第五章必刷小题10平面向量与复数

必刷小题10平面向量与复数[分值：73分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2026·郑州模拟)已知向量AB=(2，-1)，AC=(3，2)，点C(-1，2)，则点B的坐标为()A.(-2，-1) B.(0，5)C.(2，-5) D.(2，-1)答案A解析由题意得，CB=AB-AC=(2，-1)-(3，2)=(-1，-3)，设点B的坐标为(x，y)，则CB=(x+1，y-2)=(-1，-3)，则x+1=−1,y所以点B的坐标为(-2，-1).2.(2025·沈阳模拟)若a+2i=(1-i)(1+bi)(a，b∈R，i为虚数单位)，则复数a-bi在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析∵a+2i=(1-i)(1+bi)=(1+b)+(b-1)i，∴a=1+b∴复数a-bi在复平面内对应的点(4，-3)所在的象限为第四象限.3.(2025·佛山模拟)如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上靠近A的三等分点，则BE等于()A.-56AB+16AC C.-56AC+16AB 答案A解析由题意得BE=AE-AB=13AD-AB=13×12(AB+AC)-4.(2025·泰州模拟)已知向量AB=(x，2)，BC=(2，1).若AB∥BC，则|AC|等于()A.4 B.25 C.5 D.35答案D解析因为AB=(x，2)，BC=(2，1)且AB∥BC，所以x=4，则AB=(4，2)，所以AC=AB+BC=(4，2)+(2，1)=(6，3)，则|AC|=62+35.(2025·成都模拟)已知平面向量|a|=|b|=1且a·b=0，两个非零向量m=xa+b，n=(3x-2)a-b，若m⊥n，则实数x的值为()A.1 B.-1C.1或-13 D.-1或答案C解析由m⊥n，得m·n=0，又因为|a|=|b|=1且a·b=0，所以m·n=(xa+b)·[(3x-2)a-b]=x(3x-2)-1=0，整理得3x2-2x-1=0，解得x=1或x=-136.(2026·合肥模拟)已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点，BN=2NC，则AN·(BM-BN)等于()A.-409 B.409 C.-209答案A解析∵AN·(BM-BN)=AN·NM，AN=AB+BN=AB+23NM=NC+CM=13BC+12CD=∴AN·NM=AB+23BC·13BC−12AB=-17.(2025·静海模拟)一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形(它们有共同的对称中心与对称轴)单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知AB=6分米，FG=3分米，点P在正方形ABCD的四条边上运动，当AE·AP取得最大值时，AE与AP夹角的余弦值为()A.55 B.255 C.10答案B解析以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，E32，92，C(则AE=32，92，AC=(|AE|=3102，|AC|=6设AE与AP的夹角为θ，则AE·AP=|AE||AP|cosθ，由投影的概念可得，当P与C重合时，|AP|cosθ取得最大值，此时cosθ=AE·AC|AE||8.如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP=xOA+yOB.当x=-12时，yA.(0，+∞) B.1C.12，+∞答案B解析如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP=xOA+yOB，由向量加法的平行四边形法则，OP为两邻边落在OA的反向延长线与OB上的平行四边形的对角线，∴当x=-12时，OC=-12OA，过点C作OB的平行线，分别交OM，AB的延长线于点D，E，要使点P落在指定区域内，则点P此时CD=12OB，CE=32∴y的取值范围为12二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2025·常州模拟)已知向量a=(1，0)，b=(2，2)，则下列结论正确的是()A.(4a-b)⊥b B.|b|=2C.a与b的夹角为45° D.a+2b=(5，4)答案ACD解析对于A，因为a=(1，0)，b=(2，2)，所以4a-b=(2，-2)，则(4a-b)·b=2×2-2×2=0，所以(4a-b)⊥b，故选项A正确；对于B，由b=(2，2)，可得|b|=22+22=2对于C，a·b=1×2+0×2=2，|a|=1，|b|=22，设a与b的夹角为θ，所以cosθ=a·b|a||因为0°≤θ≤180°，所以θ=45°，故选项C正确；对于D，a+2b=(1，0)+2(2，2)=(5，4)，故选项D正确.10.(2025·沈阳模拟)对于∀z1，z2∈C，下列说法正确的有()A.若z1=z1，则z1∈B.若z2+z2=0，则z2C.z1·z1=|z1|D.(z1+z2)2=|z1+z2|2答案AC解析z1=z1，则z1，z1的虚部为0，故z1∈R，故当z2=z2=0时，z2+z2=0成立，而z2不是纯虚数，故令z1=a+bi且a，b∈R，则z1=a-bi，则z1·z1=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=|z令z1=a+bi且a，b∈R，z2=m+ni且m，n∈R，则(z1+z2)2=[(a+m)+(b+n)i]2=(a+m)2-(b+n)2+2(a+m)(b+n)i可能为虚数，而|z1+z2|2为实数，故D错误.11.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足PA+2PC=0，QA=2QB，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是()A.PB∥CQ B.BP=13BAC.PA·PC<0 D.S=4答案BCD解析由PA+2PC=0，QA=2QB，可知点P为AC的靠近点C的三等分点，点Q为AB延长线上的点，且B为AQ的中点，如图所示，对于A，点P为AC的靠近点C的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误；对于B，BP=BA+AP=BA+23AC=BA+23(BC-BA)=1对于C，PA·PC=|PA||PC|cosπ=-|PA||PC|<0，故C正确；对于D，设△ABC的高为h，S△ABC=12|AB|h=3，即|AB|h=6，则△APQ的面积S=12|AQ|·23h=12·2|AB|·23h=23三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2026·新乡模拟)设z=2+4i1−3i，则z=.答案-1-i解析z=2+4i1−3i=(2+4i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=−10+10i10=-1+i13.(2025·重庆模拟)已知向量a与b的夹角为3π4，且|a|=2|b|，则b-2a在a上的投影向量为.答案-52解析由向量a与b的夹角为3π4，且|a|=2|b|得a·b=|a||b|cos3π4=2|b|2·−22=-|b则(b-2a)·a=a·b-2a2=-|b|2-4|b|2=-5|b|2，所以b-2a在a上的投影向量为b−2a·a|14.(2025·江门模拟)设向量OA=(1，x)，OB=(2，x)，则cos〈OA，OB〉的最小值为.

答案2解析cos〈OA，OB〉=OA·OB|OA||OB|=2+x2(x2+1)(x2+4)，令所以cos〈