第八章必刷小题15直线与圆

必刷小题15直线与圆[分值：73分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2025·晋中模拟)已知圆C的一般方程为x2+y2-6x+4y+12=0，则圆C的圆心坐标为()A.(3，2) B.(-3，2)C.(3，-2) D.(-3，-2)答案C解析由x2+y2-6x+4y+12=0，得(x-3)2+(y+2)2=1，可知圆C的圆心坐标为(3，-2).2.已知圆E：x2+y2-6x-8y=0，圆F：x2+y2-2x-4y+4=0，则这两圆的位置关系为()A.内含 B.相切 C.相交 D.外离答案A解析根据题意，化简得圆E：(x-3)2+(y-4)2=25，圆心为E(3，4)，半径r1=5，圆F：(x-1)2+(y-2)2=1，圆心为F(1，2)，半径r2=1，圆心距|EF|=(3−1)2+(4−2)2=22<r1所以两圆内含.3.(2026·南通模拟)若直线l1：x+λy+8=0与直线l2：(λ-2)x+3y+3λ=0平行，则λ等于()A.-1 B.-1或3 C.12 答案B解析因为两直线平行，所以1×3−所以λ=-1或λ=3.4.不论m，n为何实数，直线(m-n)x+(m+2n)y-3n=0过定点()A.(1，-1) B.(-1，1)C.(0，0) D.(2，2)答案B解析方法一直线方程(m-n)x+(m+2n)y-3n=0可化为m(x+y)+n(2y-x-3)=0，令x+y即定点坐标为(-1，1).方法二直线方程(m-n)x+(m+2n)y-3n=0可化为(m-n)(x+1)+(m+2n)(y-1)=0，令x+1=0，y−1=0，解得x=−1，y=1，5.(2025·重庆模拟)已知点A(2，4)，B(4，4)，动点P满足PA⊥PB，则|OP|(O为坐标原点)的最小值为()A.3 B.4 C.5 D.6答案B解析因为PA⊥PB，所以点P在以AB为直径的圆上(除去A，B两点)，且圆心为(3，4)，半径为|AB|2=1所以|OP|的最小值为圆心到原点的距离减去半径，即326.若点P在曲线y=x3-3x上，曲线在P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是()A.2π3，π C.0，π2∪2π3，π 答案C解析设P(x0，y0)，由函数y=x3-3x，得y'=3x2-3，所以曲线在点P处的切线斜率k=3x02-3≥-又k=tanα，即tanα≥-3，又α∈0，π2∪所以α的取值范围是0，π2∪7.若实数x，y满足x2+y2-6x+4=0，则yxA.55 B.255 C.5答案D解析将x，y满足的方程化简为(x-3)2+y2=5，是一个圆心为(3，0)，半径为5的圆，而yx+2=y−0x−(−2)可看作圆上一点(x，y易知当直线与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，设切线所在直线的倾斜角为α0<α则sinα=53−(−2)=55，得tanα=12，即斜率最大为12，所以8.已知点P为直线l：2x+y+2=0上的一个动点，A，B为圆M：x2+y2-2x-2y-2=0上任意两个不重合的点，记cos∠APB的最小值为m，sin∠APB的最大值为n，则m+n等于()A.25 B.15 C.5−25答案A解析由题意得☉M的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4，所以圆心为M(1，1)，半径为2，如图，所以圆心M到直线l的距离为|2+1+2|4+1=5>2，所以直线l与所以当PA，PB分别为圆的切线，且MP⊥l即|PM|=5时，sin∠APM=|AM||PM|=2|PM|=255最大，又0<∠APM<π2，255>22，此时π4<∠APM<π2，则∠此时cos∠APB=cos2∠APM=1-2sin2∠APM=1-2×2552显然sin∠APB的最大值为1，故m+n=-35+1=2二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.下列说法正确的有()A.直线y=ax-2a(a∈R)必过定点(2，0)B.直线y+1=3x在y轴上的截距为1C.直线x+3y+1=0的倾斜角为2πD.A(1，3)，B(2，5)，C(-2，-3)三点共线答案AD解析对于A，因为y=ax-2a=a(x-2)(a∈R)，故该直线经过定点(2，0)，故A正确；对于B，在直线方程y+1=3x中，令x=0，可得y=-1，即该直线在y轴上的截距为-1，故B错误；对于C，由x+3y+1=0化成斜截式为y=-33x-33，可知直线的斜率为-则直线的倾斜角α满足tanα=-33因为α∈0，π2∪π2，π，故得α=对于D，因为kAB=5−32−1=2，kAC=−3−3−2−1=2，所以kAB=kAC，所以A，B，C三点共线，故D10.已知直线l：ax+y-3a-1=0，a∈R，圆C：(x-1)2+y2=4，则下列说法正确的是()A.直线l恒过定点(3，1)B.当直线l与圆C相切时，切线方程是3x+4y-13=0C.当a=-1时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于2D.圆C上的一点P到直线l的距离的最大值是5+2答案ABD解析对于A，直线l：ax+y-3a-1=0即为a(x-3)+y-1=0，由x−3=0，y−1=0，解得x=3，y=1，直线l恒过定点Q(对于B，圆C：(x-1)2+y2=4，可得圆心C(1，0)，半径r=2，由直线l：ax+y-3a-1=0与圆C相切，可得圆心C到直线l的距离d=r，即a+0−3a−1|a2故切线方程为34x+y-3×34-1=0，即3x+4y-13=0，对于C，当a=-1时，直线l：x-y-2=0，圆心C到此直线的距离为|1−0−2|12+(−1)因此圆C上恰有四个点到直线l的距离等于22，C对于D，因为直线恒过定点Q(3，1)，可得|CQ|=(3−1)2+(1−0当CQ⊥l时，圆心C到直线l的距离最大，且最大值为|CQ|=5，所以圆C上的一点P到直线l的距离的最大值为|CQ|+r=5+2，D正确.11.(2025·新余模拟)数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有☉O：x2+y2=1与x轴分别交于A，B两点，P为☉O上的动点，以AP为直径的☉E的位置随P点位置的变化而变化，当P点逆时针转过一周时，☉E扫过的区域是图乙所示的美丽的“心形”(记作M)，则下列说法正确的是()A.若∠PAB=π6，则☉E与x轴公共点的坐标为(-1，0)和B.图乙中M内的点到y轴距离的最大值为1.25C.若以O为圆心的圆可以完全覆盖区域M，则该圆的半径最小为2D.图乙中M与y轴的公共部分上的点到x轴距离的最大值为2+2答案ABD解析对于A，设☉E与x轴交于A，A'，连接PA'，PB，∵AP为☉E的直径，∴PA'⊥x轴，由题意可知|AB|=2，∠PAB=π6，∴|AP|=3∴|AA'|=32，∴☉E与x轴公共点的坐标为A(-1，0)和A'12，0对于B，设∠PAB=θ，θ∈0，π如图，过E作CD⊥y轴于点D，延长DE交☉E于点C，过点E作EF⊥x轴于点F，∵∠APB=π2，|AB|=2，∴|AP|=2cosθ∴|CE|=|AE|=12|AP|=cosθ，∴|AF|=cos2θ∴|ED|=|FO|=1-|AF|=1-cos2θ，∴|CD|=1-cos2θ+cosθ，令cosθ=t∈(0，1]，∴|CD|=-t2+t+1=-t−12∴|CD|max=54=1.25，即M内的点到y轴距离的最大值为1.25，故B对于C，如图，连接OE并延长交☉E于点G，由垂径定理得OG⊥AP，G就是☉E上到原点O距离最远的点，下面我们求|OG|的最大值：设∠PAB=θ，θ∈0，π∵|GE|=12|AP|=cosθ，|OE|=sinθ∴|OG|=|GE|+|OE|=cosθ+sinθ=2sinθ+π4，∴当θ=π4时，|OG|取得最大值2，即满足条件的圆的半径最小为对于D，如图，设☉E与y轴交于Q点(图中为上方的点)，连接QA，则QA⊥QP，反面想，对于y轴正半轴上一点Q作l⊥QA，若l与☉O有公共点即为P点，当Q离x轴最远时，l与☉O有且仅有一个公共点P.设Q(0，y0)(y0>0)，则lAQ：y=y0x+y0，l：y=-1y0x+y原点到l的距离为−y0解得y0=2+25即M与y轴的公共部分上的点到x轴距离的最大值为2+252，故D三、填空题(每小题5分，共15分)12.设实数a>0，圆C：x2+y2-4x+ay=0的面积为12π，则a=.答案42解析设圆C的半径为r，则由题意得面积为S=πr2=12π，所以r2=12，将圆C：x2+y2-4x+ay=0化为标准方程得(x-2)2+y+a2所以4+a24=12，又a>0，所以a=413.若圆x2+y2+mx+5y+2m=0(m∈R)恒过两个不同的定点A，B，则|AB|=.答案3解析由题意得x2+y2+5y+m(x+2)=0(m∈R)，令x2+y2不妨设A(-2，-1)，B(-2，-4)，所以|AB|=3.14.设直线l的方程为(a+1)x+y+1-a=0，若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则a=.答案1或-2解析由题意知直线l的方程为(a+1)x+y+1-a=0，当a=-1时，直线l的方程为y+2=0，不符合题意，故a≠-1，令x=0，则y=a-1；令y=0，则x=a−1由直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则a−1