医学院硕士医学统计-Chap-9-线性回归与线性相关-李文芸

2026/9/13第九章直线相关与回归1医学统计学(第4版)

供研究生用研究生规划教材第九章

双变量回归与相关暨南大学基础医学院医学统计教研室李文芸2026/9/13第九章直线相关与回归2第九章双变量回归与相关研究两个数值变量间的数量关系第一节直线回归Linearregression第二节直线相关Linearcorrelation第三节秩相关Rankcorrelation双变量关系研究2026/9/13第九章直线相关与回归3单变量计量资料统计分析一个变量的统计特征比较一个变量的组间差别两个变量关系的问题例:儿童年龄与身高关系，儿童体重与身高关系糖尿病患者血糖与胰岛素水平关系两个变量之间的关系是否呈直线型

，联系的密切程度–线性相关有直线型关系，希望了解一个变量对另一变量的影响强度–线性回归2026/9/13第九章直线相关与回归4第一节直线回归

linearregression回归概念分析步骤直线回归方程的求导统计推断估计与预测2026/9/13第九章直线相关与回归5例9-1某地方病研究所调查了8名正常儿童的尿肌酐含量(mmol/24h)如表9-1。试估计尿肌酐含量（Y)对其年龄（X)的回归方程。X为自变量(independentvariable)Y为因变量(dependentvariable)表9-18名正常儿童的年龄X岁与尿肌酐含量(mmol/24h)编号12345678年龄X131196810127尿肌酐含量Y3.543.013.092.482.563.363.182.65散点图2026/9/13第九章直线相关与回归6绘制散点图

以横轴为年龄X,纵轴为尿肌酐Y,将随机样本的n对变量值(X1,Y1),…,(Xn,Yn),即(13,3.54),

(11,3.01),…,

(7,2.65)

(表9-1数据,共8个记录),绘于图中,得散点图(图9-1)。

散点图2026/9/13第九章直线相关与回归7观察散点的分布趋势尿肌酐含量Y随年龄X增加而增大,且呈直线趋势并非8个点全在一直线上,不是严格的直线函数关系进行线性回归或相关分析。

年龄141210864尿肌酐3.63.43.23.02.82.62.42026/9/13第九章直线相关与回归8回归分析,regressionanalysis2026/9/13第九章直线相关与回归9回归分析,regressionanalysis2026/9/13第九章直线相关与回归10直线回归方程2026/9/13第九章直线相关与回归11年龄131211109876尿肌酐3.63.43.23.02.82.62.4(X,Y)直线回归方程2026/9/13第九章直线相关与回归12常数项a,constantterm截距，intercept，回归直线在Y轴的交点。a=0，交点在原点上;a>0，交点在原点的上方;a<0，交点在原点的下方。统计意义：当X=0时，

相应Y的均数估计值。

去掉此选项方程不含常数项,方程必过原点2026/9/13第九章直线相关与回归13回归系数b,Coefficientofregression斜率，slope，直线越陡，斜率b=tg越大。

不考虑其它变量的影响，两变量间的数量依存关系。b=0：回归直线与x轴平行，即X与Y无直线关系;b>0：直线从左下方走向右上方;b<0：直线从左上方走向右下方;b=0，回归方程无意义。斜率的统计意义：当X变化一个

单位，Y平均

改变的估计值

(b个单位)。

2026/9/13第九章直线相关与回归14最小二乘法年龄131211109876尿肌酐3.63.43.23.02.82.62.4(X，Y)2026/9/13第九章直线相关与回归15例9-1直线回归方程年龄131211109876尿肌酐3.63.43.23.02.82.62.4(X，Y)2026/9/13第九章直线相关与回归16例9-1线性回归LinearRegressionAnalyze

Regression

Linear...Dependent因变量Independent(s)自变量2026/9/13第九章直线相关与回归17例9-1SPSS的直线回归方程Coefficientsa1.662(a).2975.595.001.139(b).0304.579.004(Constant)年龄Model1BStd.ErrorUnstandardizedCoefficientstSig.DependentVariable:尿肌酐a.回归直线方程为2026/9/13第九章直线相关与回归18绘制散点图散点图2026/9/13第九章直线相关与回归19绘制散点图2026/9/13第九章直线相关与回归20绘制散点图例124359-1简单散点图Simple①选择Simple(简单);②单击Define(定义)。③YAxis：y④XAxis：x⑤单击OK。

2026/9/13第九章直线相关与回归21例9-1SimpleScatterplot2026/9/13第九章直线相关与回归22例9-1SPSS制作回归线2026/9/13第九章直线相关与回归23例9-1SPSS制作回归线2026/9/13第九章直线相关与回归24例9-1SPSS添加回归方程回归方程2026/9/13第九章直线相关与回归25直线回归中的统计推断直线回归的检验-方差分析2026/9/13第九章直线相关与回归26直线回归的检验-方差分析2026/9/13第九章直线相关与回归27直线回归的检验-方差分析2026/9/13第九章直线相关与回归28如果不存在线性回归关系（b=0)SS总实际就是随机误差引起，SS回与SS残都只包含随机因素的影响；均方MS回与MS残都近似等于随机误差的方差，比值应接近1，服从F分布；反之若两者相差大，F统计量大，则回归方程有统计意义2026/9/13第九章直线相关与回归29例9-1回归方程检验—方差分析表2026/9/13第九章直线相关与回归30例9-1

SPSS回归方程的方差分析H0:b=0，H1:b≠0，a=0.05。F=20.968，P=0.004<0.05，按a=0.05检验水准，拒绝H0，接受H1，认为方程有统计学意义，即儿童尿肌酐含量与年龄之间有直线关系bANOVA.8131.81320.968.004a.2336.0391.0467RegressionResidualTotalModel1SumofSquaresdfMeanSquareFSig.Predictors:(Constant),年龄a.DependentVariable:尿肌酐b.2026/9/13第九章直线相关与回归31例9-1回归方程的回归系数检验扩大X的取值范围可减小b的标准误,使b的估计更稳定2026/9/13第九章直线相关与回归32例9-1SPSS回归方程的回归系数检验回归系数检验—t检验H0:b=0，H1:b≠0，a=0.05。回归系数的tb=4.571，P=0.004<0.05，按a=0.05检验水准，拒绝H0，接受H1，认为b不为零，方程存在。

Coefficientsa1.664(a).2975.602.001.139(b).030(Sb)4.571.004(Constant)年龄Model1BStd.ErrorUnstandardizedCoefficientstSig.DependentVariable:尿肌酐a.方差分析与t检验关系2026/9/13第九章直线相关与回归33单自变量线性回归时，检验回归方程有无意义的方差分析等价于检验=0的t-检验t2=4.5712=20.9=F多自变量线性回归时例如用父亲身高（X1）与母亲身高（X2)共同预测孩子身高（Y)方差分析：X1.X2都对Y没影响（

1=0&

2=0）t-检验：

1=0检验父亲身高没影响；

2=0检验母亲身高没影响；分别单独检验2026/9/13第九章直线相关与回归34例9-1SPSS回归方程的常数项检验常数项检验—t检验H0:a=0，H1:a≠0，a=0.05。常数项的ta=5.602，P=0.001<0.05，按a=0.05检验水准，拒绝H0，接受H1，认为回归方程不过原点。

Coefficientsa1.664(a).2975.602.001.139(b).030(Sb)4.571.004(Constant)年龄Model1BStd.ErrorUnstandardizedCoefficientstSig.DependentVariable:尿肌酐a.2026/9/13第九章直线相关与回归35总体回归系数b的可信区间2026/9/13第九章直线相关与回归36例9-1统计量子对话框:计算b的可信区间123操作:①在主对话框中单击[Statistics]，②选择Confidenceintervals，③单击[Continue]。Estimates与Modelfit是默认选择。

2026/9/13第九章直线相关与回归37例9-1系数的95%可信区间

在Statistics子对话框中选择Confidenceintervals，则在“系数”表的最右侧出现系数的95%可信区间。常数项

的95%可信区间为(0.935，2.388)。回归系数

的95%可信区间为(0.065，0.214)。

Coefficientsa.9352.388.065.214(Constant)年龄Model1LowerBoundUpperBound95%ConfidenceIntervalforBDependentVariable:尿肌酐a.2026/9/13第九章直线相关与回归38估计:总体均数mY|X的可信区间(例9-4)2026/9/13第九章直线相关与回归39预测:个体Y值的预测区间(例9-4)总是大于总体均数估计值的标准误类似于参考值范围2026/9/13第九章直线相关与回归40可信区间与预测区间示意图尿肌酐预测区间可信区间年龄16.0014.0012.0010.008.006.004.002.00.005.04.03.02.01.00.0回归方程2026/9/13第九章直线相关与回归41例9-1计算可信区间与预测区间操作①在主对话框中单击[Save],②选择Unstandardized,S.E.ofmeanpredictions,mean,individual,

③单击[Continue]。[Save]按钮在DataView中新产生相应的变量,并计算其数值。

123222026/9/13第九章直线相关与回归42例9-1计算可信区间与预测区间12342026/9/13第九章直线相关与回归43例9-1可信区间与预测区间计算结果运行LinearRegression过程后，在DataView中新产生的数据。当X0=12时：预测值均数的标准误(Sep_1)为0.10306；总体均数的95%可信区间为3.07948~3.58385；个体Y值的95%预测区间为2.78773~3.87560。

2026/9/13第九章直线相关与回归44回归的主要用途描述两个变量之间的数量依存关系。

利用回归方程进行预测。将年龄X代入回归方程可预测尿肌酐含量。适用范围一般不应超出样本中自变量的取值范围，此预测值称为内插，interpolation;超出自变量取值范围所得预测值称为外延，extrapolation，外延预测准确性更差。利用回归方程进行控制。用回归方程进行逆估计。但不是求由Y预测X的回归方程。欲控制大气中二氧化氮的浓度在^y=0.05mg/L以下，须将汽车流量控制在x=1183辆/小时以下。

2026/9/13第九章直线相关与回归45利用SPSS进行预测2026/9/13第九章直线相关与回归46利用SPSS进行预测的DataView图示2026/9/13第九章直线相关与回归47第二节直线相关

linearcorrelation直线相关概念相关系数r的意义r的假设检验为了与直线回归分析的结果进行对比,此处以例9-1为例2026/9/13第九章直线相关与回归48直线相关概念相关，correlation。两变量互相依赖、共同变化的关系:身高和体重不是由X估计Y，两变量不分主次，地位同等描述两变量间联系的密切程度。直线相关，linearcorrelation。简单相关，simplecorrelation。用于双变量正态分布(bivariatenormaldistribution)资料。两变量呈线性共同增大，或一增一减2026/9/13第九章直线相关与回归49相关系数correlationcoefficientPearson积差相关系数(product-momentcorrelationcoefficient)。描述变量之间直线相关的密切程度和方向的r表示样本相关系数;

(音：Rho，洛)表示其总体相关系数。相关系数没有单位，其取值范围:［-1，1］。2026/9/13第九章直线相关与回归50相关系数的意义r=0，零相关，zerocorrelation。无直线关系，不能说明无任何关系1.非线性相关：可能是某曲线关系2.无任何关系。r=

1，完全正/负相关，完全直线关系。perfectpositive/negativecorrelation。-1<r<0，negativecorrelation，负相关;0<r<1，positivecorrelation，正相关;|r|愈接近1，相关愈密切;|r|愈接近0，相关愈不密切。

2026/9/13第九章直线相关与回归51相关系数的几何意义r=0,零相关r=

1,完全正/负相关-1<r<0,负相关0<r<1,正相关|r|从0到1变化时,散点从散开逐渐聚到一直线上2026/9/13第九章直线相关与回归52例9-1BivariateCorrelationsAnalyze

Correlate

Bivariate...x,y

Variables2026/9/13第九章直线相关与回归53**:P<0.01，双侧检验。尿肌酐含量和其年龄的相关系数r=0.882。H0:ρ=0，H1:ρ≠0，=0.05。

p=0.004，按=0.05检验水准，拒绝H0，接受H1，认为总体相关系数不为零，可认为尿肌酐与年龄间有正的直线相关关系。

Correlations1.882**..00488.882**1.004.88PearsonCorrelationSig.(2-tailed)NPearsonCorrelationSig.(2-tailed)N年龄尿肌酐年龄尿肌酐Correlationissignificantatthe0.01level(2-tailed).**.例9-1相关结果(缺点:无t检验统计量)2026/9/13第九章直线相关与回归54r的假设检验r为样本估计值,存在抽样误差,应做假设检验H0:ρ=0,H1:ρ≠0,a=0.05。sr为相关系数的标准误。按a=0.05检验水准,拒绝H0,接受H1,可认为…。相关程度说明相关的实际意义。┏━│r│<0.4低度相关┃0.4≤│r│<0.8中度相关┗━│r│≥0.8高度相关2026/9/13第九章直线相关与回归55例9-1Crosstabs过程Analyze

DescriptiveStatistics

Crosstabs...Bivariate过程没有给出检验ρ=0的t值,可用Crosstabs过程计算出t值2026/9/13第九章直线相关与回归56例9-1Crosstabs过程①把x

Row(s)，②y

Column(s)，③单击[Statistice…]打开子对话框；④选择"Correlations(相关)”，单击⑤[continue]和⑥[OK]。

1234562026/9/13第九章直线相关与回归57例9-1Crosstabs过程的结果SymmetricMeasures.882.0644.579.004c.857.1234.076.007c8Pearson'sRIntervalbyIntervalSpearmanCorrelationOrdinalbyOrdinalNofValidCasesValueAsymp.Std.ErroraApprox.TbApprox.Sig.Notassumingthenullhypothesis.a.Usingtheasymptoticstandarderrorassumingthenullhypothesis.b.Basedonnormalapproximation.c.2026/9/13第九章直线相关与回归58r的可信区间(SPSS没有提供计算)(n=8)反双曲正切函数2026/9/13第九章直线相关与回归59r的可信区间(SPSS没有提供计算)tanh为双曲正切函数;tanh-1为反双曲正切函数。开始附件计算器tanh-1：输入0.8818，单击Inv，再单击tanh-1，即得1.3838。tanh：输入

0.5073，

单击tanh，

即得

0.4678。

2026/9/13第九章直线相关与回归60例9-1SPSS的回归方程的概述复相关系数R=0.882

复相关系数:multiplecorrelationcoefficient，用于衡量因变量Y与线性回归方程间相关关系的密切程度，也即Y与

之间的相关系数。R其值在0与1之间。

如果只有一个自变量，此时R=|r|。

ModelSummary.882a.778.740.19696Model1RRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimatePredictors:(Constant),年龄a.2026/9/13第九章直线相关与回归61决定系数,coefficientofdetermination2026/9/13第九章直线相关与回归62例9-1SPSS的回归方程的概述校正决定系数R2受自变量个数的影响,由此又提出校正决定系数,既反映模型的拟和优度,又同时考虑了模型中的自变量个数。

ModelSummary.882a.778.740.19696Model1RRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimatePredictors:(Constant),年龄a.2026/9/13第九章直线相关与回归63例9-1SPSS的回归方程的概述剩余标准误sy.x=0.19696参见(9-12)式ModelSummary.882a.778.740.19696Model1RRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimatePredictors:(Constant),年龄a.2026/9/13第九章直线相关与回归64直线回归和相关

应用的注意事项根据分析目的选择变量及统计方法

回归与相关说明的问题不同,但又有联系进行相关回归分析前应绘制散点图用残差图考察数据是否符合模型假设条件结果的解释及正确应用2026/9/13第九章直线相关与回归65直线回归:Y对X的依赖关系，由X估计Y根据专业要求决定谁是自变量、因变量常把易测量、可控制的变量作为自变量XX取值范围尽可能广X可以是选定的也可以是随机的，Y是正态分布随机变量截距与回归系数都有量纲直线相关:两变量间直线关系的方向和密切程度X和Y都是正态分布随机变量，无主次之分相关系数无量纲均不服从正态分布时,宜用Spearman等级相关分析。

回归与相关的不同之处2026/9/13第九章直线相关与回归66X为选定变量或随机变量X可事先选定的X:年龄，以1岁作间距

Y:身高，给定X，Y服从正态分布X:服药后时间，1小时、2小时、…

Y:血中药物的浓度，各X值处的Y服从正态分布。X也可为随机变量它随着实验结果的不同而变化，当实验结果确定后，它的值也就相应被确定。某人群的体重X与肺活量Y，服从双变量正态分布。

2026/9/13第九章直线相关与回归67对r和对b的假设检验等价都检验直线关系是否存在两者符号相同，方向一致;两者的绝对值大小无直接关系。|r|越大，表示X与Y相关越紧密，各散点越靠近回归直线。|b|越大，表示Y随X变化越快，回归直线越陡。

回归与相关之间的联系相关、回归分析不表示有因果关系相关与回归分析研究两变量共变或依存关系，只是伴随关系，未必就是因果关系如果两个事物的数量变化都与第三个事物有关，那么它们之间也可能存在相关或回归关系儿童年龄增长→身高增长:因─果年龄增长，体重增长，同时身高增长，身高与体重可做相关分析、回归分析，但是体重与身高不是因─果关系因果关系推断，应结合联系强度，一致性，时间顺序，剂量反应关系，生物学证据等推断指标进行分析。

2026/9/13第九章直线相关与回归682026/9/13第九章直线相关与回归69残差图,residualplot回归分析应满足条件:应变量与自变量关系为线性关系随机误差服从均数为0的正态分布，且方差相等各观测单位相互独立残差图可作为检查方法，简单有效残差e作为纵坐标，预测值

或X作为横坐标图9-8a:数据较为理想图9-8b:有一个点的残差较大图9-8c:曲线关系图9-8d:方差随X或

增大图9-8e:与时间有关2026/9/13第九章直线相关与回归70有直线趋势型正确散点图无特殊的分布趋势,为理想的残差分布。例9-1数据较为理想的残差图,说明此数据用于拟合直线回归方程是恰当的。

2026/9/13第九章直线相关与回归71利用残差图观察特异点检查是否有异常点，outlier。预报效果较差的点。采用残差置信带判断异常数据，如果发现异常数据应认真核查、深入分析残差置信带:

2(或3)SYXSPSS是以标化

残差标准差的

倍数作为残差

置信带。

2026/9/13第九章直线相关与回归72无直线趋,模型不正确

有曲线趋势,应进一步拟合曲线关系。参阅第六节曲线拟合。残差与回归预测值呈曲线关系,提示所建立的回归方程对资料的信息概括不全面,需增加非线性回归项。

散点图2026/9/13第九章直线相关与回归73回归模型的适合性散点图自变量X与应变量Y呈非线性相关。如果用直线回归去拟合它们，其残差会出现一段全为负（或正)，紧接一段全为正（或负)，然后又接一段全为负（或正)的现象2026/9/13第九章直线相关与回归74方差不齐,需修正模型

残差呈呈扇形,说明误差的方差不齐,反映方差有随估计值的增大而增大的趋势。可能是抽样误差造成的偶然结果,也可能是过失误差

应考虑某种对方差进行稳定化的处理。参见本章第四节

散点图2026/9/13第九章直线相关与回归75散点图数据不独立,模型不正确残差之间不独立的情况,可以看到残差与各个观测的测量时间存在较强的相关,也不适用前述的直线回