25.1　一元二次方程的概念

第二十五章一元二次方程25．1一元二次方程的概念教师备课素材示例●情景导入如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加xm．若扩大后的绿地的面积为936m2，求长、宽各增加的长度．引导学生分析：等量关系为__扩大后的长×宽＝扩大后的面积__，则矩形的长为__(30＋x)__m，宽为__(20＋x)__m.根据矩形的面积为936m2，得方程__(30＋x)(20＋x)＝936__．整理，得__x2＋50x－336＝0__．【归纳】方程中只含有__一__个未知数，且含有未知数的式子都是__整式__，未知数的最高次数是__2__，这样的方程叫作一元二次方程．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)__．【教学与建议】教学：通过图形的变化让学生感知等量关系，通过整理所得到的方程的特征归纳出一元二次方程的定义．建议：讲解一元二次方程定义要抓住三个关键点：一是只含有一个未知数；二是整式方程；三是未知数的最高次数是2.●复习导入(教师)同学们，至今为止我们学习了哪些方程？它们都有什么特点？能举例说明吗？类似于5x2＋4x－2＝0的方程我们学习过吗？这类方程有什么特点？属于什么方程呢？它们存在于我们的实际生活中吗？下面我们一起探索新知——一元二次方程！【教学与建议】教学：复习回顾前面学过的一元一次方程，二元一次方程，分式方程，为继续探索和学习一元二次方程的特点和定义做好铺垫，同时对新方程产生疑问，激发学生探索新知的兴趣．建议：通过复习，让学生明确“元”和“次”在方程中的含义.命题角度1根据定义判断一个方程是否为一元二次方程一元二次方程化简后的特征：①只含有一个未知数；②是整式方程；③未知数的最高次数是2.【例1】(1)下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(D)A．ax2＋bx＋c＝0B．eq\f(1,x2)＋x＝2C．2x＝1D．2＋x2＝10(2)在下列方程中，是一元二次方程的有__①__．(填序号)①3x2＋7＝10；②ax2＋bx＋c＝0；③(x－2)(x＋5)＝x2－1；④3x2－eq\f(5,x)＝0.命题角度2利用一元二次方程的定义求待定字母的值或取值范围根据一元二次方程的定义求方程中待定字母的值或取值范围时，需注意二次项的系数不能为0.【例2】(1)若关于x的方程(a－1)x|a|+1－3x＋2＝0是一元二次方程，则(C)A．a≠±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝±1(2)如果方程ax2－7＝x＋2是关于x的一元二次方程，则a__≠0__．命题角度3利用一元二次方程的根求待定字母或与待定字母相关的代数式的值一元二次方程的根就是方程的解，它能使方程左右两边相等．【例3】(1)若x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的解，则(C)A．a＋b＋c＝1B．a－b＋c＝0C．a＋b＋c＝0D．a－b－c＝0(2)关于x的一元二次方程(p－1)x2－x＋p2－1＝0有一个根为0，则实数p的值是__－1__．(3)若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2025的值为__2_028__．命题角度4根据等量关系列一元二次方程解决实际问题寻找等量关系，利用一元二次方程来解决实际问题(只列方程)．【例4】用一条长100cm的绳子围成一个面积为128cm2的矩形．设矩形的长为xcm，则可列方程为(B)A．x(50＋x)＝128B．x(50－x)＝128C．x(100＋x)＝128D．x(100－x)＝128高效课堂教学设计1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化成一般式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项．2．会判断一个数是否是一元二次方程的根．3．经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．▲重点理解一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式．▲难点1．在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项．2．从实际问题中抽象出一元二次方程．◆活动1新课导入1．你能举例说明一元一次方程的概念吗？解：如2026＋18x＝2025，这样只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程．2．下列是一元一次方程的是：__①④__．(填序号)①x－1＝2x＋1；②x－3；③4x＋3y＝1；④x2－x(x＋1)＝0.◆活动2探究新知1．教材P2问题1.提出问题：(1)本问题中的等量关系是什么？应该设哪个量为未知数？(2)若设各角切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为__(100－2x)__cm，宽为__(50－2x)__cm；(3)请根据题意列出方程，你能化简该方程吗？学生完成并交流展示．2．教材P2问题2.提出问题：(1)说说“每两个队之间比赛1场”的含义，甲队对乙队和乙队对甲队的比赛是同一场比赛吗？(2)问题中比赛总场次是多少？等量关系是什么？(3)请设出未知数，列出方程式，并将所列方程化简．学生完成并交流展示．3．小明用30cm的铁丝围成一斜边长等于13cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长．提出问题：本题必须设两个未知数吗？如果只设一个未知数，那么方程应该怎样列？◆活动3知识归纳提出问题：(1)请谈谈上述方程有什么共同特点；(2)归纳一元二次方程的概念．1．一般地，如果方程中只含有__一__个未知数，且含有未知数的式子都是__整式__，未知数的最高次数是__2__，这样的方程叫作一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__，其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数；__bx__是一次项，__b__是一次项系数；__c__是常数项．提出问题：(1)二次项系数a为什么不能为0?(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，a，b，c可以是些什么样的数？3．方程－x2＋3x＝0中二次项系数是__－1__，一次项系数是__3__，常数项是__0__.4．使一元二次方程的__左右两边相等__的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根．◆活动4例题与练习例1判断下列各方程是不是一元二次方程．(1)x2－3xy＋4y2＝0；(2)y2＝3y＋2；(3)x＋eq\f(1,x2)－3＝0.解：(2)是，(1)(3)不是．例2将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：一般形式为3x2－8x－10＝0.其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.例3已知a是方程2x2＋x－2＝0的根，求代数式4a2＋2a的值.解：由题意，得2a2＋a－2＝0，∴2a2＋a＝2，∴4a2＋2a＝4.练习1．教材P3练习第1，2题．2．(教材P4习题T3变式)下列数：6，－6，8，－8，12，－12，2，－2，是方程x2－2x－48＝0的根有(B)A.1个B．2个C．3个D．4个3．若关于x的方程(m－1)xm2+1－3x＋2＝0是一元二次方程，则此一元二次方程为__－2x2－3x＋2＝0__．◆活动5课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你会解一元二次方程吗？1．作业布置(1)教材P4习题25.1第1，2，3题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.如果x=4是关于x的一元二次方程x2-3x=a2的一个根,那么常数a的值是()A.2 B.-2 C.±2 D.±42.若点(2,5),(4,5)在抛物线y=ax2+bx+c上,则它的对称轴是直线()A.x=-ba B.x=1 C.x=2 D.x=3.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位长度,则平移后得到的抛物线的顶点一定在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是()A.a>0 B.a=0 C.c>0 D.c=05.关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1,x2,且x12+x22=7,则(x1-xA.1 B.12 C.13 D.256.在正数范围内定义一种新运算“*”,其运算规则是a*b=2(a+b)-3ab,根据这个规则,方程x*(x+1)=0的解是()A.x=23 B.x=C.x=-23或x=1 D.x=23或7.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:t01234567…h08141820201814…下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=92;③足球被踢出9s时落地;④足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是(A.1 B.2 C.3 D.48.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根,下列结论:①b2-4ac<0;②abc>0;③a-b+c<0;④m>-2,其中正确的个数有()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.若抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A,与x轴正半轴交于B,C两点,且BC=2,S△ABC=3,则b=.

10.如图,一农户要建一个矩形鸡舍,鸡舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.当所围矩形鸡舍的长为m、宽为m时,鸡舍面积为80m2.

11.将抛物线y=ax2+bx-1向上平移3个单位长度后,经过点(-2,5),则8a-4b-11的值是.

12.已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0(m>0)的一个根比另一个根大2,则m的值为.

13.如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是cm2.

三、解答题14.已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),顶点为P.(1)求A,B,P三点的坐标;(2)在给出的平面直角坐标系内画出此抛物线的简图,并根据简图写出当x取何值时,函数值y大于零;(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数,并说明理由.15.菜农小李种植的某蔬菜计划以5元/千克的价格对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.小李为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以3.2元/千克的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)王叔叔准备到小李处购买5吨该蔬菜,因数量多,小李决定再给予两种优惠方案以供选择:方案一:打九折销售;方案二:不打折,每吨优惠现金200元.试问王叔叔选择哪种方案更优惠?请说明理由.16.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求实数k的值.17.如图,某小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16m,AE=8m,抛物线的顶点C到ED的距离是11m.以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的解析式;(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:m)随时间t(单位:h)的变化满足函数关系h=-1128(t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C章综合训练一、选择题1.C将x=4代入方程,得16-3×4=a2,解得a=±2.2.D3.D4.D由题意,得Δ=(-4)2-4ac=16-4ac≥0,且a≠0,故ac≤4,且a≠0.显然,四个选项中只有c=0时,一定满足ac=0≤4.5.C6.B根据题意,得x*(x+1)=2(x+x+1)-3x(x+1)=0,即3x2-x-2=0,解得x1=-23,x2=1由题意,知x>0,所以x=1,故选B.7.B由题意,设抛物线的解析式为h=at(t-9),把(1,8)代入可得a=-1,故h=-t2+9t=-(t-4.5)2+20.25,所以足球距离地面的最大高度为20.25m,①错误.所以抛物线的对称轴为直线t=4.5,②正确.当t=9时,h=0,即足球被踢出9s时落地,③正确.当t=1.5时,h=11.25,④错误.综上所述,正确的有②③.故选B.8.B如题图所示,图象与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,故①错误;因为图象开口向上,所以a>0,因为对称轴在y轴右侧,所以a,b异号,所以b<0,因为图象与y轴交于x轴下方,所以c<0,所以abc>0,故②正确;当x=-1时,a-b+c>0,故③错误;因为二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点纵坐标为-2,所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0,即ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根,则m>-2,故④正确.二、填空题9.-410.108设矩形鸡舍垂直于住房墙的一边长为xm,则矩形鸡舍的另一边长为(26-2x)m,依题意,得x(26-2x)=80,解得x1=5,x2=8.当x=5时,26-2x=16>12(舍去);当x=8时,26-2x=10<12.故矩形鸡舍的长为10m,宽为8m.11.-512.1设方程的两根分别为t,t+2,根据题意得t+t+2=4m,t(t+2)=3m2,把t=2m-1代入t(t+2)=3m2,得(2m-1)(2m+1)=3m2,整理得m2-1=0,解得m=1或m=-1(舍去),所以m的值为1.13.318设运动时间为ts(0≤t≤6),则AE=t,AH=6-t,根据题意得S四边形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEH=6×6-4×12t(6-t)=2t2-12t+36=2(t-3)2+18,所以当t=3时,四边形EFGH的面积取最小值,最小值为18cm2三、解答题14.解(1)令y=0,解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3,则A(1,0),B(3,0).将y=-x2+4x-3配方得y=-(x-2)2+1,得顶点P(2,1).(2)如图,当1<x<3时,y>0.(3)由题意列方程组y转化为一元二次方程,得x2-6x+9=0,由Δ=0,可知方程的两根相等,因此抛物线与直线有唯一的公共点.15.解(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意,得5(1-x)2=3.2.解得x1=0.2,x2=1.8.因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意,符合题目要求的是x1=0.2=20%.答:平均每次