与数学情境，抽象出一元二次方程的概念及一般形式；接着依次讲解直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种核心解法，渗透“降次转化”的核心代数思想；随后探究根的判别式、根与系数的关系，完善方程研究体系；最后结合几何面积、经济增长、运动变化等实际问题，落实数学建模核心素养，实现知识从理论到应用的闭环。本章知识不仅侧重运算能力培养，更重点渗透转化思想、分类讨论思想、建模思想，能有效提升学生逻辑推理、数据分析和解决实际问题的能力，也是中考计算、解答、压轴综合题的高频考查板块。二、单元教学目标（一）知识与技能1.理解一元二次方程的定义、一般形式，能准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数，掌握方程根的概念，能判断数值是否为方程的根。2.熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，能根据方程特征灵活选择最简解法，规范完成解方程运算。3.理解一元二次方程根的判别式的意义，能利用判别式判断方程根的三种情况（两个不相等实数根、两个相等实数根、无实数根），并能根据根的情况求参数取值范围。4.掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能利用根系关系进行整体代入求值、求参数、判断根的符号。5.能正确分析实际问题中的数量关系，建立一元二次方程模型，解决增长率、传播问题、面积问题、销售利润问题等实际应用题。（二）过程与方法1.经历从实际问题抽象为一元二次方程的过程，提升数学建模、抽象概括能力。2.在探究多种解方程方法的过程中，体会“降次”的转化思想，掌握复杂代数问题简单化的解题思路。3.通过对比不同解法的优劣、分类讨论根的情况，培养严谨的逻辑推理能力和择优解题的思维。（三）情感态度与价值观1.在自主探究、合作交流中体验数学知识的连贯性和逻辑性，增强数学学习自信心。2.感受一元二次方程在生活、生产中的实际应用价值，体会数学源于生活、用于生活。3.培养规范解题、严谨运算、认真审题的良好数学学习习惯。三、单元教学重点1.一元二次方程的概念、一般形式的辨析与应用。2.一元二次方程的四种解法，重点掌握配方法、公式法、因式分解法。3.根的判别式的理解与应用，根与系数关系的简单运用。4.建立一元二次方程模型解决各类实际应用题。四、单元教学难点1.配方法的原理与完整步骤掌握，理解配方过程中恒等变形的本质，是本章最大难点。2.根据方程结构特征，灵活选择最优解方程方法。3.利用根的判别式、根系关系解决含参数的综合性问题，掌握分类讨论思想。4.实际问题中准确提炼等量关系，正确建立一元二次方程模型，并结合实际意义检验方程根的合理性。五、单元课时安排（总计9课时）25.1一元二次方程………………1课时。25.2.1第1课时直接开平方法………………1课时。25.2.1第2课时配方法………1课时。25.2.2公式法…………………1课时。25.2.3因式分解法……………1课时。25.2.4一元二次方程的根与系数的关系………1课时。25.3第1课时几何图形的面积与边长问题………………1课时。25.3第2课时传播问题与平均变化率问题………………1课时。25.3第3课时循环问题、数字问题及其他问题……………1课时。课题25.1一元二次方程的概念备课人课时第1课时课标解读与教材分析课标要求：能从实际问题中抽象一元二次方程，理解一元二次方程定义及一般形式，识别各项系数，会检验方程的根，发展模型观念。教材分析：本节课是本章的起始奠基课，承接一元一次方程、整式运算等知识。教材通过实际问题情境，引导学生列方程、观察共性，归纳出一元二次方程的概念及一般形式。本课是学生从一次方程进阶到二次方程的关键内容，为后续解方程、根的性质及实际应用学习奠定基础。教学目标1.了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念。2.通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义。3.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情教学重点与难点重点掌握一元二次方程的概念、一般形式ax2＋bx＋c=0（a≠0）及一元二次方程的根等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点把实际问题转化为一元二次方程模型．媒体教具教案、教材、课件教学方法运用情境教学法、启发式教学、对比归纳法，结合讲练结合，引导学生自主归纳概念，夯实基础。教学过程知识链接：参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？创设情境——见配套课件探究点一：一元二次方程的概念问题：有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？思考：要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形的边长为x cm，则盒底的宽为（50－2x）cm，盒底的长为（100－2x）cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积为3600 cm2，可列方程为（100－2x）（50－2x）=3600．追问：这个方程化简后是什么？x2－75x＋350=0.小组交流：这个方程中，未知数的个数和最高次数各是多少？这个方程与我们之前学习的方程有什么区别？归纳总结：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c=0（a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．思考：为什么规定a≠0？ 下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（C）A．x2＋1x2=0B．3x2－5xy＋y2=0C．（x－1）（x－2）=0D．4x2－1=（2x 教材P3练习T1.探究点二：一元二次方程的解教师讲授：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．试一试：下面哪些数是方程x2－x－6=0的根？－4，－3，－1，－2，0，1，2，3，4.x－4－3－2－101234x2－x－61460－4－6－6－406－2和3. 已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋a=0的一个根是3，求a的值．解：把x=3代入方程x2＋ax＋a=0，得32＋3a＋a=0.∴a=－94方法总结：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值．1.（4分）下列方程是一元二次方程的是（D）A.3x2＋1x=0B.2x－3y＋1=0C．（x－3）（x－2）=x2D．（3x－1）（3x2.（4分）已知x=2是一元二次方程x2＋mx＋2=0的一个解，则m的值是（A）A．－3B.3C.0D.0或33.（6分）方程2x2－1=3x的二次项系数是2，一次项系数是－3，常数项是－1．4.（4分）［高频易错］若方程（m－1）x|m＋1|＋2x－7=0是关于x的一元二次方程，则m的值为－3．5.（12分）［教材变式］根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式．（1）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有756条消息；（2）两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数．解：（1）依题意得x（x－1）=756.一般形式：x2－x－756=0.（2）设这两个连续奇数分别为x，x＋2，根据题意得x2＋（x＋2）2=130.一般形式：2x2＋4x－126=0.板书设计分层作业A层（基础巩固・全员必做）判断式子是否为一元二次方程，将简单方程化为一般形式，准确写出二次项、一次项、常数项及对应系数，检验简单数值是否为方程的根。B层（能力提升・中等以上完成）辨析易混淆方程类型，根据一元二次方程定义求简单参数取值，结合生活情境列出一元二次方程。C层（拓展培优・选做）根据条件自主构造一元二次方程，利用方程根的定义进行简单整体代入计算，提升思维严谨性。教学反思课题25.2降次——解一元二次方程25.2.1配方法第1课时直接开平方法备课人课时第2课时课标解读与教材分析课标要求：会用直接开平方法求解形如(x+m)教材分析：本课依托平方根知识，是最简单的一元二次方程解法。既是旧知识的延伸，也为配方法的学习做好铺垫。教学目标1.初步了解利用转化思想降次解一元二次方程的思路．2.会利用直接开平方法对形如（x＋m）2=n（n≥0）的一元二次方程进行求解．3.通过探究用直接开平方法解一元二次方程，培养学生勇于探索的良好学习习惯，会用数学的思维思考现实．教学重点与难点重点1.熟练并准确地运用直接开平方法解一元二次方程．难点2.能根据平方根的意义解形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如（x＋m）2=n（n≥0）的方程．媒体教具教案、教材、课件教学方法采用旧知迁移法、示范讲解法与分层练习相结合，循序渐进引导学生掌握基础解法。教学过程知识链接：如图，一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？创设情境——见配套课件探究点一：直接开平方法解形如x2=p的方程解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法．（1）x2=4；解：根据平方根的意义，得x1=2，x2=－2.（2）x2=0；解：根据平方根的意义，得x1=x2=0.（3）x2＋1=0.解：移项，得x2=－1.∵负数没有平方根，∴原方程无实数根．思考：对于方程x2=p，p取不同的值，方程的根分别是怎样的？你能归纳一下这类方程的根的情况吗？归纳总结：一般地，对于可化为x2=p的方程：p的取值范围方程的根p＞0两个不相等的实数根x1=p，x2=－pp=0两个相等的实数根x1=x2=0p＜0无实数根利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根，我们称这种方法叫直接开平方法．探究点二：直接开平方法解形如（x＋a）2=p的方程思考：对照上面解方程x2=4的过程，你认为应怎样解方程（x＋3）2=5？一个一元二次方程降次两个一元一次方程将（x＋3）看作一个整体 解下列方程：（1）4x2－3=0；（2）（x＋2）2－9=0.解：（1）移项，并将二次项系数化为1，得x2=34．由此可得x=±32．即x1=32，x2（2）移项，得（x＋2）2=9.由此可得x＋2=±3，即x1=1，x2=－5.方法总结：在上面的解法中，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程（x＋a）2=p转化为我们会解的方程了．1.（4分）用直接开平方法解下列方程，其中无实数解的是（A）A．x2＋3=0B．－2x2=0C．x2－4=0D．（x－2）2=02.（4分）方程x2=36的解是（D）A．x=6B．x=－6C．x1=9，x2=4D．x1=6，x2=－63.（4分）若方程（x－4）2=a有实数解，则a的取值范围是（B）A．a≤0B．a≥0C．a＞0D．无法确定4.（4分）方程（x－2）2=16的解是x1=6，x2=－2．5.（24分）解下列方程：（1）25（x－3）2－9=0；书写通关解：方程整理得（x－3）2=925开平方得x－3=35，或x－3=－35解得x1=185，x2=125（2）（2x＋3）2=7；解：x1=－3＋72，x（3）t2＋4t＋4=4；（4）（3x－1）2=（2x＋3）2.解：t1=0，t2=－4.解：x1=4，x2=－25．板书设计分层作业A层（基础巩固・全员必做）熟练解x2=a、B层（能力提升・中等以上完成）解决含括号、简单移项后的平方型方程，能区分可直接开平方与不可直接开平方的方程，灵活变形求解。C层（拓展培优・选做）结合平方非负性解决含参数方程问题，利用直接开平方法解决简单综合求值问题。教学反思课题25.2降次——解一元二次方程25.2.1配方法第2课时配方法备课人课时第3课时课标解读与教材分析课标要求：理解配方原理，掌握配方法解一元二次方程的完整步骤，能处理二次项系数不为1的方程，提升代数恒等变形能力。教材分析：配方法是本章重点与难点，是推导求根公式的重要依据。通过配方训练学生变形能力，渗透转化思想。教学目标1.了解配方法的概念．2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程．4.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，会用数学的眼光观察世界．教学重点与难点重点1.掌握配方法解一元二次方程．（重点）难点2.把一元二次方程转化为形如（x－a）2=b的过程．（难点）媒体教具课件、教案、教材教学方法使用分步演示、启发推理、错题辨析的方式，精讲多练，逐步突破配方学习难点。教学过程知识链接：上节课我们学习了直接开平方法解形如（x＋a）2=p的一元二次方程，回顾一下相关知识．创设情境——见配套课件探究点一：配方思考：解方程（x＋3）2=5时，因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程．对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？回忆完全平方公式：a2＋2ab＋b2=（a＋b）2；a2－2ab＋b2=（a－b）2．填一填：填上适当的数或式，使下列各等式成立．（1）x2＋4x＋22=（x＋2）2；（2）x2－6x＋32=（x－3）2；（3）x2＋8x＋42=（x＋4）2；（4）x2＋px＋（p2）2=（x＋p2）总结：二次项系数为1的完全平方式的特点：常数项等于一次项系数一半的平方．探究点二：配方法解一元二次方程探究：怎样解方程x2＋6x＋4=0？思考：要把方程x2＋6x＋4=0转化为像（x＋3）2=5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式．第一步：对方程x2＋6x＋4=0移项，得x2＋6x=－4．第二步：由a2＋2ab＋b2=（a＋b）2，将上述方程两边同时加9，方程左边就可以配成x2＋2mx＋m2形式的完全平方式，即x2＋6x＋9=－4＋9，第三步：左边写成完全平方形式，得（x＋3）2=5.第四步：解这个方程，得x1=－3＋5，x2=－3－5．追问：为什么在方程x2＋6x=－4的两边加9？加其他数行吗？总结：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法． 解下列方程：（1）x2－8x＋1=0；（2）2x2＋1=3x；（3）3x2－6x＋4=0.分析：（1）方程的二次项系数为1，可直接运用配方法．（2）方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1.为此，方程的两边都除以2.（3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方．学生自行完成解答步骤，教师点评．思考：对于一般的一元二次方程可配方转化成（x＋n）2=p，p取不同的值，方程的根是什么情况？p的取值范围方程的根p＞0两个不相等的实数根x1=－n＋p，x2=－n－pp=0两个相等的实数根x1=x2=－np＜0无实数根归纳总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①移常数项，并将二次项系数化为1；②配完全平方式［配上（一次项系数2）2］；③写成（x＋n）2=p1.（8分）填空：（1）x2＋2x＋1=（x＋1）2；（2）x2－6x＋9=（x－3）2；（3）x2－10x＋10=（x－5）2－15；（4）2x2＋4x＋1=2（x2＋2x）＋1=2（x＋1）2－1．2.（4分）一元二次方程x2－18x＋80=0可化为（x－n）2=1，则n的值是（D）A．－9B．－3C．3D．93.（4分）［典型运用］对任意实数x，多项式－x2＋4x－10的值是一个（B）A．正数B．负数C．非负数D．无法确定4.（24分）用配方法解方程：（1）x2－12x＋27=0；书写通关（2）x2＋23x－13解：移项，得x2－12x=－27．解：x1=13，x2配方，得x2－12x＋36=9．（3）2x2－4x－3=0；即（x－6）2=9．易错通关：将二次项系数化为1后再配方．开平方，得x－6=3或x－6=－3．解：x1=1＋102，x2=1－10解得x1=9，x2=3．（4）2x（x＋2）=8x－5.解：无实数根．板书设计分层作业A层（基础巩固・全员必做）掌握二次项系数为1的一元二次方程配方步骤，能规范完成移项、配方、开方、求解完整过程。B层（能力提升・中等以上完成）熟练完成二次项系数不为1的方程配方，纠正配方常见易错点，熟练掌握恒等变形技巧。C层（拓展培优・选做）利用配方法求代数式最值、判断代数式取值范围，体会配方的数形结合与转化思想。教学反思课题25.2降次——解一元二次方程25.2.2公式法备课人课时第4课时课标解读与教材分析课标要求：经历求根公式推导过程，熟记求根公式，能用公式法解方程；会利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。教材分析：由配方法推导出通用求根公式，形成通用解方程方法。根的判别式是中考高频考点，具备较强实用价值。教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程．2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程．3.理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理．教学重点与难点重点1.一元二次方程求根公式的推导、公式的简单应用以及利用根的判别式进行相关的判定和计算．（重点）难点2.一元二次方程求根公式的推导．（难点）媒体教具教案、教材、课件教学方法采用推理探究法、归纳总结法，搭配例题精讲与变式训练，巩固公式运用。教学过程知识链接：上节课我们学习了配方法解一元二次方程，回顾一下，配方法解方程的一般过程是什么？创设情境——见配套课件探究点一：求根公式的推导活动：动手用配方法解方程：ax2＋bx＋c=0（a≠0）．解：移项，得ax2＋bx=－c．系数化为1，得x2＋bax=－ca．配方，得x2＋bax＋（b2a）2=－ca＋（b2a）2.即（x＋思考：对于方程①，能直接采用开平方法解这个方程吗？因为a≠0，所以4a2＞0.对b2－4ac的取值分情况讨论：（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根：x＋b2a=±b2－4ac2a，∴x1=－b（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根：x＋b2a=0，∴x1=x2=－b（3）当b2－4ac＜0时，方程无实数根．发现：式子b2－4ac可以判别一元二次方程的根的情况．归纳总结：b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac．判别式根Δ＞0两个不相等的实数根Δ=0两个相等的实数根Δ＜0没有实数根Δ≥0两个实数根当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的实数根可写成x=－b±b2－4ac2a的形式，这个式子叫作一元二次方程 若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（B）A．k＞－1B．k＞－1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0反思：当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据“Δ”求字母的取值范围．探究点二：公式法解一元二次方程 用公式法解下列方程：（1）x2－4x－7=0；（2）2x2－22x＋1=0；（3）5x2－3x=x＋1；（4）x2＋17=8x．解：（1）∵a=1，b=－4，c=－7，∴Δ=b2－4ac=（－4）2－4×1×（－7）=44＞0.∴方程有两个不相等的实数根．∴x=－b±b2－4ac2a=－（－4）±442×1（2）（3）（4）学生自行解答，教师点评．归纳总结：用公式法解一元二次方程的步骤：1.（4分）一元二次方程3x2－2x－4=0根的判别式的值为（C）A．－44B．16C．52D．562.（4分）方程2x2－5x＋3=0的根的情况是（B）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一个根为03.（4分）若关于x的一元二次方程x2－2x－k=0有实数根，则k的取值范围是k≥－1．4.（28分）［教材变式］用公式法解下列方程：（1）x2－5x－6=0；书写通关（2）x2－32x＋4=0；解：a=1，b=－5，c=－6．解：x1=22，x2=2．∵Δ=（－5）2－4×1×（－6）=49＞0，（3）2y2＋4y=y＋2；∴x=5±492×1，即x1=6，x2=－1．b，c的值，注意其符号．（4）4x（x－1）=－3.解：y1=12，y2=－2.解：无实数根．板书设计分层作业A层（基础巩固・全员必做）熟记求根公式，熟练代入公式解方程，会计算判别式，能判断方程根的基本情况。B层（能力提升・中等以上完成）利用根的判别式判断根的三种情况，根据根的情况求简单参数取值范围，规范解题过程。C层（拓展培优・选做）结合判别式解决含参数综合问题，分类讨论根的存在情况，提升分类推理能力。教学反思课题25.2.3因式分解法备课人课时第5课时课标解读与教材分析课标要求：掌握利用因式分解法解特殊一元二次方程，能够根据方程结构特点灵活选择简便解法，提高解方程的效率与灵活性。教材分析：本节课利用整式因式分解知识解方程，计算简便、实用性高。进一步完善一元二次方程解法体系，培养学生择优选择解题方法的能力。教学目标1.理解因式分解法降次解一元二次方程的思路，会用因式分解法解一元二次方程．2.学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次方程．3.通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，体会转化的思想方法．教学重点与难点重点1.用因式分解法解一元二次方程．（重点）难点2.将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解．（难点）3.针对不同形式的一元二次方程选择适当的解法．（难点）媒体教具教案、教材、课件教学方法采用新旧衔接教学法、对比择优法、当堂训练法，通过错题辨析巩固方法。教学过程知识链接：上节课我们学习了公式法解一元二次方程，回顾一下，公式法解方程的前提条件是什么？创设情境——见配套课件探究点一：因式分解法解方程问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为10x－5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？思考：怎样列出合适的方程并求解？设物体经过x s落回地面，由题意得10x－5x2=0.对于这个方程：请分别用配方法和公式法解方程：10x－5x2=0.（学生自行解答）追问：除上述方法以外，有更简单的方法解这个方程吗？归纳总结：对于一元二次方程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法．简记口诀：右化零，左分解；两因式，各求解． 解下列方程：（1）x（x－2）＋x－2=0；（2）5x2－2x－14=x2－2x＋3解：（1）因式分解，得（x－2）（x＋1）=0.∴x－2=0或x＋1=0.解得x1=2，x2=－1.（2）学生自行解答，教师点评．探究点二：用合适的方法解方程思考：学习了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？（1）有公因式时，可用因式分解法；（2）方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法．（3）二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可用配方法解较快；（4）二次项系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法． 用适当的方法解方程：（1）3x（x＋5）=5（x＋5）；（2）（5x＋1）2=1；（3）x2－12x=4.解：（1）（3x－5）（x＋5）=0，即3x－5=0，或x＋5=0.解得x1=53，x2（2）（3）学生自行解答．归纳总结：配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：先将一元二次方程化为两个一元一次方程，即降次，再分别解两个一元一次方程．1.（4分）已知一元二次方程的两根分别为x1=1，x2=－3，则这个方程可以是（B）A．（x－1）（x－3）=0B．（x－1）（x＋3）=0C．（x＋1）（x＋3）=0D．（x＋1）（x－3）=02.（4分）［高频易错］方程x2=2026x的根为（C）A．x=0B．x=2026C．x1=0，x2=2026D．无实数根3.（22分）［教材变式］用因式分解法解下列方程：（1）3y2－6y=0；书写通关解：因式分解，得3y（y－2）=0．∴3y=0或y－2=0．解得y1=0，y2=2．（2）x2－3x=x－3；解法一：左边提公因式，得x（x－3）=（x－3）．移项，得x（x－3）－（x－3）=0.提公因式，得（x－3）（x－1）=0.∴x－3=0或x－1=0.解得x1=3，x2=1.解法二：移项合并，得x2－4x＋3=0.因式分解，得（x－3）（x－1）=0.∴x－3=0或x－1=0.解得x1=3，x2=1.（3）（2x－1）2=（x＋3）2.解：移项，得（2x－1）2－（x＋3）2=0.由平方差公式可得［（2x－1）－（x＋3）］［（2x－1）＋（x＋3）］=0，即（x－4）（3x＋2）=0，解得x1=4，x2=－23板书设计分层作业A层（基础巩固・全员必做）会用提公因式、平方差、完全平方公式因式分解解方程，掌握因式分解法基本解题步骤。B层（能力提升・中等以上完成）能根据方程结构对比多种解法，择优选择最简解法，提高解方程速度与准确率。C层（拓展培优・选做）解决结构复杂、需先整理变形再因式分解的方程，培养灵活解题的综合能力。教学反思课题25.2.4一元二次方程的根与系数的关系备课人某某老师课时第6课时课标解读与教材分析课标要求：了解一元二次方程根与系数的关系，能够利用韦达定理进行简单的代数式求值、参数求解，掌握整体代入的数学思想。教材分析：本节内容是一元二次方程性质的拓展延伸，不用于直接解方程，多用于综合题型，是衔接二次函数、中考综合题的重要基础内容。教学目标1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系．2.通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与两根之和与两根之积的规律发现、完成归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程．教学重点与难点重点1.一元二次方程根与系数的关系及其推导过程．（重点）难点2.一元二次方程根与系数的关系的推导过程及其应用．（难点）媒体教具教案、教材、课件教学方法采用探究发现法、归纳推理法、小组讨论法，配合典型例题精讲精练。教学过程知识链接：前面我们学习了公式法解一元二次方程，回顾一下，求根公式得出的两个根在形式上有哪些相同点和不同点？创设情境——见配套课件探究点：一元二次方程的根与系数的关系思考1：观察求根公式x=－b整体上看，两个根分别是“m＋n”和“m－n”的形式，而且式子“n”中含有根号．这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁．教师引导学生推导教材P15的证明过程．归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系：如果ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，那么x1＋x2=－ba，x1•x2=c思考2：我们知道，如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0的左边可以分解因式为a（x－x1）（x－x2），那么方程ax2＋bx＋c=0的两个根为x1和x2．反过来，如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根为x1和x2，那么上面的关系还能通过什么方法得出？ax2＋bx＋c=a（x－x1）（x－x2），即ax2＋bx＋c=ax2－a（x1＋x2）x＋ax1x2．由此可得－a（x1＋x2）=b，ax1x2=c．因此x1＋x2=－ba，x1x2=c 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积．（1）x2－6x－15=0；（2）3x2＋7x－9=0；（3）5x－1=4x2.解：（1）∵a=1，b=－6，c=－15，∴Δ=b2－4ac=（－6）2－4×1×（－15）=96＞0.∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2=－（－6）=6，x1x2=－15.（2）（3）学生自行解答．归纳总结：求两根之和、两根之积的步骤：化为一般式→判断Δ≥0→代入a，b，c．知识拓展：常见的求值式子如下：（1）1x1＋1x（2）x12＋x22=（x1＋x2）2－2x（3）x1x2＋x2x（4）（x1＋1）（x2＋1）=x1x2＋（x1＋x2）＋1；（5）|x1－x2|=（x1－1.（15分）［教材变式］不解方程，求下列方程两个根的和与积．（1）x2＋4x－1=0；（2）2x2＋4x＋1=0；解：x1＋x2=－4，x1x2=－1.解：x1＋x2=－2，x1x2=12（3）6x2－x=2x2＋3.解：原方程化为一般形式得4x2－x－3=0，则x1＋x2=14，x1x2=－32.（15分）［高频易错］已知关于x的方程x2＋（2k＋1）x＋k2－k＋1=0有两个实数根．（1）求k的取值范围；解：∵方程有两个实数根，∴Δ=（2k＋1）2－4（k2－k＋1）≥0，解得k≥38（2）若该方程有两个实数根x1，x2，且（x1＋1）（x2＋1）=11，求k的值．解：∵x1＋x2=－2k－1，x1x2=k2－k＋1，（x1＋1）（x2＋1）=11，∴x1x2＋（x1＋x2）＋1=11，即k2－k＋1－2k－1＋1=11.整理得k2－3k－10=0，解得k1=－2，k2=5.∵k≥38，∴k板书设计分层作业A熟记根系关系公式，能直接利用公式进行简单两根和、两根积的计算。B利用韦达定理进行简单代数式整体代入求值，掌握常见变形公式的应用。C结合根系关系与判别式，解决含参数、根的符号判断等综合性题型。教学反思课题25.3实际问题与一元二次方程第1课时几何图形的面积与边长问题备课人课时第7课时课标解读与教材分析课标要求：能够分析几何图形中的边长、面积等量关系，抽象建立一元二次方程模型，求解问题并根据实际情况检验、取舍方程的根。教材分析：本节课是一元二次方程几何应用的基础内容，结合图形情境建立方程，培养学生数形结合能力，是初中数学应用题的重要组成部分。教学目标1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．教学重点与难点重点1.通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．（重点）难点2.在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．媒体教具教案、教材、课件教学方法采用图形直观教学法、建模示范法、审题引导法，讲练结合落实建模能力。教学过程知识链接：前面我们学习了一次方程（组）的实际应用，回顾一下相关知识．创设情境——见配套课件探究点一：一元二次方程解决图形的边长问题 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？思考：直角三角形的三边关系满足什么条件？a2＋b2=c2（勾股定理）．追问：若存在这样的三角形，该怎么设未知数求解？解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x＋1，x＋2，其中x为正整数．由勾股定理，得x2＋（x＋1）2=（x＋2）2.解方程，得x1=3，x2=－1（不符合题意，舍去）．因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.归纳总结：在解决与直角三角形三边长度的数量问题中，勾股定理是联系各边长的桥梁．探究点二：一元二次方程解决图形的面积问题 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度．设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边和邻边长，再利用面积列方程求解．解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为（20－x）m；再由矩形的面积为96 m2，得x（20－x）=96.解方程，得x1=12，x2=8.追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？由题可知12 m和8 m分别是矩形区域的长和宽，只能围成一个满足条件的矩形区域．思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有几种？试着列举两例．例如：（1）可设一边长为x m，那么其邻边长为96x（2）可设一边长为（10＋x）m，那么其邻边长为（10－x）m．追问：能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点． 如图①，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为多少？方法一：解：如图②，设道路的宽为x m．则20×32－32x－20x＋x2=540．思考：还有其他列法吗？方法二：如图②，设道路的宽为x m．则（32－x）（20－x）=540．整理，得x2－52x＋100=0．学生自行完成解答．归纳总结：在几何图形的面积问题中：规则图形可直接运用面积公式；不规则图形可先割或补成规则图形，找出各部分面积之间的等量关系，再运用规则图形的面积公式列出方程．1.（4分）用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形，设长方形的长为x cm，则可列方程为（B）A．x（20＋x）=64B．x（20－x）=64C．x（40＋x）=64D．x（40－x）=642.（4分）若用一条长为30 cm的铁丝围成一个斜边长是13 cm的直角三角形，则两直角边的长分别为5cm，12cm．3.（10分）如图，在一块长为22 m、宽为17 m的矩形空地上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪．要使草坪面积为300 m2，则道路宽为多少米？书写通关解：设道路宽为x m．根据题意得（22－x）（17－x）=300．解得x1=37，x2=2．（x=37不合题意，舍去）答：道路宽为2 m．4.（12分）如图，要利用一面墙（墙长为25 m）建羊圈，用75 m长的围栏围成总面积为300 m2的两个大小相同的矩形羊圈，那么羊圈的边长AB，BC各为多少米？解：设AB的长度为x m，则BC的长度为（75－3x） m．根据题意得（75－3x）x=300，解得x1=20，x2=5.当x=20时，75－3x=15＜25，符合题意．当x=5时，75－3x=60＞25，不符合题意，舍去．∴AB=20 m，BC=15 m．答：羊圈的边长AB，BC分别是20 m，15 m．板书设计图形的面积问题直角三角形中的边长问题：勾股定理分层作业A层（基础巩固・全员必做）掌握矩形、正方形基础面积问题，能根据边长关系列出一元二次方程，正确求解方程。B层（能力提升・中等以上完成）解决修路、留白、边框宽度等常规几何应用题，能根据实际情况取舍方程的根。C层（拓展培优・选做）解决组合图形、动点几何面积问题，提升数形结合与建模综合能力。教学反思课题第2课时传播问题与平均变化率问题备课人课时第8课时课标解读与教材分析课标要求：理解传播问题、增长率和降低率问题的数量变化规律，掌握两类经典应用题的建模方法，能独立列出方程解决实际生活问题。教材分析：本节课是中考高频应用题型，模型固定、规律性强。通过学习让学生掌握标准化建模思路，有效提升数学建模与数据分析素养。教学目标1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2.通过学生自主探究，会根据传播问题、平均变化率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．教学重点与难点重点1.通过分析问题中的数量关系，建立方程模型解决问题．（重点）难点2.传播、平均变化率问题的一元二次方程模型的建立及运用．（难点）媒体教具教案、教材、课件教学方法采用情境建模法、规律归纳法、模板总结法，搭配变式练习巩固题型。教学过程知识链接：前面我们学习了一元二次方程的实际应用，回顾一下相关知识．创设情境——见配套课件探究点一：一元二次方程解决传播问题问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：设每轮传染中平均1个人传染了x个人．填写下列表格并作答．传染源人数第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数11＋x=（1＋x）11＋x＋x（1＋x）=（1＋x）2解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．列方程，得1＋x＋x（1＋x）=121．解方程，得x1=10，x2=－12（不合题意，舍去）．思考：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数第三轮传染后的人数（1＋x）1（1＋x）2（1＋x）3三轮传染后的人数是（1＋x）3=（1＋10）3=1331.追问：n轮传染后有多少人患流感？（1＋x）n人． 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少个小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则1＋x＋x2=133，即x2＋x－132=0.解得x1=11，x2=－12（不合题意，舍去）．答：每个支干长出11个小分支．探究点二：一元二次方程解决平均变化率问题问题2：两年前生产1 t甲种药品的成本是10000元，生产1 t乙种药品的成本是12000元．随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是6000元，生产1 t乙种药品的成本是7200元．哪种药品成本的年平均下降率较大？思考1：甲种、乙种药品年平均下降额分别是多少？甲：（10000－6000）÷2=2000（元）；乙：（12000－7200）÷2=2400（元）．思考2：甲种、乙种药品年平均下降率分别是多少？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定大吗？设甲的下降率为x，设乙的下降率为y．请自己动手写出分析过程并尝试解答．两年前成本一年前成本现在成本成本价成本价（1－下降率）一年前成本（1－下降率）甲1000010000（1－x）10000（1－x）（1－x）乙1200012000（1－y）12000（1－y）（1－y）解：设甲种、乙种药品成本的年平均下降率为x，y．由题意得甲种药品：10000（1－x）2=6000.解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）．乙种药品：12000（1－y）2=7200.解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775（不合题意，舍去）．综上可知，甲、乙两种药品的下降率相同．思考3：为什么选择22.5%作为答案？一般下降率不可为负，且不大于1.经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．归纳总结：平均变化率：a（1±x）n=b，其中增长（或降低）n次前的量是a；平均增长（或降低）百分率为x；增长（或降低）n次后的量是b．1.（4分）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（C）甲：第1轮后有（x＋1）个人患了流感；乙：第2轮又增加x（x＋1）个人患流感；丙：依题意可列方程为1＋x＋x2=36.A．甲错，丙对B．甲对，乙错C．甲对，丙错D．乙和丙都对2.（10分）随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从前年的200万元增长到今年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率．书写通关解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x，根据题意得200（1＋x）2=392．解得x1=0.4，x2=－2.4．（x=－2.4不合题意，舍去）答：该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%．3.（16分）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低.2024年这种药剂价格为200元，2026年该药剂价格为98元．（1）求2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率；（2）若该制药厂计划2027年对此药剂按此下降率继续降价，预计2027年该药剂的价格为多少元？解：（1）设2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率为x，根据题意得200（1－x）2=98，解得x1=0.3=30%，x2=1.7（不符合题意，舍去）．故这种药剂价格的年平均下降率为30%．（2）98×（1－30%）=68.6（元），即预计2027年该药剂的价格为68.6元.板书设计传播问题与平均变化率问题传播问题：（1＋x）n平均变化率问题：a（1±x）n=b分层作业A层（基础巩固・全员必做）掌握基础传播问题、单次增长率问题，熟记基本建模公式，能规范列方程求解。B层（能力提升・中等以上完成）熟练解决连续两次增长、降低率问题，能准确分析题干变化规律，建立标准模型。C层（拓展培优・选做）解决复杂多阶段变化率问题、传播人数综合变式题，提升规律探究能力。教学反思课题第3课时循环问题、数字问题与其他问题备课人课时第9课时课标解读与教材分析课标要求：掌握数字问题、循环赛事问题的数量关系，能准确提取题目等量关系，灵活建立一元二次方程，提升综合解题应用能力。教材分析：本节课题型灵活多样，综合性较强，拓展了一元二次方程的应用场景，进一步锻炼学生审题分析、提炼等量关系的能力。教学目标1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2.通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．教学重点与难点重点1.通过分析