高中数学必修一第二章单元综合检测试题(含解析)人教A版

PAGE第二章单元综合检测(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.已知-b<a<0,则下列不等式中正确的是()A.1a>1b B.aC.1a-b>1a 2.(2026·自贡高一检测)集合A={x|x<1},B={x|x2-2x<0},则A∩B=()A.{x|0<x<1} B.{x|-1<x<0}C.{x|-1<x<2} D.{x|0<x<2}3.如图,在一块长为22m,宽为17m的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm,根据题意可列出的不等式为()A.(22-x)(17-x)≤300 B.(22-x)(17-x)≥300C.(22-x)(17-x)>300 D.(22-x)(17-x)<300所以(22-x)(17-x)≥300.4.(2026·菏泽高一检测)已知2≤a≤4,-1≤b≤3,则a-2b的取值范围是()A.{x|-8≤x≤2} B.{x|-3≤x≤1}C.{x|-4≤x≤6} D.{x|-7≤x≤7}5.已知2x+2y=1(x>0,y>0),则x+y的最小值为A.1 B.2 C.4 D.86.关于x的不等式ax-b>0的解集是{x|x>1},则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是()A.{x|1<x<3} B.{x|-1<x<3}C.{x|x<-1或x>3} D.{x|x<1或x>3}7.若关于x的一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是()A.{m|m≤-2或m≥2}B.{m|-2≤m≤2}C.{m|m<-2或m>2}D.{m|-2<m<2}8.(2025·无锡高一检测)我国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)A.6 B.12 C.47 D.411二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分)9.若1a<1b<0,则下列不等式中,正确的是A.a+b<ab B.|a|>|b|C.a<b D.ba10.已知函数y=x2+ax+b(a≠0)有且只有一个零点,则()A.a2-b2≤4B.a2+1bC.若不等式x2+ax-b<0的解集为{x|x1<x<x2},则x1x2>0D.若不等式x2+ax+b<c的解集为{x|1<x<3},则c=111.已知a,b均为正数,且2a+5b=1,则下列结论一定正确的是()A.1B.9aC.ab的最大值是1D.8a2+50b2≥1三、填空题(每小题5分,共15分)12.(2026·上海高一检测)关于x的不等式2x-113.已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围是.

14.(2025·上海高考)设a,b>0,a+1b=1,则b+1a的最小值为四、解答题(共77分)15.(13分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}.(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;(2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R?16.(15分)若实数x>0,y>0,且满足x+y=8-xy.(1)求xy的最大值;(2)求x+y的最小值.17.(15分)近几年来,“盲盒文化”广为流行,这种文化已经在中国落地生根,并发展出具有中国特色的盲盒经济,某盲盒生产及销售公司今年初用98万元购进一批盲盒生产线,每年可有50万元的总收入,已知生产此盲盒x年(x为正整数)所用的各种费用总计为(2x2+10x)万元.(1)该公司第几年首次盈利(总收入超过总支出,今年为第一年).(2)该公司几年后年平均利润最大?最大是多少?18.(17分)设y=mx2+(1-m)x+m-2.(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围;(2)在(1)的条件下,求m2+219.(17分)(2024·延边高一检测)若实数x,y,m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m.(1)若2比3x-4远离1,求x的取值范围;(2)设y=x+2x+1,其中x∈{x|0<x<2或x>2},判断:x与y哪一个更远离(3)若x+y=2,试问:y与x2+y2哪一个更远离12?并说明理由

答案解析一、单选题(每小题5分,共40分)1.已知-b<a<0,则下列不等式中正确的是()A.1a>1b B.aC.1a-b>1a 【解析】选C.因为-b<a<0,所以b>0>a,所以1a<0,1b>0,所以当a=-12,b=1时,a2<b2因为a-b<a<0,所以1a当a=-1,b=2时,|a|<b,故选项D错误.2.(2026·自贡高一检测)集合A={x|x<1},B={x|x2-2x<0},则A∩B=()A.{x|0<x<1} B.{x|-1<x<0}C.{x|-1<x<2} D.{x|0<x<2}【解析】选A.由x2-2x=x(x-2)<0,解得0<x<2,则B={x|0<x<2},又A={x|x<1},则A∩B={x|0<x<1}.3.如图,在一块长为22m,宽为17m的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm,根据题意可列出的不等式为()A.(22-x)(17-x)≤300 B.(22-x)(17-x)≥300C.(22-x)(17-x)>300 D.(22-x)(17-x)<300【解析】选B.把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个矩形,因为道路宽为xm,所以草坪面积为(22-x)(17-x),因为草坪的面积不小于300m2,所以(22-x)(17-x)≥300.4.(2026·菏泽高一检测)已知2≤a≤4,-1≤b≤3,则a-2b的取值范围是()A.{x|-8≤x≤2} B.{x|-3≤x≤1}C.{x|-4≤x≤6} D.{x|-7≤x≤7}【解析】选C.因为2≤a≤4,-1≤b≤3,所以-6≤-2b≤2,由不等式的性质可得-4≤a-2b≤6.因此,a-2b的取值范围是{x|-4≤x≤6}.5.已知2x+2y=1(x>0,y>0),则x+y的最小值为A.1 B.2 C.4 D.8【解析】选D.因为x>0,y>0,所以x+y=(x+y)·(2x+2y)=4+2(x当且仅当xy=yx,即x6.关于x的不等式ax-b>0的解集是{x|x>1},则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是()A.{x|1<x<3} B.{x|-1<x<3}C.{x|x<-1或x>3} D.{x|x<1或x>3}【解析】选C.不等式ax-b>0的解集是{x|x>1},故a>0,ba=1,则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0即a(x+ba)(x-3)>0,即(x+1)(x-3)>0,故解集是{x|x<-1或x7.若关于x的一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是()A.{m|m≤-2或m≥2}B.{m|-2≤m≤2}C.{m|m<-2或m>2}D.{m|-2<m<2}【解析】选B.因为不等式x2+mx+1≥0的解集为R,所以Δ=m2-4≤0,解得-2≤m≤2.8.(2025·无锡高一检测)我国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)A.6 B.12 C.47 D.411【解析】选B.a=6,b+c=10,则p=a+故S=8×2×(8-b)(8-c)=4二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分)9.若1a<1b<0,则下列不等式中,正确的是A.a+b<ab B.|a|>|b|C.a<b D.ba【解析】选AD.因为1a<1b<0,所以b<a<0,所以a+b<0<ab因为ba>0,ab>0,a>b,所以ba+10.已知函数y=x2+ax+b(a≠0)有且只有一个零点,则()A.a2-b2≤4B.a2+1bC.若不等式x2+ax-b<0的解集为{x|x1<x<x2},则x1x2>0D.若不等式x2+ax+b<c的解集为{x|1<x<3},则c=1【解析】选AD.因为y=x2+ax+b(a≠0)有且只有一个零点.故可得Δ=a2-4b=0,即a2=4b>0.a2-b2≤4等价于b2-4b+4≥0,显然(b-2)2≥0,故A正确.a2+1b=4b+1b≥24因为不等式x2+ax-b<0的解集为{x|x1<x<x2},故可得x1x2=-b<0,故C错误.因为不等式x2+ax+b<c的解集为{x|1<x<3},所以实数1与3是方程x2+ax+b-c=0的两根,所以-a=1+3=4,则a=-4,从而b=4.又b-c=1×3=3,所以c=b-3=1,故D正确.11.已知a,b均为正数,且2a+5b=1,则下列结论一定正确的是()A.1B.9aC.ab的最大值是1D.8a2+50b2≥1【解析】选BCD.对于A,取a=b=17满足题意,但显然1对于B,由2a+5b=(a+4b)+(a+b)=1,因为a,b均为正数,则9a+4b+1a+b=(9a10+9a+9ba+4b+a+4ba对于C,由基本不等式可知2a+5b=1≥210ab,即ab≤1当且仅当a=14,b=1对于D,由基本不等式可知12=2a+5b2≤4a2+25b22,则8a2三、填空题(每小题5分,共15分)12.(2026·上海高一检测)关于x的不等式2x-1x-2≥1的解集为{x|x≤【解析】根据题意2x-1x则(x+1)(x-2)所以不等式2x-1x-2≥1的解集为{x|x13.已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围是{a|-1≤a≤4}.

【解析】因为关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,y=-x2+4x=-(x-2)2+4的最大值为4,所以a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.14.(2025·上海高考)设a,b>0,a+1b=1,则b+1a的最小值为4【解析】易知b+1a=(b+1a)(a+1b)=ab+1当且仅当ab=1,即a=12,b=2时取得最小值四、解答题(共77分)15.(13分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}.(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;【解析】(1)由题意知1-a<0且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,所以1-a<0,所以不等式2x2+(2-a)x-a>0,即为2x2-x-3>0,解得x<-1或x>32所以所求不等式的解集为x|(2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R?【解析】(2)ax2+bx+3≥0,即为3x2+bx+3≥0,若此不等式的解集为R,则b2-4×3×3≤0,所以-6≤b≤6.16.(15分)若实数x>0,y>0,且满足x+y=8-xy.(1)求xy的最大值;【解析】(1)因为x>0,y>0,所以8-xy=x+y≥2xy,即(xy+4)(xy-2)≤0,解得0<xy≤4,当且仅当x=y=2时,等号成立,所以xy的最大值为4.(2)求x+y的最小值.【解析】(2)8-(x+y)=xy≤(x+y2)2,所以[(x+y)+8][(x+y)-4]≥0,所以x+y≥4,当且仅当x=y=2时,等号成立,即x+17.(15分)近几年来,“盲盒文化”广为流行,这种文化已经在中国落地生根,并发展出具有中国特色的盲盒经济,某盲盒生产及销售公司今年初用98万元购进一批盲盒生产线,每年可有50万元的总收入,已知生产此盲盒x年(x为正整数)所用的各种费用总计为(2x2+10x)万元.(1)该公司第几年首次盈利(总收入超过总支出,今年为第一年).【解析】(1)设利润为y,则y=50x-(98+2x2+10x)=-2x2+40x-98(x∈N*),由-2x2+40x-98>0整理得x2-20x+49<0,解得10-51<x<10+51,由于x∈N*,所以x∈{x|3≤x≤17,x∈N*},所以第3年首次盈利.(2)该公司几年后年平均利润最大?最大是多少?【解析】(2)首先x∈{x|3≤x≤17,x∈N*},由(1)得年平均利润yx=-2(x+49x)+40≤-2×2x·49x+40=12(万元),当且仅当x=18.(17分)设y=mx2+(1-m)x+m-2.(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围;【解析】(1)由已知得y=mx2+(1-m)x+m-2≥-2对一切实数x恒成立,即mx2+(1-m)x+m≥0对一切实数x恒成立.当m=0时,x≥0,不满足题意;当m≠0时,则m>0Δ=(1综上所述,实数m的取值范围为{m|m≥13}(2)在(1)的条件下,求m2+2【解析】(2)由(1)可知m≥13,则m2+2m+5m+1当且仅当m+1=4m+1,即m=1时,等号成立故m2+2m+519.(17分)(2024·延边高一检测)若实数x,y,m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m.(1)若2比3x-4远离1,