15.3.1 等腰三角形（第1课时）

12/14第十五章轴对称15.3等腰三角形

15.3.1等腰三角形第1课时一、教学目标【知识与技能】掌握等腰三角形的性质,会运用性质进行证明和计算.【过程与方法】经历观察实验、猜想证明,发展合情推理能力和演绎推理能力.【情感、态度与价值观】通过同学间的合作与交流,体会在解决问题过程中与他人合作的益处,数学知识在生活中的用途.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】 理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题.【教学难点】 等腰三角形性质的探索和应用.五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等。学生：三角尺、直尺。六、教学过程（一）导入新课下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？（出示课件2）我们知道有两边相等的三角形是等腰三角形。（二）探索新知1.师生互动，探究等腰三角形的性质教师问1：如图,在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来，将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开.找出其中重合的线段和角.（出示课件4）将找出的重合的线段和角填入下表（出示课件5）重合的线段重合的角学生观察讨论后完成下表教师问2：观察上表，由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？

说一说你的猜想.

学生猜想1：等腰三角形的两个底角相等.（出示课件6）教师问3：如何证明我们的猜想是否正确呢？师生共同解答如下：已知：△ABC中，AB=AC,

求证：∠B=∠C.

教师问4：如何证明两个角相等呢？学生讨论后回答：可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.教师问5：这里只有一个三角形，全等三角形需要两个三角形.如何构造两个全等的三角形？师生共同讨论后解答如下：（出示课件7）方法一：作底边上的中线.证明：作底边的中线AD，则BD=CD.

在△ABD和△ACD中AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，

AD=AD(公共边)，∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).教师问6：还有其他的证法吗？师生讨论后得到如下答案：（出示课件8）方法二：作顶角的平分线证明：作顶角的平分线AD，

则∠BAD=∠CAD.

在△ABD和△ACD中AB=AC(已知),∠BAD=∠CAD(已作),AD=AD(公共边),∴△ABD≌△ACD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).教师问7：由△ABD≌△ACD，除了可以得到∠B=∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？（出示课件9）学生小组内讨论后得到如下答案：解：∵△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高.教师总结点拨：（出示课件10）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).如图,在△ABC中,

∵AB=AC(已知),

∴∠B=∠C(等边对等角).

等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(三线合一）.（出示课件11）数学语言：如图,在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，

∴BD=CD,AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）

∵AB=AC,BD=CD(已知)，

∴∠1=∠2,AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，

∴BD=CD,∠1=∠2.（等腰三角形三线合一）教师问8：画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？（出示课件12）学生作图如下：学生作图并且比较后回答：不重合，不具有三线合一的性质.出示课件13，学生独立思考后解答，教师给出答案.例1：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.（出示课件14）师生共同分析如下：分析：（1）找出图中所有相等的角；∠A=∠ABD,

∠C=∠BDC=∠ABC；（2）指出图中有几个等腰三角形？△ABC,△ABD,△BCD.

（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？（出示课件15）

∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,

∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A.

（4）设∠A=x,请把△ABC的内角和用含x的式子表示出来.

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°.

师生共同解答如下：（出示课件16）解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.解得x=36°.∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.

教师总结点拨：（出示课件17）在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.

出示课件18，学生独立思考后解答，教师给出答案.例2：等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是()（出示课件19）A．65°或50°B．80°或40°

C．65°或80°D．50°或80°

解析：当等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（180°-50°）÷2=130°÷2=65°；当等腰三角形的一个底角是50°，则这个三角形的顶角的大小是180°-50°×2=80°，所以底角是65°或50°，故选A.总结点拨：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．出示课件20，学生独立思考后解答，教师给出答案.例3：已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.（出示课件21）(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；

(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.

图②图②图①师生共同解答如下：（出示课件22）证明：(1)如图，过A作AG⊥BC于G.

∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG.∴BG–DG＝CG–EG.∴BD＝CE.(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF.∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.教师总结点拨：（出示课件23）在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其底边上的中线、底边上的高、顶角平分线是常见的辅助线．出示课件24-25，由学生讨论后解答，教师给出答案.（三）课堂练习（出示课件27-32）1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）

A．30°，60°B．45°，45°

C．45°，90°D．20°，70°

2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（）

A．40°B．30°C．70°D．50°3.(1)等腰三角形一个底角为45°,它的另外两个角为__________________；

(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；

(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为___________________.

4.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则底角的大小为___________．5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°，求∠BAD和∠ADC的度数.

6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.

7.A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．参考答案：1.B2.A3.(1)45°,90°(2)72°,72°或36°,108°（3）30°，30°4.70°或20°提示：分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.5.解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=30°.

∵BD=CD，∴AD⊥BC.

∴∠ADB=∠ADC=90°.

∴∠BAD=90°–∠B=60°.

6.证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分线，∴∴∠DBC＝∠ECB.

∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F.∴EC∥DF.

7.解：如下图：分别以A、B、C为顶角顶点来分类讨论！共8个.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)2.等腰三角形的底边上的中线、高及顶角平分线相互重合(三线合一)（五）课前预习预习下节课（15.3.1）教材80页到81页的相关内容。知道等腰三角形的判定定理七、课后作业1、教材80页练习第2，3题，教材第84-86页习题15.3第1，3，6，8，13，14题2、如图所示,D为BC上一点,且AB=AC=BD,则图中∠1与∠2的关系是()A.∠1=2∠2B.∠1+∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.3∠1-∠2=180°八、板书设计：九、教学反思：1.本节课讲的是等腰三角形的性质,设计上让学生从动手实验入手,发现、猜想、证明、探究等腰三角形的性质,并逐步懂得联系生活实际.个别同学会对等边对等角以及“三线合一”的性质理解不透,应用的不是很熟练,仍然忽略两种情况的存在,还需要多尝试练习.2.本节课通过学生动手实践，观察分析，猜想证明，完成了从感性认识到理性认识的知识发生、发展的认知过程.使学生的思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，最后，学生动手运用所学知识解决问题，真正实现学生为主体的教学理念.综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.如果两个三角形全等,那么它们必是关于某条直线成轴对称B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称,那么它们是全等三角形C.等腰三角形是关于腰上的中线成轴对称的图形D.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形2.下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)为轴对称图形的是()3.如图,把等腰直角三角形ABC沿BD折叠,使点A落在边BC上的点E处.下面结论错误的是()A.AB=BE B.AD=DCC.AD=DE D.AD=EC4.如图,△AOD与△BOC关于直线l成轴对称,则下列说法不正确的是()A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.l垂直平分AB,CDD.AC,BD互相平分5.在平面直角坐标系中,若点P关于x轴的对称点在第二象限,且到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,则点P的坐标为()A.(-3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)6.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,AB与ED相交于点F,有下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长是()A.2cm B.4cm C.8cm D.16cm8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第二象限,点A的坐标是(-2,3),先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2,则点A的对应点A2的坐标是()A.(-3,2) B.(2,-3) C.(1,-2) D.(-1,2)二、填空题9.若等腰三角形有一个角是50°,则另两个角分别是.

10.如图,由镜子中的号码得出实际号码是.

11.如图,在△ABC中,DE垂直平分AC交AB于点E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE的度数是.

12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点.若△ABC的面积为12cm2,则图中阴影部分的面积是cm2.

三、解答题13.由边长为1的小正方形组成的方格图如图所示,AB=5.(1)请在方格图中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(3,3),点B的坐标为(-1,0);(2)在x轴上画点C,使△ABC是以AB为腰的等腰三角形,并写出所有满足条件的点C的坐标.(不写作法,保留作图痕迹)14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上的一点,E是AB上的一点,且在BD的垂直平分线EG上,DE交AC于点F,求证:点E在AF的垂直平分线上.15.如图,△ABC和△BDE均为等边三角形,点E在线段AD上,求证:BD+CD=AD.16.如图,在四边形纸片ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=6,∠B=60°,将纸片沿AE折叠,点B恰好与点D重合,求CE的长.综合训练一、选择题1.B全等的三角形不一定成轴对称,而成轴对称的两个三角形一定是全等的.2.B3.B4.D因为成轴对称的两个图形全等,对应点的连线被对称轴垂直平分,所以选项A,B,C是正确的.5.A因为点P关于x轴的对称点在第二象限,所以点P在第三象限,由点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,得P